5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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1 57 5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 5.. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Equações que envolvem termos em que a incógnita aparece no epoente são chamadas de equações eponenciais. Por eemplo, = ; =, ; 4 = Apresentaremos a seguir alguns eemplos de equações com a respectiva solução. Na maioria dos casos a aplicação das propriedades de potências reduz as equações a uma igualdade de potências da mesma base = α a a o que, usando o fato que a função eponencial é injetora, nos permite concluir e portanto, resolver a equação. a α = a = * α, a R + { } Eemplos ) Resolver as seguintes equações eponenciais a) = 6 4 = 6 = =4 S = { 4 }.

2 58 b) (00) = 0,00 (00) = 0,00 (0) = (0) = = S = { } c) = = = ( 96 5 ) = = 5 5 = 5 4= = S = { }. + d) 9 + = 4 Fazendo y =,temos: = = 0 y + y 4 = 0 y = ou y = 4 Observemos que y = 4 não satisfaz porque y De y =, temos: = >0. 0 = = = 0 S = {0}.

3 59 e) 5.() = () = log5 = = = S = { log 5} ) Resolver em R + as equações: a) = Inicialmente vamos verificar se 0 ou são soluções da equação. Como não se define 0, = 0 não é solução da equação. Fazendo = na equação obtemos = o que é uma identidade e portanto, = é solução. Supondo > 0 e, podemos usar a injetividade da função eponencial = = 0 = S = {, }. 4 b) = Eaminemos inicialmente se 0 ou são soluções da equação 0 4 = 0 = 0 é solução = = é solução

4 60 Supondo > 0 e temos 4 = 4 = = S = {0,, } 5.. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS As equações envolvendo logaritmos são chamadas de equações logarítmicas e são resolvidas aplicando-se propriedades dos logaritmos e o fato da função logarítmica ser injetora. Assim, procuramos escrever todos os logaritmos envolvidos numa mesma base e usamos a condição log = log α = α a a Além disto, devemos inicialmente analisar as condições de eistência dos logaritmos, levando-se em conta os domínios de definição do logaritmo e da base. Eemplos Resolva as seguintes equações: ) log + = + log / Condições de eistência: Temos + > 0 e > 0 >0 ( I )

5 6 log + = + log log + = log log log + = log / + = + = 0 = ou = ( II ) De ( I ) e ( II ) temos que a solução da equação é: S = { } ) log + = log 9 Condições de eistência: > 0 e > 0 e ( I ) Temos log log + = log + log9 = log + = log log 9 log 9 log log + = log9 log + log = log9 log = log9 = 9 = 9 = 8 = 7 = ( II ) De ( I ) e ( II ) temos que a solução da equação é S = { }. log ) = 4 Condição de eistência: > 0 ( I ) log log = 4 log = log 4 log log = log + log Fazendo log = y, obtemos: 4

6 6 y y = 0 y = ou y = log = ou log = = 4 ou =. De ( I ) e ( II ) temos que a solução da equação é: S = {, 4 }. 4) log (+ ) = 7 Condições de eistência: > 0, e > > 0 e ( I ) Temos log (+ ) = 7 + = 7 = 4 ( II ) De ( I ) e ( II ) temos que a solução da equação é: S = { 4 }. 5) log ( 9 + 7) = + log ( + ) Condições de eistência: como > 0 e + > 0 R, concluímos que a equação está definida para todo número real. Vejamos: ( ) ( ) ( ) 4 ( ) log ( 9 + 7) = log 4 ( + ) 9 + 7= log = + log + log = log + log =

7 6 Fazendo = y obtemos a equação y 6y+ 4= 0, que tem como solução y = 9 ou y = 7. Portanto, = 9 = = 7 = Assim, a solução da equação é: S = {, }. 5.. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Inequações que envolvem termos em que a incógnita aparece no epoente são inequações eponenciais. Por eemplos - 5 0; 8 ; 4 6. > < + 8 < 0. Assim como no caso das equações eponenciais, em geral, as inequações podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base, através da aplicação das propriedades de potências. Usamos então a Proposição 4.: i) Se a > e a < a então < ii) Se 0 < a < e a < a então > Em outros casos a inequação é resolvida com a aplicação dos logaritmos. Eemplos ) Resolver as seguintes inequações eponenciais:

8 64 a) > 8 4 > 8 > 4 Como a base é menor que, temos que < 4. S =] -,4[. b) < < < 0 Fazendo, = y, temos Como a base é maior que, então < < y 6y+ 8< 0 < y< 4 < < S = ],[ c) < 5 Aplicando logaritmo na base nos dois lados da desigualdade e conservando o sinal da desigualdade uma vez que a base do logaritmo é maior que temos < 5 log < log 5 < log 5 S = ],log 5 [

9 65 4 ) Resolver em R + a inequação < Devemos considerar três casos: Como 0 i) Vamos verificar se 0 ou são soluções da inequação. não está definido, = 0 não é solução da inequação. Se =, temos < o que não se verifica, logo = não é solução. A solução neste caso é S =. ii) > ( I ) < < 4 < 0 < ( II ) 4 A solução neste caso deve satisfazer simultaneamente ( I ) e ( II ), portanto a solução S =. iii) 0 < < ( III ) < < 4 > 0 > ( I V ) 4 A solução neste caso deve satisfazer simultaneamente ( III ) e ( IV ), portanto S =], [ 4. A solução da inequação é S= S S S =], [ INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Para resolvermos inequações envolvendo logaritmos, procuramos colocar os logaritmos numa mesma base, usando as propriedades, analisamos as condições de eistência e usamos as implicações

10 66 i) Para a >, loga < loga < ii) Para 0 < a <, loga > loga > Eemplos Resolva as seguintes inequações logaritmicas: ) / log /4 > log 5 Condição de eistência: Temos, / 4 > 0 ], / [ ] /, + [ ( I ) / log /4 > log 5 log /4 > log 4 log 5 log /4 < log 5/4 /4< 5/4 < 0 ],[ ( II ) De ( I ) e ( II ) concluímos que a solução da inequação é S = ], [ ],[. ) log ( ) 5 + >log5 log 5 ( ) Condições de eistência: > 0 e > 0 e > e 4 ( I )

11 67 Consideremos log5( ) + > log5 log5( ) + log 5( ) > log5 log 5 ( ) log ( )( ) > log ( )( ) > > De ( I ) e ( II ) concluímos que a solução da inequação é ], [ ]4,+ [ ( II ) S = ]4,+ [. ) + log Condição de eistência: Vejamos: > 0 ( I ) + log + log ou + log log ou log 5 5 log log ou log log De ( I ) e ( II ) concluímos que a solução da inequação é ou -5 ( II ) 5 S = ]0, [ [,+ [. 4) log 9 Condição de eistência: > 0 ( I )

12 68 Temos ( log ) ( log ) 9 log log( 9) ( log)( log) log + 9 log Fazendo log = y, obtemos y y 0 y log log log 9 9 (II) De ( I ) e ( II ) concluímos que a solução da inequação é S = [,9]. log 5) + > 00 Condição de eistência: > 0 ( I ) Assim log + log log log > 00. > 00 > 00 log > log00 log > log > ou log < > 0 ou < 0 ( II ) De ( I ) e ( II ) concluímos que a solução da inequação é: S = ]0,0 [ ]0, + [. 4) log ( ) log( ) Condições de eistência: > 0 e > e ( I )

13 69 Assim, Fazendo log ( ) = y, obtemos log ( ) log log ( ) ( ) log ( ) y y y 0 0 y ou 0 < y y y y log ( ) ou 0 < log ( ) - log ( ) log ou log < log ( ) log ou < ou < ( II ) De ( I ) e ( II ) concluímos que a solução da inequação é: S = ], ] ],] 5.5. EXERCÍCIOS 5.. Resolva as seguintes equações eponenciais: a) 6 = 6 b) 8 = c) = d) + = e). f) = 4 = (em IR + ) + 4- g) = (em IR ) h) = (Sugestão: Multiplique por 4 )

14 Resolva os seguintes sistemas: a) +y 4 = 6y = y b) + = 4y y = y,y IR Resolva as seguintes inequações: a) > 8 b) 4 c) d) (0,) 9 8 ( 009, ) ( 0, ) * + e) > 0 f) ( Em IR g) a < a ( a > 0 e a ) h) > Resolva as seguintes equações: a) log = - b) log 4 = c) log ( -) = - 7loglog 5.5. Resolva as seguintes equações: log a) log 9( ) = log ( 0 4) log ( + ) b) = 000 log a c) (log ) = d) log a.log a = 4, a > 0, a e) = + + f). = 8 4 ) 5.6. Resolva os seguintes sistemas: y = 6 log log y = log a) b) log = + log y 9y = 90y 5.7. Resolva as seguintes inequações: a) log ( 4) < log ( 5) b) log ( ) / c) log( + ) + log( + ) > log d) log < log e) log ( ) + 0.log f) > ( ) ( 8 ) ( 8 ) log