Material Teórico - Círculo Trigonométrico. Seno, cosseno e tangente. Primeiro Ano do Ensino Médio

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1 Material Teórico - Círculo Trigonométrico Seno, o e tangente. rimeiro Ano do Ensino Médio Autor: rof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: rof. Antonio Caminha M. Neto 0 de outubro de 08

2 Seno, o e tangente Na aula passada, vimos que se A = (,0) e é um ponto qualquer sobre o círculo trigonométrico, ou seja, o círculo de raio e centro O = (0,0), então a abscissa e a ordenada de são, nessa ordem, o o e o o do ângulo AO. Em símbolos, se é a medida do ângulo A O em radianos, ou seja, o comprimento do arco Ã, então = (, ). () De fato, usamos isso para definir os valores de e de um número real qualquer: para encontrar e basta percorrer (partindo do ponto A) um arco de comprimento sobre o círculo trigonométrico, no tido anti-horário quando > 0 e horário quando < 0, marcar o ponto e encontrar suas coordenadas. Dessa forma, podemos ver o e o como funções com domínio igual ao conjunto de todos os números reais. (Lembre-se de que estamos medindo ar em radianos.) Exemplo. Calcule (0), (0), (/) e (/). Solução. Considere A = (,0), como em () e seja = Ã. Quando = 0, o ponto coincide com A (o arco percorrido tem comprimento zero, logo, não saímos do ponto A). Assim, = (,0) e, lembrando que a abcissa repreta o o de e a ordenada repreta o o, temos: (0) = 0 e (0) =. or outro lado, quando = /, como o círculo possui comprimento, teremos percorrido /4 do círculo. Dessa forma, estaremos parados no ponto = (0,), de sorte que (/) = e (/) = 0. No Módulo Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cosos, olígonos Regulares do nono ano do EF, aprendemos como calcular os valores de o, o e tangente dos ar equivalentes a 0, 45, 0. Juntamente com os valores obtidos no exemplo anterior, e lembrando que tg() = ()/ () só está definida quando 0, agrupamos os valores na seguinte tabela. Ângulo (graus) Ângulo (radianos) tg Lembremos que quando e são ângulos congruentes, ou seja, = k, com k Z, eles determinam um mesmo ponto sobre o círculo trigonométrico. Dessa forma, temos que: { =, = + k = =. Assim, vamos no concentrar inicialmente em calcular os e os de ar de 0 a. Exemplo. Como observado na aula passada, boa parte das calculadoras científicas trabalham com radianos por padrão. Assim, se digitarmos 0 numa calculadora e teclarmos, é possível que o resultado obtido não seja o o de 0, mas sim o o de 0 rad (é provável que a calculadora tenha uma tecla para definir o modo de operação, rad ou deg, então é necessário ficar atento). Suponha que a calculadora está no modo rad. O que repreta o valor obtido? Vamos calcular, como na aula passada, a menor determinação positiva de 0 radianos. Dividindo 0 por obtemos, aproximadamente, 9,549. Assim, o arco entre 0 e congruente a 0 tem comprimento 0 + ( 9), que vale aproximadamente,45. sso é um pouco maior do que, logo, está no quadrante. Fazendo esse experimento, na calculadora, obtemos (0) = (0 8) = (,45) = 0,04. sso faz tido, uma vez no quadrante o o é negativo. or outro lado, veja que (0 ) = = 0,8. Neste texto, sempre que omitirmos a unidade, é porque estamos usando radianos. Exemplo. ara todo arco, vale que ( ) = () e ( ) = (). Solução. Suponha que, partindo de (,0) e percorrendo um arco de medida, paramos no ponto = (x,y), de forma que () = y e () = x. erceba que percorrer o arco significa percorrer no tido oposto. Ao fazermos isso, pararemos no ponto, simétrico de em relação ao eixo-x. Dessa forma, = (x, y), e temos que ( ) = x = () e ( ) = y = (). Redução ao primeiro quadrante ara qualquer ângulo do primeiro quadrante, ou seja, 0 < < /, existe um triângulo retângulo que possui como um de seus ângulos. As medidas dos catetos e matematica@obmep.org.br

3 da hipotenusa de um tal triângulo podem ser usadas para calcular o o, o e tangente de. or outro lado, para outros valores de isso não é possível (já que a soma das medidas dos dois ângulos não retos de um triângulo retângulo é /), mas podemos comparar os valores do o, o e tangente de com aqueles de um ângulo, este entre 0 e /. ara entendermos como fazer isso, seja o ponto do círculo trigonométrico associado ao arco, seja B o pé da perpendicular traçada de ao eixo-x e O = (0,0). Consideremos o triângulo retângulo B O, de hipotenusa O (de medida ) veja as figuras a, b e c, para nos quadrantes, e V respectivamente, onde = Ã está marcado em verde. Seja, ainda, = OB. Como = (, ), o fato de B O ser retângulo de hipotenusa garante que, para em qualquer quadrante, vale: BO = = > 0, () B = = > 0. () Contudo, a relação entre e, assim como os sinais de e, variam de um quadrante para outro (lembrese de que estudamos os sinais em cada quadrante na aula passada). no quadrante : pela Figura a, temos =, > 0 e < 0. Assim, as equações () e () fornecem = ( ), = ( ). no quadrante : pela Figura b que =, < 0 e < 0. Assim, pelas equações () e (), vem = ( ), = ( ). no quadrante V: pela Figura c, temos =, > 0 e < 0. Assim, segue das equações () e () que = ( ), = ( ). Observação 4. É possível demonstrar que as relações acima, por exemplo, () = ( ), valem para todo, não apenas para o quadrante indicado. Contudo, a separação em casos por quadrante tem o intuito que garantir que seja um ângulo entre 0 e /. Exemplo 5. Calcule o o e o o de cada um dos seguintes ar. B O A V (a) o e o no segundo quadrante. B O V (b) o e o no terceiro quadrante. O V (c) o e o no quarto quadrante. B A A matematica@obmep.org.br

4 (x) Figura : gráfico da função (x) quando x varia de 0 a, com alguns pontos marcados e seus correspondentes no círculo trigonométrico. (a) /. (b) 5/4. (c) /. Solução. (a) Seja = /. Veja que está no segundo quadrante. Observando a Figura a, temos > 0 e < 0, e = / = / é o ângulo que satisfaz () e (). Logo, (/) = (/) =, (/) = (/) =. (b) ara = 5/4, note que está no terceiro quadrante. Observando a Figura b, temos < 0 e < 0, e = 5/4 = /4 é o ângulo que satisfaz () e (). Assim, temos (5/4) = (/4) =, (5/4) = (/4) =. (c) Sendo = /, temos no quarto quadrante. Observando a Figura c, vemos que < 0 e > 0, e = / = / é o ângulo que satisfaz () e (). Dessa vez, temos que 5 (/) = (/) =, (/) = (/) =. Como isso, para qualquer número real de 0 a, podemos calcular (). A Figura nos mostra como dehar o gráfico da função f(x) = (x), quando x varia de 0 a : do lado esquerdo temos uma cópia do círculo trigonométrico com alguns pontos marcados; do lado direito temos o gráfico desejado. ara obtê-lo, veja que cada ponto sobre o eixo horizontal do gráfico repreta a medida de um arco (em radianos). Selecionamos alguns valores de ar para ilustrar, marcamos os pontos correspondentes no círculo, observamos que a altura de cada ponto marcado corresponde ao o do arco e marcamos a mesma altura no gráfico. Sobre isso, veja também a animação no endereço sin.gif. Observe que entre 0 e / o valor de o aumenta até atingir seu valor máximo, igual a. De / até ele diminui até chegar a zero. De a / continua diminuindo até chegar a seu valor mínimo, igual a. or fim, de / a ele volta a aumentar, até chegar novamente a zero. Neste momento, completamos uma volta inteira no circulo, de forma que o gráfico da função passa a se repetir. Do mesmo modo, para valores negativos de x o padrão mantido é o mesmo. sso é mostrado na curva em azul da Figura, que repreta o gráfico de (x) quando x varia de 0 até 0. or sua vez, a curva em vermelho da Figura é o gráfico de (x). Como podemos perceber isso? Considerando um triângulo retângulo qualquer, se um de seus ângulos não retos tiver medida, o outro terá medida. Como o cateto adjacente a é o cateto oposto a, temos que =. Logo, ( ) () =. (4) Apesar de que a argumentação acima só funciona para 0 < < /, é possível provar que a equação (4) também é valida para qualquer real. Deixamos como exercício analisar o que acontece quando pertence a cada um dos matematica@obmep.org.br

5 y = (x) y y = (x) 5 outros quadrantes. Dessa forma, o gráfico da função (x) nada mais é do que uma translação do gráfico da função (x), e é dessa forma que a curva vermelha da Figura pode ser obtida a partir da curva azul. Tangente Como já sabemos, a tangente de um ângulo pode ser definida como a razão entre o o e o o deste ângulo, desde que o o seja diferente de zero. Também é possível visualizar a tangente usando o círculo trigonométrico. Como antes, considere A = (,0) e seja um ponto qualquer sobre o círculo trigonométrico; também como antes, seja B o pé da perpendicular traçada de ao eixo-x. Agora, tracemos a reta perpendicular ao eixo-x passado pelo ponto A (veja que, como essa reta é perpendicular ao raio OA, ela é tangente ao círculo trigonométrico), e chamemos de C o ponto de interseção da reta O com tal reta. Veja que a abcissa do ponto C é igual a. Vamos mostrar que sua ordenada é igual a tg(). rimeiramente, mostremos que o comprimento do segmento AC é igual ao valor absoluto de tangente de, ou seja, AC = tg(a). Na Figura 4, consideramos o caso em que está no primeiro quadrante, mas não é difícil verificar que o mesmo vale para os demais quadrantes. Veja que os triângulos AOC e BO são semelhantes, pois ambos são triângulos retângulos e possuem o ângulo em comum. Então, temos que: AC AO = B BO. Substituindo AO =, B = e BO = na igualdade acima, temos que Figura : gráfi de o e o de 0 a 0. AC = = = tg. or fim, veja também que quando o ponto C está acima do ponto A é porque está no quadrante ou ; neste caso, temos que tg() é positiva, pois () e () possuem o mesmo sinal. Da mesma forma, quando C está abaixo de A, temos tg() é negativa, pois está no quadrante ou V. or conta disso, chamaremos a O B V 5 Figura 4: eixo das tangentes. reta que contém o segmento AC de eixo das tangentes. Note que, quando = /, o valor de tg() não está definido. sso segue tanto porque a reta que passa por (0,0) e (0,) (este último ponto correspondendo a quando = /) não intersecta o eixo das tangentes, quanto porque tg() = ()/ () mas (/) = 0, de sorte que não podemos realizar uma divisão por zero. De forma geral, sempre que () = 0 o valor de tg() não está definido. sso acontece precisamente quando = /+k onde k é um número inteiro: quando k é par temos um arco congruente a / e quando k é ímpar temos um arco congruente a /. Com as observações acima, podemos construir o gráfico da função tg(x) (veja a Figura 5). ara cada número real x, consideremos = x e observamos o que acontece com o ponto C sobre o eixo das tangentes. Dessa vez, vamos começar com x do um número negativo um pouco maior que / (veja que quando x = / o valor de tg(x) não está definido). Neste caso, o ponto C estará muito abaixo de A, de modo que tg(x) será um número negativo de grande valor absoluto. À medida que x aumenta de / até /, o valor de tg(x) só aumenta, C tg A x 4 matematica@obmep.org.br

6 5 y passado por 0 quando x = 0 e crescendo indefinidamente quando x se aproxima de /. orém, quando x = / o valor de tg(x) novamente não está definido. Repentinamente, para x um pouco maior que /, o valor de tg(x) volta a ser negativo e grande em módulo e o processo se repete, sempre em intervalos de comprimento. Dicas para o rofessor Nesta aula, estendemos as noções de o, o e tangente de ar entre 0 e / para ar em geral. Mostramos ainda como são os gráfi de cada uma dessas funções. É importante que os alunos estejam confortáveis com o conteúdo da aula anterior e, em especial, estejam habituados a usar medidas de ar em radianos. Outro pré-requisito geral desta aula é ter boa familiaridade com o sistema cartesiano e saber (genericamente) esboçar e interpretar gráfi de funções. As referências colecionadas abaixo contém mais sobre funções trigonométricas. Sugestões de Leitura Complementar. A. Caminha. Tópi de Matemática Elementar, Volume : Geometria Euclidiana lana. SBM, Rio de Janeiro, 0.. G. ezzi Os Fundamentos da Matemática Elementar, Volume : Trigonometria. Atual Editora, Rio de Janeiro, 0. y = tg(x) Figura 5: gráfico da tangente no intervalo de 5/ a 5/. 5 x 5 matematica@obmep.org.br