Reginaldo J. Santos. Universidade Federal de Minas Gerais 18 de abril de 2004

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1 Decomposição em Frações Parciais Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais 8 de abril de 2004 Sumário Introdução 2 2 g(t) tem somente Raízes Reais Simples 2 3 g(t) tem somente Raízes Simples 3 4 g(t) tem somente Raízes Reais 7 5 Caso Geral 0

2 Decomposição em Frações Parciais 8 de abril de G(T ) TEM SOMENTE RAÍZES REAIS SIMPLES Introdução Considere a fração racional F (t) = f(t) g(t) em que f(t) e g(t) são polinômios com coeficientes reais e tais que o grau de f(t) é menor do que o grau de g(t). Vamos supor que g(t) possa ser decomposto da seguinte forma: g(t) = (t a ) n... (t a k ) n k (t 2 + b t + c ) m... (t 2 + b l t + c l ) m l, com a i R distintos, para i =,..., k e (b i, c i ) R 2 distintos tais que b 2 i 4c i < 0, para i =,..., l. 2 g(t) tem somente Raízes Reais Simples Vamos supor que o denominador g(t) pode ser escrito na forma com a i R distintos, para i =,..., k. g(t) = (t a ) (t a k ), Vamos determinar escalares α,..., α k tais que F (t) = f(t) g(t) = = k α i t a i Multiplicando-se a equação acima por g(t) obtemos α + + α k. () t a t a k em que para i =,..., k. f(t) = k α i p i (t) = α p (t) + + α k p k (t), (2) p i (t) = g(t) = (t a r ), t a i r i

3 8 de abril de 2004 Reginaldo J. Santos 3 Substituindo-se t = a i, para i =,..., k, em (2) obtemos de onde obtemos α i, para i =,..., k. f(a i ) = α i p i (a i ) Exemplo. H(t) = t (t 2 + 3t + 2) = t(t + )(t + 2) = A t + Multiplicando H(t) por t (t 2 + 3t + 2) obtemos Substituindo-se t = 0,, 2 obtemos B t + + = A(t + )(t + 2) + Bt(t + 2) + Ct(t + ) = 2A = B = 2C que tem solução A = /2, B = e C = /2. Assim, H(t) = 2 t t t + 2 C t g(t) tem somente Raízes Simples Vamos supor que g(t) possa ser decomposto da seguinte forma: g(t) = (t a ) (t a k )(t 2 + b t + c )... (t 2 + b l t + c l ), com a i R distintos para i =,..., k e (b i, c i ) R 2 distintos tais que b 2 i 4c i < 0, para i =,..., l. Vamos determinar os escalares α i, para i =,..., k, β i, γ i, para i =,..., l, tais que F (t) = f(t) g(t) = = k α t a + + α i t a i + l α k t a k + β i + γ i t t 2 + b i t + c i β + γ t t 2 + b t + c + + β l + γ l t t 2 + b l t + c l. (3)

4 Decomposição em Frações Parciais 8 de abril de G(T ) TEM SOMENTE RAÍZES SIMPLES Multiplicando-se a equação acima por g(t) obtemos k l f(t) = α i p i (t) + (β i + γ i t)p i (t) = α p (t) + + α k p k (t) + (β + γ t)p (t) + + (β l + γ l t)p l (t), (4) em que para i =,..., k e p i (t) = g(t) = (t a r ) t a i r i l (t 2 + b s t + c s ), s= P i (t) = g(t) t 2 + b i t + c i = s i k (t 2 + b s t + c s ) (t a r ), r= para i =,..., l. Substituindo-se t = a i, para i =,..., k, em (4) obtemos de onde obtemos α i, para i =,..., k. f(a i ) = α i p i (a i ) Substituindo-se uma das raízes da equação t 2 + b i t + c i = 0, z i, para i =,..., l, em (4) obtemos f(z i ) = β i P i (z i ) + γ i z i P i (z i ) Comparando-se as partes real e imaginária da equação anterior obtemos um sistema de duas equações e duas incógnitas que resolvido dá os valores de β i e γ i, para i =,..., l. Exemplo 2. H(t) = Multiplicando-se H(t) por t(t 2 + ) obtemos t(t 2 + ) = A t + Bt + C t 2 +. = A(t 2 + ) + (Bt + C)t

5 8 de abril de 2004 Reginaldo J. Santos 5 Substituindo-se t = 0 e t = i { = A = (Bi + C)i = B + Ci De onde obtemos A =. Comparando-se as partes real e imaginária da segunda equação obtemos B = e C = 0. Assim, H(t) = t t t 2 + Exemplo 3. H(t) = Multiplicando-se por (t 2 + )(t 2 + 4): (t 2 + )(t 2 + 4) = At + B t Ct + D t = (At + B)(t 2 + 4) + (Ct + D)(t 2 + ) (5) Substituindo-se t = i, 2i em (5) { = (ia + B)3 = (2iC + D)( 3) Como A, B, C e D são reais, comparando-se as partes real e imaginária obtemos { = 3B 0 = 3A e { = 3D 0 = 6C De onde obtemos a solução A = 0, B = /3, C = 0 e D = /3. Assim, H(t) = /3 t /3 t Exemplo 4. H(t) = 2 t(t 2 + 2t + 2) = A t + Bt + C t 2 + 2t + 2. Multiplicando-se H(t) por t(t 2 + 2t + 2) obtemos 2 = A(t 2 + 2t + 2) + (Bt + C)t

6 Decomposição em Frações Parciais 8 de abril de G(T ) TEM SOMENTE RAÍZES SIMPLES Substituindo-se t = 0 e t = + i { 2 = 2A 2 = (B( + i) + C)( + i) = B( 2i) + C( + i) = C + (C 2B)i De onde obtemos que A =. Comparando-se as partes real e imaginária da segunda equação acima obtemos B = e C = 2. Assim, H(t) = t t + 2 t 2 + 2t + 2 Exemplo 5. H(t) = (t 2 + ) ( t 2 + t ) = (t 2 + ) ( t 2 + t ) = At + B t Ct + D t 2 + t Multiplicando-se H(t) por (t 2 + ) ( t 2 + t + 5 4) : = (At + B)(t 2 + t ) + (Ct + D)(t2 + ) Substituindo-se t = i e t = 2 + i obtemos { = (Ai + B)( + i ) = (Ai + B)(i + 4 ) = ( A + 4 B) + i( 4 A + B) = (C( 2 + i) + D)( 4 i + ) = ( 7 8 C + 4 D) + i( 3 4 C D) Comparando-se as partes real e imaginária das equações acima obtemos { = A + 4 B 0 = 4 A + B { = 7 8 C + 4 D 0 = 3 4 C D Resolvendo-se os sistemas acima obtemos a solução A = 6/7, B = 4/7, C = 6/7 e D = 2/7. Assim, H(t) = 4 ( 4t + 7 t t + 3 ) t 2 + t + 5 4

7 8 de abril de 2004 Reginaldo J. Santos 7 4 g(t) tem somente Raízes Reais Vamos supor que o denominador g(t) pode ser escrito na forma com a i R distintos, para i =,..., k. g(t) = (t a ) n (t a k ) n k, Vamos determinar escalares α ij, com i =,..., k e j =,..., n i tais que F (t) = f(t) g(t) = k n i α ij (t a i ) j j= = α t a + + α n (t a ) n + + α k t a k + + Multiplicando-se a equação acima por g(t) obtemos em que f(t) = k n i α ij p ij (t) j= α kn k. (6) (t a k ) n k = α p (t) + + α n p n (t) + + α k p k (t) + + α knk p knk (t), (7) p ij (t) = para j =,..., n i e i =,..., k. g(t) (t a i ) = (t a i) n i j (t a j r ) nr = (t a i ) ni j p ini (t), r i Substituindo-se t = a i, para i =,..., k, em (7) f(a i ) = α ini p ini (a i ) de onde obtemos α ini, para i =,..., k. Derivando-se (7) e substituindo-se t = a i f (a i ) = α i(ni )p i(n i )(a i ) + α ini p in i (a i ) = α i(ni )p ini (a i ) + α ini p in i (a i ) de onde obtemos α i(ni ), usando o valor obtido anteriormente de α ini, para i =,..., k. O resultado acima se deve ao fato de que derivando-se p ij (t) = (t a i ) ni j p ini (t) obtemos p ij(t) = (n i j)(t a i ) ni j p ini (t) + (t a i ) ni j p in i (t).

8 Decomposição em Frações Parciais 8 de abril de G(T ) TEM SOMENTE RAÍZES REAIS Assim, se n i j > (ou j < n i ) p ij(a i ) = 0. Derivando-se (7) duas vezes e substituindo-se t = a i f (a i ) = α i(ni 2)p i(n i 2)(a i ) + α i(ni )p i(n i )(a i ) + α ini p in i (a i ) = 2α i(ni 2)p ini (a i ) + α i(ni )p i(n i )(a i ) + α ini p in i (a i ) de onde obtemos α i(ni 2) usando os valores obtidos anteriormente de α i(ni ) e α ini, para i =,..., k. O resultado acima se deve ao fato de que derivando-se p ij (t) = (t a i ) n i j p ini (t) duas vezes obtemos p ij(t) = (n i j )(n i j)(t a i ) n i j 2 p ini (t) + 2(n i j)(t a i ) n i j p in i (t) + (t a i ) n i j p in i (t). Assim, se n i j > 2 (ou j < n i 2) p ij(a i ) = 0. Derivando-se (7) r vezes, para r = 0,..., n i e substituindo-se t = a i, para i =,..., k f (r) (a i ) = r j=0 α i(ni j)p (r) i(n i j) (a i) r = r!α i(ni r) + j=0 α i(ni j)p (r) i(n i j) (a i) de onde obtemos α i(ni r), usando os valores obtidos anteriormente de α i(ni r+),..., α ini, para i =,..., k e r = 0..., n i. Exemplo 6. Y (t) = 2 + t 2 t 2 (t + 2)(t ) = A t + B t 2 + Multiplicando-se por t 2 (t + 2)(t ) obtemos C t D t t = At(t + 2)(t ) + B(t + 2)(t ) + Ct 2 (t ) + Dt 2 (t + 2) (8) Substituindo-se t = 2, 0, obtemos 6 = 2C 2 = 2B 3 = 3D

9 8 de abril de 2004 Reginaldo J. Santos 9 que tem solução B =, C = 2 e D =. Derivando-se (8) obtemos 2t = A(t + 2)(t ) + At[(t + 2)(t )] + B[(t + 2) + (t )] + [Ct 2 (t ) + Dt 2 (t + 2)] e substituindo-se t = 0 obtemos 0 = 2A + B = 2A de onde obtemos A = 2. Assim, Y (t) = 2 t t 2 2 t t Exemplo 7. 4 t(t ) 2 = A t + Multiplicando-se por t(t ) 2 obtemos B t + C (t ) 2 4 = A(t ) 2 + B(t )t + Ct (9) Substituindo-se t = 0, obtemos { 4 = A 4 = C Derivando-se (9) obtemos 0 = 2A(t ) + Bt + B(t ) + C Substituindo-se t = obtemos 0 = B + C = B + 4 de onde obtemos que B = 4. Assim, Y (t) = (t ) t 4 t + 4 (t ) + 2 t = 6 6 (t ) t 3 t + 4 (t ) 2 Exemplo 8. Y (t) = 3 + (t 2) 3 (t 3)(t + )(t 2) = A 2 t 3 + B t + + Multiplicando-se Y (t) por (t 3)(t + )(t 2) 2 obtemos C t 2 + D (t 2) 2 3+(t 2) 3 = A(t+)(t 2) 2 +B(t 3)(t 2) 2 +C(t 3)(t+)(t 2)+D(t 3)(t+) (0)

10 Decomposição em Frações Parciais 8 de abril de CASO GERAL Substituindo-se t =, 2 e 3 na equação acima 24 = 36B 3 = 3D 4 = 4A De obtemos A =, B = 2 3 e D =. Derivando-se (0) 3(t 2) 2 = [A(t + )(t 2) 2 + B(t 3)(t 2) 2 ] + C[(t 3)(t + )] (t 2) + C(t 3)(t + ) + D[t 3) + (t + )] e substituindo-se t = 2 obtemos 0 = 3C + D( + 3) = 3C 2 que tem solução C = 2. Assim, 3 Y (t) = t t t 2 (t 2) 2 5 Caso Geral Vamos supor que g(t) possa ser decomposto da forma g(t) = (t a ) n... (t a k ) n k (t 2 + b t + c ) m... (t 2 + b l t + c l ) m l, com a i R distintos para i =,..., k e (b i, c i ) R 2 distintos tais que b 2 i 4c i < 0, para i =,..., l. Vamos determinar os escalares α ij, para i =,..., k, j =,..., n i e β ij, γ ij, para i =,..., l, j =,..., m i, tais que F (t) = f(t) g(t) = k n i j= α ij l (t a i ) + j Multiplicando-se a equação acima por g(t) obtemos m i j= β ij + γ ij t (t 2 + b i t + c i ) j. () f(t) = k n i α ij p ij (t) + j= l m i (β ij + γ ij t)p ij (t), (2) j=

11 8 de abril de 2004 Reginaldo J. Santos em que p ij (t) = g(t) (t a i ) = (t a i) l n i j (t a j r ) nr (t 2 + b s t + c s ) ms r i s= = (t a i ) n i j p ini para j =,..., n i e i =,..., k e P ij (t) = g(t) (t 2 + b i t + c i ) j = (t2 + b i t + c i ) m i j k (t a r ) nr (t 2 + b s t + c s ) ms r= s i = (t 2 + b i t + c i ) m i j P imi para j =,..., m i e i =,..., l. Substituindo-se t = a i, para i =,..., k, em (2) de onde obtemos α ini, para i =,..., k. f(a i ) = α ini p ini (a i ) Derivando-se (2) e substituindo-se t = a i de onde obtemos α i(ni ), para i =,..., k. f (a i ) = α ini p in i (a i ) + α i(ni )p ini (a i ) Derivando-se (2) duas vezes e substituindo-se t = a i f (a i ) = α i(ni 2)p i(n i 2)(a i ) + α i(ni )p i(n i )(a i ) + α ini p in i (a i ) = 2α i(ni 2)p ini (a i ) + α i(ni )p i(n i )(a i ) + α ini p in i (a i ) de onde obtemos α i(ni 2), para i =,..., k. Derivando-se (2) r vezes, para r = 0,..., n i e substituindo-se t = a i, para i =,..., k f (r) (a i ) = r j=0 α i(ni j)p (r) i(n i j) (a i) r = r!α i(ni r) + j=0 α i(ni j)p (r) i(n i j) (a i)

12 Decomposição em Frações Parciais 8 de abril de CASO GERAL de onde obtemos α i(ni r), para i =,..., k e r = 0..., n i. Substituindo-se uma das raízes de t 2 + b i t + c i = 0, z i, em (2) f(z i ) = β imi P imi (z i ) + γ imi z i P imi (z i ) Comparando-se as partes real e imaginária da equação anterior obtemos um sistema de duas equações e duas incógnitas que resolvido dá os valores de β imi e γ imi. Exemplo 9. 2 t 3 (t 2 + 4) = A t + B t + C 2 t + Dt + E 3 t Multiplicando-se a equação acima por t 3 (t 2 + 4) obtemos 2 = At 2 (t 2 + 4) + Bt(t 2 + 4) + C(t 2 + 4) + (Dt + E)t 3 (3) Substituindo-se t = 0, 2i em (3) { 2 = 4C 2 = (2iD + E)( 8i) = 6D 8iE De onde obtemos C = 2 e comparando-se as partes real e imaginária da segunda equação do sistema acima { 2 = 6D 0 = 8E De onde obtemos D = 8 e E = 0. Derivando-se (3) uma vez 0 = A2t(t 2 + 4) + At 2 2t + B(t 2 + 4) + Bt2t + C2t + Dt 3 + (Dt + E)3t 2 substituindo-se t = 0 obtemos 0 = 4B ou B = 0. Derivando-se (3) mais uma vez 0 = 2A(t 2 + 4) + 2A2t + 6At 2 + 2Bt + 4Bt + 2C + 3Dt 2 + D3t 2 + (Dt + E)6t e substituindo-se t = 0 obtemos 0 = 8A + 2C = 8A + de onde obtemos A = 8. Assim, 2 t 3 (t 2 + 4) = 8 t t + t 3 8 t 2 + 4