Trigonometria e funções trigonométricas. Funções trigonométricas O essencial

Transcrição

1 Trigonometria e funções trigonométricas Funções trigonométricas O essencial

2 Funções seno e cosseno Designa-se por função seno (respetivamente, função cosseno) e representa-se por sin ou sen (respetivamente, cos) a função real de variável real que a cada x IR faz corresponder sin x ou sen x (respetivamente, cos x).

3 Função tangente Designa-se por função tangente e representa-se por tg ou tan a função real de variável real de domínio: D tan = x IR x π 2 + kπ, k Z, que a cada valor de x D tan faz corresponder tg x ou tan x.

4 Funções periódicas Dado um número real P > 0, uma função f designa-se por periódica de período P ou P-periódica se, para todo o x D f, x + P D f e f x + P = f(x). Como, para qualquer x D f, x + P D f, então, também (x + P) + P = x + 2P D f e f x + 2P = f x + P + P = f x + P = f(x) ou seja, 2P também é período de f. Analogamente, 3P, 4P,, kp, k IN são períodos de f.

5 Período fundamental de uma função Dada uma função f, o número real P 0 > 0 designa-se por período fundamental de f ou período positivo mínimo de f se f for P 0 -periódica e não admitir outro período inferior a P 0.

6 Estudo das funções seno de cosseno sin x + 2kπ = sin x, k Z cos x + 2kπ = cos x,k Z

7 Domínio, contradomínio e período fundamental As funções seno e cosseno têm domínio IR, contradomínio 1, 1 e período fundamental 2π.

8 Zeros Zeros da função seno Os zeros da função seno são os números da forma kπ, k Z, ou seja: sin x = 0 x = kπ, k Z Zeros da função cosseno Os zeros da função cosseno são os números reais da forma π 2 + kπ, k Z, ou seja: cos x = 0 x = π + kπ, k Z 2

9 Extremos relativos da função seno A função seno admite máximos relativos nos pontos de abcissa da forma π 2 + 2kπ, k Z e mínimos relativos nos pontos de abcissa da forma 3π 2 + 2kπ, k Z.

10 Extremos relativos da função cosseno A função cosseno admite máximos relativos nos pontos de abcissa da forma 2kπ, k Z e mínimos relativos nos pontos de abcissa da forma π + 2kπ, k Z.

11 Gráfico da função seno

12 Gráfico da função cosseno

13 Paridade Dada uma função, f, real de variável real: f é par se, e somente se, para todo o x D f, x D f e f x = f(x) e f é ímpar se, e somente se, para todo o x D f, x D f e f x = f(x)

14 Paridade A função cosseno é par e a função seno é ímpar.

15 Estudo da função tangente Tomando a função tangente como o quociente das funções seno e cosseno, tem-se, porque o seno e o cosseno têm domínio IR: tan x = sin x cos x e D tan = x IR: cos x 0 = x IR: x π 2 + kπ, k Z ou D tan = IR\ x IR: x = π + kπ, k Z 2

16 Período fundamental O período fundamental da função tangente é π.

17 Contradomínio e zeros O contradomínio da função tangente é IR, isto é: D tan = IR Os zeros da função tangente são os números da forma x = kπ, k Z, isto é: tan x = 0 x = kπ, k Z

18 Gráfico da função tangente

19 Paridade A função tangente é ímpar, ou seja, x D tan, x D tan e tan x = tan x Repare que, se x π 2 + kπ, k Z, então, x π 2 kπ, ou seja, x D tan, e tan x = sin x cos x sin x = cos x = tan x

20 Quadro resumo Função seno Função cosseno Função tangente Domínio IR IR IR\ x: x = π 2 + kπ, k Z Contradomínio 1,1 1,1 IR Período fundamental 2π 2π π Zeros kπ, k Z π 2 + kπ, k Z kπ, k Z Extremos relativos Máximo 1; para x = π + 2kπ, k Z 2 Mínimo 1; para Máximo 1; para x = 2kπ, k Z Mínimo 1; para Não tem extremos x = 3π 2 + 2kπ, k Z x = π + 2kπ, k Z Paridade Ímpar Par Ímpar

21 Fórmula fundamental da trigonometria generalizada Para todo o x IR: cos 2 x + sin 2 x = 1 e consequentemente: para todo o x IR\ x: x = π 2 + kπ, k Z : tan 2 x + 1 = 1 cos 2 x

22 Fórmulas de redução ao primeiro quadrante Para todo o x IR, tem-se: sin x = sin x e cos x = cos x; sin x + π = sin x e cos x + π = cos x; sin x π = sin x e cos x π = cos x; sin x + π 2 = cos x e cos x + π 2 sin x π 2 = cos x e cos x π 2 = sin x; = sin x.

23 Função arco-seno Designa-se por função arco-seno e representa-se por arcsin ou arcsen a função inversa da função: f: π 2, π 2 1, 1, f x = sin x ou seja, a função de domínio 1, 1 e conjunto de chegada π 2, π 2, que, a cada x 1, 1, associa o número real y = arcsin x, que se entende como a amplitude y π 2, π 2, em radianos, do arco cujo seno é x. Assim: arcsin x = y sin y = x, y π 2, π 2 e x [ 1, 1].

24 Função arco-seno Consequentemente: arcsin(sin y) = y e sin(arcsin x) = x; y π 2, π 2 e x [ 1, 1].

25 Função arco-cosseno Designa-se por função arco-cosseno e representa-se por arccos a função inversa da função definida por: g: 0, π 1, 1, tal que g x = cos x ou seja, a função de domínio 1, 1 e conjunto de chegada 0, π, que, a cada x 1, 1, associa o número real y = arccos x, que se entende como a amplitude y 0, π, em radianos, do arco cujo cosseno é x. Assim: arccos x = y cos y = x, y 0, π e x [ 1, 1].

26 Consequentemente: Função arco-cosseno arccos (cos y) = y e cos arccos x = x, y 0, π e x [ 1, 1].

27 Função arco-tangente Designa-se por função arco-tangente e representa-se por arctan ou arctg a função inversa da função definida por: h: π 2, π 2 IR, tal que h x = tan x ou seja, a função de domínio IR e conjunto de chegada π 2, π 2, que, a cada x IR, associa o número real y = arctan x, que se entende como a amplitude y π 2, π 2, em radianos, do arco cuja tangente é x. Assim: arctan x = y tan y = x, y π 2, π 2 e x IR.

28 Consequentemente: Função arco-tangente arctan (tan y) = y e tan arctan x = x, y π 2, π 2 e x IR.

29 Equações trigonométricas As equações do tipo sin x = a, a 1, 1, cos x = a, a 1, 1 e tan x = a, a IR podem ser transformadas em equações do tipo sin x = sin α, cos x = cos α e tan x = tan α, respetivamente, escolhendo-se um valor adequado para α, que pode ser, por exemplo, respetivamente, α = arcsin a, α = arccos a, arctan a.

30 Equações trigonométricas sin x = sin α x = α + 2kπ x = π α + 2kπ, k Z cos x = cos α x = ±α + 2kπ, k Z tan x = tan α x = α + kπ, k Z