Aula 26 A regra de L Hôpital.

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1 MÓDULO - AULA 6 Aula 6 A regra de L Hôpital Objetivo Usar a derivada para determinar certos ites onde as propriedades básicas de ites, vistas nas aulas 3, 4, e 5, não se aplicam Referência: Aulas 3, 4, 5 e 0 Você se lembra de que, na aula 3, do módulo, vimos como conseqüência das Proposições 3 e 33 que, se a f l e a g l, f com l 0, então a f a g l g l a No caso em que g 0 esta regra não pode ser aplicada É o a caso, por eemplo, do que, como vimos, não eiste É o caso, também, 0 do Para determinar este ite lançamos mão da fatoração de polinômios Obtemos que este ite é igual a O sen 0 3 3, visto na aula 4, é um outro eemplo dessa situação Mostramos que este ite é igual a usando outras técnicas Uma pergunta natural a se fazer é: eiste uma maneira mais simples de determinar ites de funções quando as propriedades elementares por nós conhecidas não se aplicam? Daremos a resposta a esta pergunta em alguns casos O que veremos agora é que, sob certas hipóteses, podemos usar a derivada para determinar no caso em que f 0 e g 0 f a g a a Iniciemos pela forma indeterminada 0 0 Definição 6 Quando f 0 e g 0, dizemos que a função a a f tem a forma indeterminada 0 em a g 0 Veremos, agora, um método geral para encontrar o ite de uma função que tem a forma indeterminanda 0 em um número a Este método é atribuído 0 ao matemático amador francês Guillaume François de L Hôpital , que escreveu o primeiro livro de Cálculo, publicado em 696 Este método é conhecido como regra de L Hôpital 95 CEDERJ

2 Teorema 6 regra de L Hôpital f a Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, eceto possivelmente em um ponto a I Suponha que para todo a em I, g 0 Suponha, além disso, que f 0 e g 0 Então, se L, a a g f segue que L a g O que o teorema nos diz é que se f tem a forma indeterminada 0 em g 0 a e se a derivada do numerador f e do denominador g são tais que f a g L, então L g a f O teorema também é válido se todos os ites forem ites à direita ou se todos os ites forem ites à esquerda É o caso, por eemplo, quando o ponto a for o etremo inferior de I ou o etremo superior de I eemplos Antes de demonstrar o teorema, vamos ilustrar seu uso em alguns Eemplo 6 Usando fatoração de polinômios, vimos que 3+ Como e , podemos aplicar a regra de L Hôpital para obter Eemplo sen Já sabemos que Como sen 0 e 0, podemos aplicar a regra de L Hôpital para obter Eemplo 63 sen cos 0 0 cos Vamos determinar o 0 sen Temos cos 0 e sen 0; aplicando a regra de 0 0 L Hôpital, temos cos 4cos sen cos 0 sen 0 sencos 0 cos O eemplo a seguir mostra que a regra de L Hôpital pode ser aplicada repetidas vezes desde que em cada etapa as condições do Teorema 6 sejam satisfeitas CEDERJ 96

3 MÓDULO - AULA 6 Eemplo 64 Determinemos o 0 cos em a 0, pode- Como a função tem a forma indeterminada 0 cos 0 mos aplicar a regra de l Hôpital para obter 0 cos 0 sen 0 sen Como 0 e sen 0, podemos, de novo, aplicar a regra 0 0 de l Hôpital para obter 0 cos 0 sen 0 cos Na aula 6 você foi apresentado ao teorema do valor médio Agora, para demonstrar o Teorema 6, necessitamos do teorema conhecido como o teorema do valor médio de Cauchy que é uma etensão do teorema do valor médio Este teorema é atribuído ao matemático francês Augustin Louis Cauchy Teorema 6 Teorema do valor médio de Cauchy Sejam f e g duas funções tais que: a f e g são contínuas no intervalo fechado [a, b]; b f e g são deriváveis no intervalo aberto a, b; c g 0 para todo a, b Então eiste pelo menos um número c a, b tal que fb fa gb ga f c g c Demonstração: Observe que, se ga gb, então pelo teorema de Rolle visto na aula 6 eiste a, b tal que g 0, o que contraria a hipótese do teorema Portanto, ga gb, isto é, gb ga 0 Considere a função h definida por h [fb fa]g [gb ga]f para [a, b] Evidentemente, h é contínua em [a, b], pois f e g são contínuas em [a, b] Analogamente, como f e g são deriváveis em a, b, segue que h é derivável em a, b e h [fb fa]g [gb ga]f para a, b 97 CEDERJ

4 Agora, hb [fb fa]gb [gb ga]fb fbga fagb e ha [fb fa]ga [gb ga]fa fbga fagb ou seja, ha hb Podemos, portanto, aplicar o teorema de Rolle à função h e concluir que eiste um número c a, b tal que h c 0, isto é, 0 [fb fa]g c [gb ga]f c Como gb ga 0 e, por hipótese, g c 0, concluímos da última igualdade que provando assim o teorema fb fa gb ga f c g c, Você pode observar que se a função g é dada por g, então g e a conclusão do teorema se reduz à conclusão do teorema do valor médio Agora, estamos prontos para demonstrar o Teorema 6 Note que, se provarmos a regra de l Hôpital para o caso em que se aproima de a pela direita e o caso em que se aproima de a pela esquerda, o teorema estará provado, pois a igualdade dos ites laterais garante a conclusão do teorema Faremos a demonstração para o ite à direita; o outro caso é análogo Demonstração do Teorema 6: Vamos mostrar que se f 0, + g 0 e a + f a + g f L, então L a + g Considere as funções F e G definidas por F { f se a, 0 se a; Seja b I tal que b > a e G { a g se a, 0 se a Como f e g são deriváveis em I, eceto possivelmente em a, temos que F e G são deriváveis em a, ] para todo a, b e, portanto, contínuas em a, ] para todo a, b Note também que, como F f 0 F a e G g a + a + a + a + 0 Ga, concluímos que F e G são contínuas em cada intervalo [a, ], para todo a, b Vemos, assim, que F e G satisfazem as hipóteses do teorema CEDERJ 98

5 MÓDULO - AULA 6 do valor médio de Cauchy em cada intervalo [a, ], para a, b Segue, então, que para cada a, b eiste c a, tal que F F a G Ga F c G c, ou seja, f g f c g c É importante observar que o número c depende de visto que, para cada a, b, o intervalo a, ao qual c pertence, varia Por outro lado, quando a +, também c a + ; conseqüentemente, f a + g f c a + g c f c c a + g c f a + g L, o que prova o teorema Veremos, agora, que a regra de l Hôpital também é válida no caso em que + e no caso em que Enunciaremos e demonstraremos somente o primeiro caso; o segundo, deiaremos como eercício ver o Eercício 3 Teorema 63 Sejam f e g duas funções deriváveis em um intervalo aberto a, +, sendo a uma constante positiva e g 0 para todo a, + Suponha que f 0 e g 0 Então, se + + segue que f + g L, f + g L Demonstração: Fazendo t para > a, segue que t com 0 < t < a e t 0+ quando + Considere as funções F e G definidas por F t f e Gt g para t 0, t t a Note que t 0 +F t t t 0 +Gt t 0 +g + t 0 +f t f 0 Analogamente, + g 0 99 CEDERJ

6 Pela regra da cadeia, F e G são deriváveis em 0, a e F t t f e G t para t t t g t 0, a obtemos logo, Aplicando o Teorema 6 às funções F e G no intervalo 0, a, F t t 0 + Gt F t t 0 + G t ; f + g f t t 0 + g F t t 0 t + Gt F t t 0 + G t f t 0 + t g t o que completa a prova do teorema Vejamos um eemplo Eemplo 65 sen O + sen f + g L, é tal que + sen 0 e + sen 0 Podemos, assim, aplicar o Teorema 63 para obter sen cos + + sen cos + cos cos Agora, passaremos ao estudo de outras formas indeterminadas sec 3 Vejamos a forma indeterminada sec Se você quiser determinar o, você não pode aplicar a propriedade do quociente, pois sec + e sec 3 + Veremos, agora, que a regra de l Hôpital também se aplica a uma forma indeterminada deste tipo Definição 6 Quando f + e g +, dizemos que a a a função f tem a forma indeterminada em a g Você deve observar na definição que as formas, e + são, todas + elas, indeterminações do tipo O teorema que veremos a seguir é a regra de l Hôpital para a forma indeterminada do tipo Sua demonstração será omitida, pois está além dos objetivos deste curso CEDERJ 00

7 MÓDULO - AULA 6 Teorema 64 Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, eceto possivelmente em um ponto a I Suponha que g 0 para todo a em I Suponha, além disso, que a f + e a g + Então, se segue que f a g L, f a g L O Teorema 64 também vale no caso em que ainda válido se considerarmos ites laterais Eemplo 66 7tg Determinemos o sec Como + Teorema 64 para obter Eemplo 67 Determinemos o Como f a g ±, sendo 7tg e + sec, podemos aplicar o tg 5 + sec + cos + + e regra de l Hôpital para obter + cos 7sec sectg 7sec + tg + 7 cos sen cos 7 + sen 7 cos +, podemos aplicar a + sen + sen + 0 CEDERJ

8 Veremos, agora, mais dois casos de formas indeterminadas São elas as formas indeterminadas 0 e Definição 63 Se f + e g 0, dizemos que o produto a a fg tem a forma indeterminada 0 g /f Para determinar fg, escrevemos fg como ou a como f No primeiro caso, obtemos a forma indeterminada 0 e, no segundo caso, obtemos a forma indeterminada A escolha de uma das duas /g 0 formas dependerá de qual delas é a mais conveniente, em cada caso Eemplo 68 Calculemos o Como sec5 0 e sec5 +, temos uma forma sec5 como indeterminada do tipo 0 Escrevendo, obtemos sec5 uma indeterminação da forma 0 Aplicando a regra de l Hôpital, obtemos 0 sec5 sec5 5sec5tg5 sec 5 5tg5 sec5 5tg5 sec 5 /cos5 5sen5/cos5 5sen5 5 Você deve estar se perguntando porque não foi feita a escolha de se escrever sec5 como sec5 O motivo é que ao derivar o numerador e o denominador deste quociente, obtemos 5sec5tg5 o que, convenhamos, CEDERJ 0

9 MÓDULO - AULA 6 não ajuda em nada Por isso, a escolha entre as duas formas de escrita do produto fg como um quociente deve ser feita levando-se em conta qual dentre elas facilita a aplicação da regra de l Hôpital É claro, também, que poderíamos ter determinado este ite muito mais facilmente escrevendo sec5 como, obtendo a forma cos5 indeterminada 0 que, neste caso, tem solução bem mais simples A opção 0 pela solução apresentada teve como objetivo ilustrar a técnica no caso de uma indeterminação da forma 0 Definição 64 Se f + e g +, dizemos que a diferença a a f g tem a forma indeterminada Para resolver este tipo de indeterminação escreva f g como /g /f /fg, observando que esse último quociente tem a forma indeterminada 0 0 Eemplo 69 Calculemos o 0 + sen sen Claramente sen como sen sen, obtemos tem a forma indeterminada Escrevendo 0 + sen sen 0 + sen cos 0 + sen + cos, que, de novo, tem a forma indeterminada 0 Aplicando novamente a regra 0 de l Hôpital, obtemos 0 + sen 0 + sen sen cos 0 + sen + cos sen 0 + cos sen 0 0 A regra de l Hôpital se aplica a outras formas de indeterminação, a saber, 0 0, 0 e Entretanto, para tratá-las, necessitaremos das funções logarítmica e eponencial, que serão estudadas nas aulas 36, 37, 38 e CEDERJ

10 Resumo Nesta aula você constatou, mais uma vez, a importância da derivada que, neste caso, através da regra de L Hôpital, se mostrou etremamente eficaz para o cálculo de certos ites Eercícios Encontre todos os valores de c, no intervalo [a, b] dado, que satisfaçam a conclusão do teorema do valor médio de Cauchy para o par de funções dadas a f 3, g ; [a, b] [0, ] b f cos, g sen; [a, b] [0, ] c f +, g + ; [a, b] [0, ] d f tg, g 4 ; [a, b] [ 4, 4 ] e f, g ; [a, b] [, ] Use a regra de l Hôpital para calcular cada um dos ites abaio: a sen b 0 tg sen/ c + / sen d 0 sen e 0 + cos cos3 sen 3 f 0 cos/ tg3/ g + sen7/ 5/ 3 Enuncie e demonstre o Teorema 63 no caso em que 4 Use a regra de l Hôpital para calcular cada um dos ites abaio: + sec tg d tg tg e + f + h sen cos sec3 b + tg3 c sen + + g 0 5 Mostre que n n+ n + n + nn + CEDERJ 04

11 MÓDULO - AULA 6 Auto-avaliação Nesta aula você aprendeu uma nova técnica para calcular ites Os eercícios propostos eigem o domínio das regras de derivação e a identificação, em cada caso, da forma de indeterminação da regra de l Hôpital a ser aplicada Caso persista alguma dúvida, releia a aula com atenção ou procure o tutor no seu pólo 05 CEDERJ