Recredenciamento Portaria MEC 347, de D.O.U (Nova) Matemática, Licenciatura

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1 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... (Nova) Matemática, Licenciatura Módulo de Pesquisa: Práticas de ensino em matemática, contetos e metodologias Disciplina: Fundamentos de Matemática III no/semestre: / Unidade de prendizagem: Descompleificando o estudo de trigonometria, dos números compleos e polinômios. rco da ircunferência onsideramos arco de uma circunferência uma parte dessa circunferência determinada por dois pontos. Faça dois pontos nessa circunferência, chamados e : uest(iv) Dessa maneira teremos um ângulo que chamaremos ˆ de ângulo central. medida de um arco é igual à medida do ângulo central correspondente. m = m ˆ Observando a figura abaio, podemos dizer que a medida de um arco representa a medida do comprimento desse arco? Representamos o arco dessa forma: D e são as etremidades de um arco. Se temos: Unidades de medida de arcos Para se medir os arcos e ângulos, usaremos o grau e o iano. Grau: chamamos de grau o arco unitário igual a da circunferência. O arco que da uma volta completa ( = ) tem e é chamado de ircunferência. Esse é o ângulo de uma volta, ou seja, ou arco nulo. Ângulo central Ligue, com uma reta, os pontos e do arco ao centro () da circunferência correspondente. Radianos: onsidere uma circunferência de centro e um arco nessa circunferência. Se o arco tem comprimento igual ao raio, dizemos que ele mede iano. Portanto, iano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o referido arco. omprimento igual ao raio r

2 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... Você se lembra o do Pi ( )? Se dividirmos o valor do comprimento de uma circunferência qualquer pelo valor de seu diâmetro, encontraremos,595..., que é chamado de Pi ( ). Eemplo: Observando o relógio, notase que o ponteiro maior marca 5 minutos. ual é o grau formado pelo ponteiro das horas com o ponteiro dos minutos? r omo o diâmetro é igual a duas vezes o raio ( ), podemos considerar: r d r ou, isolandose a circunferência () na equação, temos que: r omo o raio tem a mesma medida de um iano ( r ), podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede ( ). De acordo com as afirmações estabelecidas acima, monte essa tabela de medidas: Unidad e Graus, minutos e segundos Se dividirmos uma circunferência em partes iguais, cada uma delas será chamada de grau. ada grau, por sua vez, é dividido em minutos como em um relógio, e os minutos são divididos em segundos. Um minuto é igual a do grau; Um segundo é igual a minuto. Símbolos: Grau: Minutos:, Segundos:,, mplitudes Grau º Radiano Resolvendo: min do grau 5 min do grau. 5. do grau Logo: 5 Eercícios ) converta em ianos: a) º b) 5º c) º5 d) º ) ual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 5º contido numa circunferência de raio cm? ) epresse em graus: a) b) 8 5 c) d) ) Um pêndulo de 5 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições etremas formam um ângulo de º. ual é o comprimento do arco que a etremidade do arco descreve?

3 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... 5) O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede cm. uantos centímetros sua etremidade percorre durante 5 minutos? rcos Trigonométricos Vamos considerar uma circunferência onde o raio é uma unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é antihorário. Os eios e dividem a circunferência unitária em quatro partes congruentes que se chamam quadrantes, numeos de a e contados a partir do ponto (,), no sentido positivo. Esse ponto (,) é a origem de todos os arcos trigonométricos. sentido positivo II I º III IV sentido negativo essa circunferência de centro vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas. º quadrante: entre º a 9º; º quadrante: entre 9º a 8º; º quadrante: entre 8º a 7º; º quadrante: entre 7º a º. Os arcos que medem º, 9º, 8º e 7º e seus côngruos não pertencem a nenhum dos quadrantes. º rcos ôngruos São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma etremidade.

4 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... b) Encontre a ª determinação do arco de º e o seu nº de. Na prática, fazemos: º º º º nº de voltas o nº está associado o ponto. arco a ser adicionado ( ª determinação do arco de º) º º o nº também está associado o ponto. b) determine o quadrante onde está situado o arco de º 75º Na primeira figura, o ponto deslocouse ou º de até ; Na segunda figura, o ponto deslocouse um volta inteira ( deslocouse ou º) e mais 7 ou º. Podemos escrever a seguinte relação: k ou º k º ou º, ou seja, Onde k é o número de voltas inteiras Então, dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas se diferem de um múltiplo de ou º. omo a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos, dizemos que o arco da primeira volta positiva (entre e ou º e º ), associado a um ponto da circunferência, é a ª de qualquer arco côngruo associado ao mesmo ponto. Eemplos: a) ual é a epressão geral dos arcos côngruos ao arco de 5º? Epressão geral: k º Sendo 5º temos, 5 k º, com k Z. 75º º 7º 5º Logo, 7 pertence ao primeiro quadrante. Obs: o sinal negativo em um arco significa que as voltas são dadas no sentido horário. Nesse caso o arco é negativo. Eercícios 5º

5 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... ) Escreva a epressão geral dos arcos congruentes. a) º b) º c) d) 5 M cos OM, lêse cosseno de. ) Descubra a primeira determinação, ou seja, o menor valor nãonegativo côngruo ao arco de: a) 85º b) º c) º 5 d) 9 e) ) Determine o quadrante onde estão situadas as etremidades dos seguintes arcos: a) º b) 8º c) 5 d) º e) Variação de sinal do seno e do cosseno De acordo com os quadrantes, assim como no plano cartesiano, temos o sinal correspondente ao seno e ao cosseno. Seno na ircunferência Trigonométrica É a ordenada (eio do ) da etremidade desse arco na circunferência trigonométrica. P sen OP, lêse seno de. osseno na ircunferência Trigonométrica Sinal do seno Sinal do cosseno º º º º É a abscissa (eio do ) da etremidade desse arco na circunferência trigonométrica. Valores notáveis de seno e cosseno Vejamos agora alguns valores de seno e cosseno que são consideos notáveis (importantes). Tomando como a medida de um arco P, os valores de sen e cos são chamados valores notáveis quando,,.,,,, ou

6 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... P P gora, observe a circunferência trigonométrica abaio e dê o seno e o cosseno para os outros valores de completando a tabela:

7 Portaria ME 7, de 5.. D.O.U.... ou ou º sen cos 5º º 9º 8º 7º º