Trigonometria Funções Trigonométricas

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1 Trigonometria Funções Trigonométricas

2 imagem: [ -, ] Prof. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS f(x) = sen x y f(x) = R R Imagem: [-,] Período: x período

3 imagem: [ -, ] Prof. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS f(x) = cos x y f(x) = R R Imagem: [-,] Período: x 3 - período

4 ALTERAÇÕES NO GRÁFICO movimenta o gráfico para cima ou para baixo +3 - y y x x f(x) = ±a ± b sen ( mx + n ) cos o sinal indica o caminho da curva y y se + se - x x muda a amplitude y y se = se = 3 x altera o período quanto maior o valor de m mais encolhido fica o gráfico, isto é, menor seu período. Quanto menor o valor de m, maior seu período. - y m= apenas movimenta o gráfico na horizontal sem destorcê-lo. m= m=/ 4 x -3 x

5 imagem: [, 5 ] Prof. ALTERAÇÕES NO GRÁFICO (exemplos) f(x) = ±a ± b sen ( mx + n ) + sen f(x) = 3 sen ( x/ ) y m = / arrumar o período - sen P = m P = / P = 4 + cos 3 f(x) = 3 sen ( x/ ) - cos X X X X 3 4 x [ +3 -, +3 + ] [, 5 ]

6 imagem: [ -6, ] Prof. ALTERAÇÕES NO GRÁFICO (exemplos) f(x) = ±a ± b sen ( mx + n ) + sen f(x) = cos ( 4x ) y m = 4 arrumar o período - sen + cos /4 3 /8 4 x P = 4 P = f(x) = - +4 cos ( 4x ) - cos Z [ - -4, - +4 ] [ -6, ]

7 Exercícios da apostila 0 da página 57 f(x) = + sen ( x ) [ + -, + + ] [, 3 ] RESPOSTA: C

8 Exercícios da apostila 03 da página 57 f(x) = 0 + 3sen (x ) [ +0-3, ] [ -3, 3 ] f(x) = 3sen (x) Domínio: R P = Período: Imagem: [ -3, 3 ] RESPOSTA: E

9 Exercícios da apostila 06 da página 58 P = 4 P = Período: / RESPOSTA: B

10 Exercícios da apostila 08 de página 58 cos x pode valer no mínimo (-) e no máximo (+), logo: 3 cos x 3 (-) = 4 3 (+) = RESPOSTA: B

11 Exercícios da apostila 06 da página 58 sen f(x) = ±a ± b cos ( mx + n ) 0 + cos f(x) = 0 + cos ( x ) f(x) = cos ( x ) RESPOSTA: B

12 Exercícios da apostila 9 da página 60 sen f(x) = ±a ± b cos ( mx + n ) + sen - sen + - sen + cos RESPOSTA: E Z - cos

13 imagem: R Prof. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS f(x) = tg x y P = m Domínio: { x є R / x / + k } Imagem: R k é um nº inteiro / 3 / x - 3 período

14 Exercícios da apostila 0 da página 63 P = RESPOSTA: B

15 Exercícios da apostila 0 da página 63 Domínio: { x є R / x / + k } x representa o ângulo 3x / + k x 3 ( + k ) x / + k 3 x + k 6 3 RESPOSTA: D

16 Trigonometria Funções Inversas Encontrar o ângulo através de seu seno, cosseno ou tangente.

17 Porém é necessário lembrar que se você perguntar qual ângulo tem seno igual a 0,5, teremos infinitas respostas. 50º 50º 90º 30º 390º Já no primeiro e no segundo quadrantes teremos 30º e 50º como primeiras determinações positivas. Mas teremos também 390º, 50º, 750º, 870º º 0º

18 Para que não tenhamos mais de uma resposta, vamos limitar, para seno, os ângulos de -90º até 90º. Para que não tenhamos mais de uma resposta, vamos limitar, para cosseno, os ângulos de 0º até 80º. Para que não tenhamos mais de uma resposta, vamos limitar, para tangente, os ângulos de -90º até 90º. Sendo assim, basta você fornecer um valor entre - e teremos como resposta um ângulo entre -90º e 90º. Sendo assim, basta você fornecer um valor entre - e teremos como resposta um ângulo entre 0º e 80º. Sendo assim, basta você fornecer qualquer valor real e teremos como resposta um ângulo entre -90º e 90º. 90º 90º 90º 0º 80º 0º 0º -90º -90º

19 f - (x) = arc sen (x) 90º f - : [ - ; ] -, 0 0º f(x) = arc sen (/) f(x) = 30º f(x) = arc sen () f(x) = 90º - -90º f(x) = arc sen (-) f(x) = -90º

20 f - (x) = arc cossen (x) f - : [ - ; ] [ 0 ; ] 90º f(x) = arc cos (/) f(x) = 60º 80º - 0 0º f(x) = arc cos (-/) f(x) = 0º f(x) = arc cossen (-) f(x) = 80º

21 f - (x) = arc tg (x) 90º f - : IR -, º 0º f(x) = arc tg () f(x) = 45º f(x) = arc tg (-) f(x) = -45º f(x) = arc tg ( 3 ) f(x) = 60º

22 Exercícios da apostila 0 da página 73 logo a soma dos dois ângulos será um ângulo de 90º y = arc sen (/) y = 30º y = /6 y = arc tg ( 3 ) y = 60º y = /3 RESPOSTA: D

23 Exercícios da apostila 03 da página 73 f(0) = arc sen (0) f(0) = 0 f( g() ) = f(0) h( /) = sen ( /) h( /) = g() = arc cos () g() = 0 RESPOSTA: E

24 Exercícios da apostila 04 da página 74 ângulo do primeiro quadrante cujo seno é /3. 3 SOHCAHTOA y = cos ângulo em que o sen = /3 y = 3 x RESPOSTA: D

25 Trigonometria Fórmulas de Fatoração

26 As fórmulas a seguir permitem fatorar as principais razões trigonométricas para dois arcos p e q quaisquer: p + q sen p + sen q = sen ( ) cos ( ) p + q sen p - sen q = sen ( ) cos ( ) p - q cos p + cos q = cos ( p + q ) cos ( p - q ) p - q cos p - cos q = - sen ( ) sen ( ) p - q p + q

27 sen p + sen q = sen ( p + q ) cos ( p - q ) sen p - sen q = sen ( p - q ) cos ( p + q ) cos p + cos q = cos ( p + q ) cos ( p - q ) cos p - cos q = - sen ( p - q ) sen ( p + q ) 50º + 30º Exercício 0 da página 78 sen 50º + sen 30º= sen ( ) cos ( ) 50º - 30º sen 50º + sen 30º= sen ( 80º ) cos ( 0º ) sen 50º + sen 30º= sen ( 40º ) cos ( 0º ) RESPOSTA: B

28 sen p + sen q = sen ( p + q ) cos ( p - q ) sen p - sen q = sen ( p - q ) cos ( p + q ) cos p + cos q = cos ( p + q ) cos ( p - q ) cos p - cos q = - sen ( p - q ) sen ( p + q ) Exercício 0 da página 78 sen 0º - sen 60º= sen ( 0º - 60º ) cos ( 0º + 60º ) sen 0º - sen 60º= sen ( -40º ) cos ( 80º ) sen 0º - sen 60º= sen ( -0º ) cos ( 40º ) cos 70º - cos 30º sen 0º - sen 60º sen 0º - sen 60º= - sen ( 0º ) cos ( 40º ) RESPOSTA: D

29 Trigonometria Equações Trigonométricas O objetivo será achar uma solução ou soluções para o valor de seno, cosseno ou tangente apresentado. A forma de responder a solução dependerá dos quadrantes usados.

30 º e no º quadrantes ou 3º e 4º Exemplo: solução geral sen x = / (graus): x = 360ºk + 30º ou x = 360ºk + 50º (rad): x = k + /6 ou x = k + 5 / º 50º 30º 390º 750º ºk + 50º 0 0º 360ºk + 30º -

31 º e no 4º quadrantes ou º e 3º Exemplo: cos x = / solução geral (graus): x = 360ºk ± 60º (rad): x = k ± /3 60º 40º 780º k + 60º - 0 0º 360k + 300º -60º -40º -780º...

32 º e no 3º quadrantes ou º e 4º Exemplo: tg x = solução geral (graus): x = 80ºk + 45º (rad): x = k ± /4 45º 405º 765º º 45º + (80º) = 5º 585º 945º...

33 Exercício 0 da página 85 60º 40º 80º 0º 3x = 60º x = 0º ou x = /9 3x = 40º x = 80º ou x = 4/9 40º 3x = 40º x = 40º ou x = 7/9 RESPOSTA: B

34 Exercício 03 da página 85 60º 40º 0 0º - 300º 660º RESPOSTA: D x = 60º x = 30º x = 300º x = 50º x = 40º x = 0º x = 660º x = 330º

35 Exercício 08 da página 86 4cos x- 6cos x + = 0 cos x = y 4y 6y + = 0 y = y = / cos x = cos x = / 360ºk ou k ± 60º + 360ºk ou ± /3 + k RESPOSTA: C

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