Capítulo 7: Escoamento Interno

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1 Caítulo 7: Escoamento Interno Transferência de calor

2 Escoamento interno O fluido está comletamente confinado or uma suerfície sólida: reresenta o escoamento de um fluido em um duto ou tubulação. Assim como no escoamento eterno, no interno há dois regimes distintos: Re cr = 2300 Laminar: Re < 2300 Turbulento: Re > 2300 O número de Reynolds é definido como: ρud Re = = µ UD ν Sendo D o diâmetro interno do tubo

3 Transferência de calor do fluido Quando um fluido é aquecido (ou resfriado) numa tubulação, energia é transferida ao fluido ao longo da tubulação. A temeratura do fluido varia RADIALMENTE E AXIALMENTE ao longo da tubulação Eemlo de aquecimento com arede a temeratura constante r

4 Transferência de calor do fluido No escoamento eterno, o fluo de calor é determinado or meio de uma diferença entre duas temeraturas referenciadas (eemlo: T arede e T fluido eterno ). Para escoamentos internos (confinados) a temeratura do fluido varia aialmente e radialmente e or isto é necessário um cuidado esecial ara estabelecer a temeratura de referência.

5 Variação de energia no fluido Balanço de energia (1 a lei) ara um volume de controle que envolva o fluido (considerando RP, sem realização de trabalho e desrezando variações de energia cinética e otencial ): Q SC ( m& h) e ( m& h) s ( h - h ) Q& m& = s e

6 Determinação das entalias Tanto velocidade quanto temeratura variam ao longo da seção transversal. Do onto de vista local, caso não haja mudança de fase, ode-se escrever que: h = c T ou r U(r) T(r) c.t(r).u(r) Perfil Velocidades mh & Perfil Temeraturas = A ρu(r)c Perfil J.kg -1.m -2 T(r)dA Z

7 Temeratura de mistura A entalia na entrada ou saída do V.C. é então determinada or meio da integral do roduto entre a velocidade, temeratura e calor esecífico mh & = A ρc U r ( ) T( r)da O lado esquerdo ode ser reresentado elo roduto entre c e uma TEMPERATURA DE MISTURA, Tm: Logo: mc & T m = ( ) T( r) h c T m ρcu r da Tm = A A ρc ( ) T( r) U r mc & da

8 Temeratura de mistura Tm é a temeratura que se obtêm ao retirar uma amostra de fluido em toda seção transversal do duto, colocar em um coo e fazer uma mistura. Ela é MUITO CONVENIENTE ois o roduto c Tm eressa a entalia esecífica na seção transversal do duto. Neste caso o balanço de energia numa tubulação fica sendo: ( h h ) Q mc ( Tm Tm ) Q m& = s e & & = s e &

9 Temeratura de mistura Ao se transferir calor em um tubo: A Tm aumenta em com o aquecimento; A Tm diminui em com resfriamento. A Tm é a temeratura de referência ara o cálculo do coeficiente de transferência de calor em tubulações.

10 Lei de Newton Para um escoamento trocando calor no interior de um tubo, ode-se escrever que: ( ) " q& = h T T Logo, o fluo de calor or unidade de área é o roduto de h (coeficiente local de transferência de calor) ela diferença entre as temeraturas T e T m (temeratura da suerfície arede do tubo e de mistura, resectivamente). m

11 Perfil de temeratura e desenvolvimento térmico Quando um fluido recebe um fluo de calor ao longo da arede do tubo, sua temeratura varia tanto na direção radial, como na aial. Esta é uma situação diferente da hidrodinâmica, na qual o erfil de velocidade não varia aialmente aós uma certa distância (escoamento lenamente desenvolvido). Pode-se alcançar um regime termicamente desenvolvido ara dutos?

12 Perfil de temeratura desenvolvido O erfil de temeratura altera ao longo do comrimento do duto, contudo a artir de um determinado onto sua forma relativa não se altera mais: r θ Tm T(r,) = T s T s T(r) T (r,) T m θ Perfil θ Temeratura r A artir do desenvolvimento, essa variável ficará constante. Quando dθ/d = 0 ele é dito termicamente desenvolvido.

13 Balanço de energia do fluido Pela 1 a lei ara um VC que envolva o fluido e esteja escoando em RP: Q SC ( m& h) e ( m& h) s Considerando que não é realizado trabalho e sejam desrezadas as variações de energia cinética e otencial: ( h - h ) Q& m& = s e

14 Balanço de energia do fluido Eressando-se os fluos em função da temeratura de mistura: ( ) mh & = ρ UA C T & e me ( & ) ( ) m mh s = mh e + ρ UA C Q& = q& P " dt ρ UA C = q& P d ( ) m " dt d onde P é o erímetro molhado do tubo em contato com o fluido

15 Fluo de calor uniforme: temeratura de Balanço de energia: dt ρ UA C = q P 123 d ( ) m " & m& mistura Quando o fluo de calor for constante, ode-se integrar diretamente a equação do balanço de energia e achar a temeratura de mistura ara qualquer valor de >0: " q& ( ) P Tm = + T m& C Te me Q & Onde T me é a temeratura de mistura da entrada

16 Fluo de calor uniforme: temeratura da A temeratura de mistura varia linearmente com a distância. Para aquecimento, a temeratura da arede semre aumenta. Ela ode ser calculada em 0 qualquer osição or meio de Tm : " " q& q& = h T Tm T = + Tm h arede ( ) ( ) ( ) 0 Note que ara escoamento desenvolvido, h é cte e ortanto T ossui a mesma inclinação que Tm. T T m h

17 Eemlo: Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com velocidade média de 1 m/s. A temeratura de mistura da água na entrada da seção de aquecimento vale 18 o C. 20kW de otência são transferidos ara água. Calcule a temeratura de mistura da água no onto que ela deia o tubo. Desreze variações da energia cinética e otencial. T me = 18 o C U = 1m/s 20kW Q & Tms =? Quando o fluo de calor é constante, a temeratura da mistura no final do tubo é: " q& P Tm ( ) = + Tme m& C Proriedades avaliadas na temeratura média de mistura: 20 o C (chute!) c = 4,182 kj/kg o C ρ=998,3 kg/m 3

18 Eemlo: Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com velocidade média de 1 m/s. A temeratura de mistura da água na entrada da seção de aquecimento vale 18 o C. 20kW de otência são transferidos ara água. Calcule a temeratura de mistura da água no onto que ela deia o tubo. Desreze variações da energia cinética e otencial. T me = 18 o C U = 1m/s 20kW Q & Tms =? A vazão mássica: m = ρ.u.a transv = 998,3*1*π(0,03) 2 /4= 0,7053 kg/s " P* = A q& * A = Q& Como: " q& ( ) A Tm = + T m& C me Tms = + 18 = 0,7053* ,8 o C

19 Eemlo: Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com velocidade média de 1 m/s. A temeratura de mistura da água na entrada da seção de aquecimento vale 18 o C. 20kW de otência são transferidos ara água. Calcule a temeratura de mistura da água no onto que ela deia o tubo. Desreze variações da energia cinética e otencial. T me = 18 o C U = 1m/s 20kW Q & Tms =? Para a T ms encontrada ode-se obter a temeratura de mistura e verificar se o erro é desrezível: ,8 o Tm = = 21,4 C 2 As roriedades serão: c = 4,186 kj/kg o C ρ=998 kg/m 3 m = ρ.u. A transv = 998*1*π(0,03) 2 /4= 0,7051 kg/s o Tms = + 18 = 24,8 C O resultado é o mesmo, logo 0,7051* 4186 T ms = 24,8ºC é aceitável.

20 Temeratura da arede uniforme: temeratura da mistura T cte Te T cte Para temeratura de arede uniforme não é ossível integrar diretamente a eq. do balanço. dtm " m& C = q& P = h P (T Tm ) d Mas assumindo um h médio entre a entrada e saída, ela ode ser integrada: Ln T ( T ) s h P = m& C m e

21 Temeratura da arede uniforme: temeratura da mistura Para qualquer osição aial do tubo: T T h P = EXP T T me m& C m ( ) Quando = L (comrimento total do tubo), P.L = A (área de transferência de calor do tubo), então: T T ms h A = EXP T T m& C me

22 Eemlo: Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com uma velocidade média de 20 m/s. A suerfície do duto está a uma temeratura uniforme de 80 o C, enquanto que a temeratura de mistura do ar que entra no duto vale 20 o C. Determine o comrimento do duto necessário ara obter uma temeratura de mistura na saída de 40 o C. O coeficiente médio de transferência de calor vale 80 W/m 2 o C. T me =20 o C U = 20m/s T 80 o C T 80 o C Quando a temeratura da arede é uniforme: T ms =40 o C T T ms h A = EXP T T me m C & E ode-se encontrar L através da área (A=P*L): mc & L = hp T * ln T T T ms me

23 Eemlo: Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com uma velocidade média de 20 m/s. A suerfície do duto está a uma temeratura uniforme de 80 o C, enquanto que a temeratura de mistura do ar que entra no duto vale 15 o C. Determine o comrimento do duto necessário ara obter uma temeratura de mistura na saída de 40 o C. O coeficiente médio de transferência de calor vale 80 W/m 2 o C. T me =20 o C U = 20m/s T 80 o C T 80 o C A temeratura média da mistura será: T ms =40 o C Tm = = 30 2 As roriedades são: c = 1,0064 kj/kg o C ρ=1,1644 kg/m 3 m = ρ.u. A transv = 1,1644*20*π(0,03) 2 /4=0,01422 kg/s P = πd = 0,094 m mc & T T ms 0,01422*1006, L = * ln *ln = hp = T T me 80* 0, C o 0,77 m

24 Número de Nusselt Como visto anteriormente, ara se determinar as distribuições de temeraturas ou os fluos de calor é necessário se conhecer o coeficiente de transferência de calor da elícula (h). Esse arâmetro é determinado a artir do número de Nusselt, definido or: Nu = hd k

25 Re < 2300 Escoamento laminar As roriedades devem ser avaliadas na temeratura média da temeratura de mistura: T ro = (T m,e + T m,s )/2 Peclet: Pe = Re.Pr Tem. const. & Pe.(D/L) < 100 região termicamente desenvolvida e Nu = 3,66 Q const. & Pe.(D/L) < 1000 região termicamente desenvolvida e Nu = 4,36

26 Nu ara regiões de entrada térmica e erfil vel. desenvolvido. Dutos circulares e Escoamento Laminar Re < 2300

27 Nu ara escoamento lenamente desenvolvido. Dutos não-circulares e Escoamento Laminar Re < 2300 D A P = erímetro h c 4Ac = P = área da seção transversal molhado Nu = hd k h

28 Nusselt - Escoamento laminar As correlações de Nu aresentadas referem-se ao gradiente de temeratura na direção aial. Para considerar também o gradiente de temeratura na direção radial é necessário fazer uma correção no valor de Nu: Nu cor = Nu 0,14 Onde os índices m e indicam a temeratura média da mistura e de arede, resectivamente. µ µ m

29 Escoamento turbulento Nesse caso: Re > D h deve ser usado como comrimento característico no cálculo de Re e Nu.

30 Escoamento turbulento: tubos rugosos Para escoamentos turbulentos em dutos RUGOSOS de seção circular ou não-circular ode-se emregar a analogia entre atrito e calor roosta or Chilton- Colburn: f 2 3 = St Pr 8 f é o fator de atrito (diagrama de Moody) e St (St = Nu/(RePr)). Substituindo a definição de St, encontra-se que: f Re 1 3 Nu = dh 8 Pr Note que Re dh é calculado utilizando-se o diâmetro hidráulico

31 Nusselt - Escoamento turbulento No caso de ser um gás ou vaor, a correção no valor de Nu considerando também o gradiente de temeratura na direção radial é: Onde as temeraturas estão na escala ABSOLUTA. Gás sendo resfriado: n = 0 Gás sendo aquecido: n deende do gás (n 0,45, eceto ara CO 2 ) Para líquidos: Nu cor Nu T = Nu T cor = Nu m Pr Pr m n 0,11

32 Resumo 1. Definição de Temeratura de Mistura, Tm; 2. Fluo Calor num Tubo 3. Balanço Energia num Tubo 4. Fluo Calor na Parede Constante 5. Temeratura na Parede Uniforme 6. Correlações Nu Laminar & Turbulento T q& " P Te C q& Tm = + m & T ( ρ UA) C = q& P T m T ( L) E ( T ) " = h T m dtm d = EXP " h A m& C

33 ESCOAMENTO Laminar Re D < 2300 Nu ESCOAMENTO LAMINAR T Uniforme Q Cte Duto Circular Outras Formas Duto Circular Outras Formas Nu Local & Médio Desenvolvido Nu Local = Médio Desenvolvido Nu Local & Médio Desenvolvido Nu Local=Médio Desenvolvido Nu Local & Médio Em Desenvolvimento Nu Local & Médio em Desenvolvimento

34 ESCOAMENTO Turbulento Re D > 2300 Nu ESCOAMENTO TURBULENTO T uniforme Q constante Duto Circular Outras Formas Nu Médio Nu Médio Nu = g(re,pr) Chilton-Colburn f =g(st,pr)

35 Eemlo: Ar quente escoa através de um duto de seção retangular, 7,5cm or 30cm. O ar entra no duto com uma temeratura de mistura de 60 o C e uma velocidade de 60m/s. O duto tem 16 m de comrimento e as aredes do duto odem ser consideradas com tendo temeratura uniforme igual a 4 o C. Se a temeratura do ar que deia o duto for menor que 57 o C, ficou decidido que o duto deveria ser isolado. Você recomenda que o duto seja isolado? Quando a temeratura da T ms >57 o C arede é uniforme: 30 cm T = 4 o C 16 m 7.5 cm T T ms h A = EXP T T m& C me T me = 60 o C U = 60m/s T E ode-se encontrar Tms: ms T ( T T ) hpl e = me mc &

36 T me = 60 o C U = 60m/s T ms >57 o C Considerando que a 30 cm 7.5 cm temeratura máima de saída seja 57º C (chute) a temeratura média da mistura será: (60+57)/2 = 58,5 o C C (kj/kg. o C) ρ (kg/m 3 ) ν (m 2 /s) k (W/m o C) Pr 1,0079 1, , , ,7081 T = 4 o C 16 m Para o tubo de seção retangular, a área transversal ao fluo, A transv, e o erímetro P são, resectivamente: 225 cm 2 Logo o diâmetro hidráulico: d h = 4.A T /P = 12 cm O número de Re: Re = U.d h /ν = /(18, )=3, Regime Turbulento (Re dh > 2300) e 75cm. m & = ρua = 1,0645* 60* 0,0225 = 1,4371 kg/s

37 30 cm T = 4 o C T ms >57 o C 16 m 7.5 cm C (kj/kg. o C) ρ (kg/m3) ν (m2/s) k (W/m o C) Pr 1,0079 1, , , ,7081 T me = 60 o C U = 60m/s T Nu Nu = 0,0214(Re h*d = k 4/5 100)(Pr) 2/5 1 + dh L 2/3 565,90* 28, ,12-3 h = 565,90 h = = hpl = T me mc & = 565,90 133,98W/m ( T T ) e o 22,46 C ms = 2 o C

38 30 cm T = 4 o C T ms >57 o C 16 m 7.5 cm A temeratura média da mistura será: (60+22,46)/2 = 41 o C C (kj/kg. o C) ρ (kg/m3) ν (m2/s) k (W/m o C) Pr 1,0068 1, , , ,710 T me = 60 o C U = 60m/s Udh 60* 0, 12 Re = = = 4, ν 16, Nu = 0,0214(Re 4/5 100)(Pr) 2/5 1 + dh L 2/3 = 614,03-3 h*d 614,03* 27,1.10 Nu = h = 614, 03 h = 138,67W/m k 0,12 = T hpl = T me mc & ( T T ) e o 22,9 C ms = 2 o C Como a temeratura de saída é menor que 57º C. o duto deverá ser isolado.

39 Trocadores de calor São equiamentos que fazem a transferência de energia de uma corrente quente de fluido ara uma corrente fria. Normalmente, os dois fluidos são searados or aredes sólidas: São chamadas de suerfícies de troca. No caso de fluidos imiscíveis, as aredes sólidas odem ser disensadas e o trocador é chamado de contato direto. T fs T qs T qe T fe

40 FIM!