Matemática E Extensivo V. 4

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1 Etensivo V. Eercícios n 0) a) Por roriedade, 0. Logo 0. Ou ainda, ! 0! 0! b) Por roriedade, n 0. Logo. Ou ainda, 0 0!! 0!!! c) Por roriedade, n n. Logo. Ou ainda,!!( )!!!!!! d) Por roriedade, n. Logo. Ou ainda, n!!! 0!! n e) Por roriedade, n n. Logo. Ou ainda,!!!!! f) 0 0! 0 9! 90!!!! 0) 0 Usando a relação de Stiefel, n + n + n + +, temos: Logo, 0 7 0! 7!( 0 7)! 0! 0 9 7! 7!! 7!! ) A Usando a redução de Stiefel temos: a a b + + b + + a + b + 0) E a + a b b + a + + a + b + b + n + ( n + )! 7 n!( n + )! 7 ( n )!!( n )! ( n + )!! ( n )! 7!( n )! ( n )! ( n+ ) n ( n )!! 7!( n )! ( n+ ) n 7 n + n 7 n ² + n 7 n ² + n n ² + n 0 Resolvendo a equação de segundo grau acima temos n ' e n " 7 Como n deve ser um número natural, temos que a única solução é n. Logo n é um múltilo de. 0) 7 0) E! 0!! 0! 0! 0! 0! 0! 0! 7 7 (n + )! + (n + )! (n + )! ( n+ )! + ( n+ )! ( n + )! ( n + )! ( n + )! + ( n + )! ( n + )!

2 ( n+ ) ( n+ ) ( n + )! + ( n+ ) ( n+ )! ( n + )! ( n + )! n ² + n + n + +n + n ² +n + n ² + n 0 n (n + ) 0 n 0 " n+ 0 n Como n deve ser um número natural, logo temos n 0. 07) S {, } Pelo conteúdo de equação binomial se n n q, então q ou + q n. Logo: ou Temos S {, } 0) S { } ou 09) A Ou Note que não ode ser ois:, que não é natural. Observe também que não ode ser ois: 0, que também não é natural. Logo S { } ou. K+ K + Como os binomiais são comlementares, temos: + K + K + k 0) C 9 + Relação de Stiefel 9 9 Usando a definição de equação binomial: ou ) E ) A ) C + 9 Note que essa soma alternada é a soma alternada da linha n 0 do triângulo de Pascal. Logo : n n n. n ( n)! n!( n n)! ( n)! ( n)!(( n( n ))! ( n )! ( n)! n! n! ( n)!( n+ )! ( n)!( n+ )! n! n! ( n )!( n+ ) n! n ( n)! n! n + n Se lembrarmos da roriedade, tínhamos: n n n n n n Note que na eressão acima faltam dos termos 7 0 e 7. Logo usaremos a roriedade e descontaremos 7 esses dois valores. Temos assim: Logo. ) D k + k k

3 Resolvendo os binomiais temos: ) ³ y + ² y ² y ³ + y ( y) 0 () (y) 0 + () (y) + () (y) + () (y) + ()0 (y) y + y y + y ³ y + ² y ² y ³ + y ) y 7) E Utilizando a fórmula T + n n a, ara ( + a) n, temos: ( y) 7 T T (y) y y. T T ( ) ) 0 + T T + () 0 () Logo o coeficiente numérico é 0. 9) 0 0) C (7 7 y ) 0. Como a questão ede a soma dos coeficientes numéricos, basta substituir y. Logo: (7 7 ) 0 (7 ) ( + y) ( + ) ( + ) ) D ) A ) B +. Como queremos a soma dos coeficientes numéricos, basta que. Logo: + ( + ) 7 Pela fórmula do termo geral: y T 7 T (y ) Como o eoente de (y ) é ar, logo fica ositivo. T + 0 (y ) 0 y 0 Observe que "segundo as otências decrescentes de " é a formação que conhecemos do binômio. Logo essa informação não altera nada em nossas contas: 0 + Calculando A, temos: T T Calculando B temos: T 7 T Como gostaríamos de obter a razão A or B, temos: A 0 B 0 ) E Sabendo que "segundo eoente decrescente de " é o binômio na sua forma habitual, vamos calcular k sabendo que T 0. ( + k) T T + () k ()0 k 0 0 k

4 ) B Logo temos: 0 k 0 k k 0 + y k 0 T T y 0 y y y ) Simlificando temos: 7 y ( + ) T + Como queremos o termo indeendente de, logo 0 : 0 T + T + 0 T +, ou seja, T 7) T 0 y Como queremos o termo médio do binômio, então: +. Logo, y : T T + () y () Como o eoente é ar, y o número fica ositivo. y 70 y 0 y ) + T + Como deve ter eoente 0, ois queremos o termo indeendente de, então: 0 0 Logo: T + T 0 Logo, T. 9) C + Como queremos o coeficiente de, logo: Temos então: T + T 0) T + ( ) Como queremos o termo indeendente de, logo: 0 0 Temos então: T + T ()0 Logo, T.

5 ) 7 0. Verdadeira. 0. Falsa. Como queremos o termo indeendente, logo: 0 Como N, logo o binômio não ossui termo indeendente. 0. Falsa. Como n, o termo médio é +. Logo: T + T ( ) T 0. Falsa. Como n, logo temos n + termos no desenvolvimento do binômio. Temos assim termos.. Verdadeira. Como queremos o coeficiente de, logo: T + T + ). y y T + ( y) y T + y (y ) T + y () y T + () y Como queremos o termo indeendente de y temos que: 0 Logo: T + T () y 0 Temos: T, coeficiente: ) D ( + y) m+ n n a T m + T (m + ) + m + m + m + (m + ) (y) m + T m + T (m + ) + m + m + m + (y) m + Vamos calcular agora T m + : T m + T (m + ) + m + m + m + (m + ) (y) m + T m + m + m + m + (y) m + Substituindo na nossa eressão, temos: m m m y m m m m + + y (y) m+ m m m y m m m m + + m+ y ( y) ( y) m m + m m m y + y m + 9 m (I) m + Vamos calcular cada binômio acima: m m + ( m + )! ( m + )! ( m+ )!( m+ ( m + ))! ( m+ )!( m+ )! m m + ( m + )! ( m+ )!( m+ )! Substituindo em (I), temos: m ( m + )! m + 9 m ( m+ )!( m+ )! 9 ( m + )! m + ( m+ )!( m+ )!

6 ) D ( m+ ) ( m+ )! ( m + )! ( m+ )!( m+ ) ( m + )! m + m + m + m + m ( + ) ( ) ( ) (/ ) ( / ) + Como queremos o coeficiente de 7, temos: 7 Logo: T + T 7 7 ),0 (,00) ( + 0,00) + 0,00 + 0,0,0 Logo (,00),0 ) 0, 7) D ) E 9) A (0,9) 0 ( 0,0) 0 0 0,0 0, 0, Logo (0,9) 0 0, (,00) 0 ( + 0,00) ,00 + 0,0,0 Logo (,00) 0,0 (0,99) ( 0,0) 0,0 0,0 0,9 Logo (0,99) 0,9 Como a soma dos coeficientes é igual a 7, logo, de (m ), temos: (m ) (m ) 7. Temos: 0) E m 7 m m Como queremos determinar m, temos. 9 + y + 0 z + Logo + y + z ) a) ; T 70 0 y 0 b) n a) y + y T + ( y) y T + y y T + y y y com y, temos: y + Agruando com e (I) Como queremos ara que tenha eoente 0, temos: Logo. Vamos calcular agora T + T. Pegando a equação (I), temos: T + T

7 n! ( n )! b) n ( n )! + + ( n )! ) C n. (n. ).(n )! + (n + ).n.(n )! n (n )! (n )! n n + n + n n n n n n + 0 Resolvendo a equação olinomial do segundo grau acima, achamos n ' e n ". Note que n não satisfaz a eressão dada ois, se n, (n )! ( )!!, o que é absurdo, ois não eiste fatorial de um número negativo. Logo n só ode ser. n ) D Como queremos o termo médio, então o termo médio do binômio é + +. k + T T + k 0 k 0 k 0 k k Como queremos que o coeficiente seja 0, logo: k 0 k 0 k k k 0 ( ) + m n ) B T T T T + (² ) ( ² ) 0 Logo m 0. T T + (² ) ( ² ) 0 Logo n. Temos então que: m + n 0. ( ) ( + ) Utilizando a roriedade de otências [( ) ( + )] ( ) 7

8 ) D ) A Utilizando a fórmula do binômio de Newton: ( ) 0 () 0 + () + + () + 0 () + + a + a a a a a a ( ) a Como queremos o coeficiente do termo em a, logo: +. Temos assim: Logo: T + a a ( + ) Note que ara que os termos sejam racionais, a raiz quadrada de e a raiz cúbica de devem ser racionais, ou seja, deve ser múltilo de e múltilo de, ara "contarmos" as raízes. Como 0,...,, temos então números múltilos de. Note que, desses números, retiramos os números ímares, ois deve ser múltilo de, logo deve ser ar, e a soma (subtração) de ímar com ímar dá um número ar. Logo ode assumir ossibilidades (quantidade de números ímares múltilos de entre 0 e ). 7) E ) D y ( α+ βy) 0 70y (α) (βy) 0 y Logo. T + (α) (βy) 0 y T + α βy 0 y α β y 0 y Temos que: α β 0 α β (I) (α) (βy) 70 y Logo T + (α) (βy) 70 y 0 α β y 70 y 0α β y 70 y Temos que: 0α β 70 α β 7 (II) Isolando β na eressão (I), temos: α β β α Substituindo na eressão (II), temos: α β 7 α α 7 α 7 α α 7 α α 7 Agora substituindo α na eressão (I), temos: α β β β β Por fim temos: α β. 0 k k 0 Podemos utilizar a roriedade n n n n n n

9 9) D Como na eressão acima falta o termo, usaremos a roriedade e descontaremos esse valor: ou + + 0) E Logo: ( ) ( ) (I) Como queremos o termo indeendente de, logo: + 0 ( ) Substituindo na eressão (I) temos: (Como é ositivo o sinal de () irá sumir.) T + ( o desaarece, ois 0 ) T Racionalizando a fração, temos: