Matemática E Extensivo V. 7

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1 Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b = P() = 8 + a + b = a + b = 6 Resolvendo o sistema: a = e b =. Logo, a + b = + =. P() = ³ + m²+n ² = ( )( + ) Logo: P() é divisível por, pelo teorema do resto: P() = ³ + m. ²+n. + m + n = m + n = P() é divisível por +, pelo teorema do resto: P( ) =( )³ + m. ( )²+n. ( ) = + m n = m n = Resolvendo o sistema: m = e n =. ) Verdadeiro. Basta fazer a divisão por Briot-Ruffini ou método tradicional, verificando que os dois restos dão zero. ) Verdadeiro. Se fizer duas divisões sucessivas, observa-se que a primeira possui Q() = ² + 8 com resto zero. Se dividirmos Q() por ( ) teremos resto 5. Logo, P() não é divisivel por ( )². 5) Q() = ) F F V V V (F) gr (Q) = gr(p) gr(d) Como gr(d) = 5, logo gr(p) = gr(q) + gr(d) 5, o que torna a afirmativa falsa. (F) Pela questão, se P() divisível por ( ), não garante que é divisível por ( )². (V) P() é divisível por ( ) e por ( + 9). (V) Pela justificativa da primeira afirmativa. (V) Como P() é divisível por, logo = é raiz de P(). 7) A D() = ² D( ). ( 5) Logo, P() é divisível por ( ) e por ( 5). P() = + p + q, pelo teorema do resto: P() = + p. + q = + p + q = p + q = P(5) = 5 + p. 5 + q = p + q = 5p + q = 65 Resolvendo o sistema, temos p = 6 e q = 5, logo p + q =. Matemática E

2 8) 5 B() = ² + B() = ( )( ) Logo, A() é divisível por ( ) e por ( ). A() = ³ + a² + b 6, pelo teorema do resto: A() = ³ + a. ² + b. 6 = 8 + a + b 6 = a + b = A() = ³ + a. ² + b. 6 = + a + b 6 = a + b = 5 Resolvendo o sistema, temos a = 6 e b =. Logo, a + b = 5. 9) Zero P() = + m + n Pelo teorema do resto, temos: Para ( ): P() =. + m. + n. = 6 + m + n = m + n = 9 Para ( + ): P( ) = ( ). ( ) + m. ( ) + n. ( ) = + + m n = m n = Resolvendo o sistema, m = e n = 7. Logo, 7. m + n = = =. ) a) a = e b = 5 Como P() é divisível por D(), então P() é divisível por ( ) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini: a a b o o a+b a+b a+b a+b a+b a+b+ Q() Logo, R() = a + b + = a + b =. o I ) E ) D b) Q() = ³ + ² P() = 5 + a + b + D() = ² + = ( ) ( ) Como P() é divisível por D(), então P() é divisível por ( ) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini: a b a a+b a+b Q() Logo, a + b = a + b =. a a+b a+b a+b+ a a+b a+b 5 resto Logo, a + b 5 = a + b = 5. Resolvendo o sistema, temos a = e b =. Logo, a + b = + =. resto I) Falso. gr(p) = n e gr(q) = n, logo gr(p + Q) = n. II) Verdadeiro. Pelo teorema do resto: P() = m. ³ + ² = m. Logo, o resto de P() por ( ) é igual a m. III) Verdadeiro. Se gr(p) = n e gr(q) =, em que Q() = a, logo gr(p. Q) = n +. a a+b a+b a+b a+b a a+b a+b a+b 5a+b R() = 5a + b = 5a + b = Do sistema, temos a = e b = 5. Matemática E

3 ) D P() = + + α + β + D() = ( )² = ( ) ( ) 5) E y Como P() é divisível por D(), então P() é divisível por ( ) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini: 5 7 α β ) B +α Q() + α+ β 5+ α+ β Logo, α + β + 5 = α + β = 5. +α + α+ β 5 8+α + α+ β resto Logo, α + β + = α + β =. resto Resolvendo o sistema, temos: α = 6 e β =. Temos α + β = 6 + = 5 Se P() = e D() = +, podemos dividir P() por D() pelo método de Briot-Ruffini 8 6 Logo, Q() = ³ ² + 8. Pelo teorema do resto, o resto da divisão de Q() por é: v Observe que V = 5 e V = +, em que e são raízes da função. Se =, logo = 7. Logo, se P () dividido por possui resto e P () dividido por tem resto 7, a divisão de P (). P () por possui resto. 7 =. 6) a) r() = + P() = ( ) ( ). Q() + r() P() = + r() r() = P() = + r() r() = r() = a + b a + b = a+ b= a =, b = Logo, r() = +. b) 5 P() = ( ) ( ). Q() + r() Termo independente: P() = 8 P() = ( ) ( ). Q() + ( + ) 8 = ( ) ( ). Q() + (+ ) 8 =. Q() + 5 =. Q() Q() = 5 Q = = 7) A 8) D ² + c = ² + c = 6 + c = + c = c = c = 6 9)a) S = {, 8, } b) S = {,,, 5, 5, } S = {, 5, } Matemática E

4 ) E c) S = { + i, i} ( ) ± ( )... = ± i + i i = ± 8 = d) S = {,, } ³ 5² + = (² 5 + ) = ( ) ( ) = e) S = {,, i, i} Usando a mudança de variável ² = y: ² = y² y = y = ( ) ± ( )..( ) = ± 9. y = ± 7 y = y = ² = = ± ² = = ± i f) S = {i, i, 7} ³ 7² + 7 = ². ( 7) + 7 = (² + ) ( 7) = ² + = 7 = ² = = 7 = ± i =, pelo método da mudança de variável: y² y = y = ( ) ± ( )..( ) = ± 5. y = ± 5 y = y = ) C Logo: ² = = ± ² = = ± i Como S R, logo S = {, }. H (t) = H (t) 5t³ 9t + = 5t³ + 5t + 5t³ 5t³ 9t 5t + = t³ 5t = t (t² 5) = t = ou t² 5 = t² = 5 t² = 5 t = 5 =,5 ) B ) D ) B = ( 6 ) ² = 6 ² + 6 = = ±..( 6 ). = ± 5 = = = ± 5 Como >, logo possuímos uma solução, S = {}. + 9 = y y + 9 = y = ( ) ± ( ).. 9 ± 6 =. y = ± 8 = 9 = ² = 9 = ± ² = = ± Logo, = + ( ) + + ( ) = = = 5y + y = y = ±. 5.( ). 5 = ± 6 Como y = ², temos: ² = = + 6 = + ² = 6 6 = 6 = Observe que e possuem radicandos positivos, pois 6 <. Matemática E

5 Da mesma maneira, e possuem radicandos negativos, logo e são números compleos. Temos, assim, duas raízes reais, e. 5) multiplicidade multiplicidade grau 7 multiplicidade 8 multiplicidade 6 6) Falso. + ² = ³ ³ ² =. (² ) = = ou = + 5 ² = = 5 7) E Observe que 5 <, logo a afirmação é falsa. ³ 5² =. (² 5 ) = = ² 5 = = + 5± 5 ( )..( ). = 5 ± 9 6 = 5 7 ± = 6 = S =,, 8) D 9) C ( ) (² ) = = ² = = = ( ) ± ( )..( ). = = ± 6 6 = ± = 6 = Logo: + + ² = = = ( + ).. ( ) + + = (² + ) ( ) = ³ ² + = ² ( ) ( ) = (² ) ( ) = = ² = = ² = = ± Logo, S = {,, }, possuindo duas raízes irracionais, e. ) a) d = P() = ³ ² 5 + d Pelo teorema do resto, P() =. Logo: P() = ³. ² 5. + d = d = d = b) S = {, 6, + 6} ³ ² 5 + = ³ ² 5 = (² 5) = Temos que = ou ² 5 =. = ² 5 = 6 = + 6 Logo, as raízes são S = {, 6, + 6}. Matemática E 5

6 ) C ( ) (² + ) + ( + ) (² ) = ³ + ² + ³ + ² = ³ = ³ = ³ = = = ) E Se C, = + i. Logo, o conjugado de é = i =. ³ ² + = ² ( ) + = ² ( ) ( ) = (² ) ( ) = ² = = ² = = = ± = ) P() = ³ 8² + + P() = a³ + b² + c + d Temos que: P() = a. ³ + b. ² + c. + d = Logo d = P() = a. ³ + b. ² + c. + = 8a + b + c = P() = a. ³ + b. ² + c. + = 7a + 9b + c = P( ) = a. ( )³ + b. ( )² + c. ( ) + = a + b c = Portanto, possuímos um sistema de equações com três incógnitas. Podemos resolver de várias maneiras, uma delas pela regra de Cramer. Temos assim, a =, b = 8 e c =. Logo, nosso polinômio será P() = ³ 8² + +. ) a) p() = 8 Como,, i e i são raízes de p, logo p() =, p( ) =, p(i) = e p( i) = Temos que p() é p() = a + b + c + d + e. p() = 8a + 7b + 9c + d + e = p( ) = 8a 7b + 9c d + e = p(i) = 8a 7ib 9c + id + e = p( i) = 8a + 7ib 9c id + e = Observe que temos um sistema de incógnitas e equações, pois a = segundo o enunciado. Pelo método da soma temos: + e = = e e = 8 Como e = 8, o sistema fica: 8 + 7b + 9c + d 8 = 8 7b + 9c d 8 = 8 7ib 9c + id 8 = 8 + 7ib 9c id 8 = 7b + 9c + d = 7b + 9c d = 7ib 9c + id = 7ib 9c + id = Resolvendo o sistema temos que: b = c = d =. Logo o polinômio é p() = 8 b) r() = 65 Podemos dividir p() por q() pelo método das chaves: ) C Logo, r() = Podemos resolver essa questão por eliminação. Como é raiz de multiplicidade e de multiplicidade, logo o polinômio possui 5 raízes. Temos assim um polinômio de grau 5. Com isso eliminamos as alternativas a e b. Observe que as raízes da alternativa d são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = de multiplicidade. = = de multiplicidade. Temos assim descartada a alternativa d. Com o mesmo raciocínio, obtemos na letra e as raízes de multiplicidade e de multipli- cidade. Logo, resta-nos a alternativa c. 6 Matemática E

7 6) C 7) B Pelo teorema do resto, se f() é divisível por e +, logo: f() = ³ ² + k. + t = t = f( ) = ( )³ ( )² + k. ( ) + = k = 6 Assim, f() = ³ ² 6. Fatorando: ³ ² 6 = (² 6) = ( + ) ( ) + = + = = + 5 = ( + 5)² = ² + 5 ² + 7 = Em que temos: ' = e '' = 9 Observe que = 9 não é solução, pois: = 8+ 6 = 8+ = Já com =, temos a solução. Logo, S = {}. 8) S= {,, } = Logo, P() = ³ ² Calculando as raízes: ³ ² = ². ( ) = ². ( ) 9. ( ) = (² 9). ( ) = ² 9 = = ² = 9 = = ± S = {,, } 9) a) S = {,,,, } =. ( ) ². ( ) + 6. ( ) = ( ² + 6). ( ) = ) D Temos que ² + 6 =. Resolvendo pelo método da mudança de variável, temos: y y + 6 = y = 9 y = Logo, = ± e = ±. Do outro passo, =. Logo, =. S = {,,,, } b) S = {,,, i, i} 5 =. ( ) = Temos = ou =. Pela mudança de variável: y² = y = ± = ± = ± i S = {,,, i, i} Temos como raiz de multiplicidade, =. 6 Q() = ² + + com raízes de Q() ' = e '' =. Logo, S = {,,, }. ) S = {,, 7} 9 Q() = ² 9 + r() = As raízes de Q() = ² 9 +, por Bháskara, são ' = 7 e '' = Assim, a solução para P() é S = {,, 7}. Matemática E 7

8 ) A Logo, a equação é ³ ² +6 =. Rebaiando essa equação para grau, temos: 6 Q() = ² r() = As raízes de Q() = ², são: ² = ² = = ± ) A S = {, } Logo, duas raízes irracionais. Rebaiando o P() duas vezes: 5 5 resto da divisão resto da divisão º rebaiamento º rebaiamento Logo, temos Q() = ². Temos, assim, as raízes de Q() por Bháskara, ' = e '' =. Portanto ( ) = 5 = 5. ) e. 5) E Rebaiando o P() duas vezes: Dessa forma Q() = ² + +. Temos assim que as raízes de Q() são, pela fórmula de Bháskara, ' = e '' =. S = {,,, } Como = é raiz da equação ³ ² +m =, então: ³. ² +m. = m = + m = m = m = 6 6) C 7) C 8) D Q() = ² +. As raízes de Q(), pela fórmula de Bháskara, são ' = + i e '' = i, dois números compleos. Rebaiando P() para grau. Logo, Q() = ². Temos que as raízes de Q() são = e =. Com isso, as raízes de P() são {,,, } e P() pode ser escrito como: P() = ( ) ( ) ( ) ( + ), sendo, portanto, divisível por ( )². Como = é raiz de ³ ² + a + 6 =, então: ³. ² + a. + 6 = + a + 6 = a + 5 = a = 5 Nossa equação então é ³ ² =. Rebaiando essa equação para grau, temos: Logo, Q() = ² 6. Temos que as raízes de Q(), pela fórmula de Bhaskara, são ' =, '' =. Rebaiando a equação para grau, temos: Temos Q() = 9² As raízes de Q() são, pela fórmula de Bháskara, ' = e '' = 5. Logo, as raízes da equação são S =, 5,, chamaremos p = e q = 5. p² + q² = = Matemática E

9 9) a) ³ 5. ² = 6 6³ 5. 6² = = 6 6 = 6 ou 6 6 = i b) = i + e " = Temos a equação ³ 5² 6 =, Rebaiando essa equação a grau : Temos assim, Q() = ² + + 6, onde suas raízes, pela fórmula i de Bháskara, = i + e " = 5) a) é raiz. b) S = {,, } P() = = + ( ) + P() = ³ ² + a) P() = ³. ² + = = Logo, é raiz de P(). b) Rebaiando P() ao grau : Q() = ². Logo, as raízes de Q() são ² = ' = e '' =. S = {,, } 5) C Pois toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite ao menos uma raiz real. 5) V F F F V. 5) Teoria. Raízes: 9+i 7 8 i 8 i 9 i i 8+i Ou seja, são raízes, logo o menor grau possível é. 5) C 55) B Como + i e i são raízes do polinômio, então i e + i também são. Como o polinômio é de grau 8, temos assim raízes reais e compleas. Como e são raízes de P(), então: ( )³ + a. ( ) + b = a + b = a b = ³ + a. + b = 8 + a + b = a + b = 8 Do sistema, tiramos a = e b =. Temos assim P() = ³ + ². Reduzindo P() a grau, tem-se: Temos Q() = +. Logo, a raiz de Q() é. c = 56) 6. Falso. P() = P() = 6. Verdadeiro. P() = ³ + a. ² + b. + = + a + b + = a + b = P( ) = ( )³ + a. ( )² + b. ( ) + = + a b + = a b = Temos a = e b =. Assim, ³ ² + pode ser rebaiado a grau. Q() =. Logo, a raiz de Q() é. S = {,, }. Verdadeiro. Pois é uma equação de grau ímpar e coeficientes reais. 8. Falso. Pelo teorema do resto f() = ³ + m. 5 = 9 + m 5 = m + = pois tem que ser divisível m = Matemática E 9

10 57) 58) C 5 + a + b + c + d + e = ( ) ( ) ( + ) ( i) ( + i) 5 + a + b + c + d + e = Logo, a =, b =, c =, d =, e =. Temos assim:. Verdadeiro.. Verdadeiro.. Falso. 8. Falso. 6. Falso. V = ( ) ( ) = 8 V = ( + ²) = 8 6² + ³ 8 = 6) C P() = 5 a + a P( i) = ( i) 5 a. ( i) + a. ( i) = i ai a = ( a ) + ( a ). i = a = a = Logo: P() = 5 + P() = ³. (² + ) (² + ) P() = (³ ) (² + ) P() = ( ) (² + + ) (² + ) Para P() = = = ² + + = ' = + i e '' = i ² + = ' = i e '' = i Temos assim ³ 6² + 8 =, com uma das raízes =, segundo o enunciado. Rebaiando a equação: ) = 7 7 Logo, Q() = ² , em que as raízes de Q(), pela fórmula de Bháskara, são ' =,5 e '' = 6. Como ' não é possível, logo = 6, que está no intervalo (5, 7). 59) a) i é raiz de P() P() = P(i) = i +. i +. i +. i + P(i) = i + i + P(i) = Logo, i é raiz de P(). b) S = {i, i, + i, i} Como i é raiz de P(), temos que i também é raiz de P(). Rebaiando P() para grau, temos: i i +i i+ i Temos Q() = ² + +. Logo, as raízes de Q() pela fórmula de Bháskara, são ' = + i e '' = i. / 8 V =. (8 ). V =. (8 ²) V = ² 8² + ³ V = ³ ² + Vamos determinar o valor de, além do valor, em que V = 8 dm³ ³ ² + = 8 ³ ² + 8 =, em que é raiz da equação. Rebaiando a equação para uma de o grau: 8 Q() = ² +. As raízes de Q(), pela fórmula de Bháskara, são ' = 7 7 e '' = Observe que '',6, e 8 =,6. Logo, = 7 7. Matemática E

11 6) S = {,, } ³ 6² + 6 = Divisores de 6: p = ±, ±, ±, ± 6 Divisores de : q = ± Candidatos a raiz da equação: {,,,,,, 6, 6}. Observamos que uma das raízes é =. Rebaiando a equação: Q() = ² Temos como raízes de Q(), = e =. S = {,, } 6) S =, ³ 7² + 8 = Divisores de : p = ±, ± Divisores de : q = ±, ± Candidatos a raiz:,,,,,,, Sabemos que = é raiz da equação. Rebaiando: Q() = ² 5 +. Logo, as raízes de Q() são ' = e '' =. S =, 6) S =,, ³ ² + = Divisores de : p = ±, ± Divisores de : q = ±, ± Possíveis raízes da equação:,,,,, Observamos que = é raiz da equação. Rebaiando a equação: Q() = ² +, com raízes ' = e '' =. S =,, 65) S = {,, } ³ + ² 9 = Divisores de 9: p = ±, ±, ± 9 Divisores de : q = ± Possíveis raízes: {,,,, 9, 9} Observamos que = é raiz da equação. Rebaiando: 9 Q() = ², com raízes = ±. S = {,, } 66) Falso = Observamos que uma raiz racional, da forma p q, será: Divisores de 7: p = ±, ± 7 Divisores de : q = ±, ± Possíveis raízes: ,,,,,,, Notamos que = não está na lista. Matemática E

12 67) D P = + = + ³ + ² + ³ + P = ³ + ² ³ + ² = Divisores de : p = ±, ± Divisores de : q = ±, ± Possíveis raízes:,,,,,,,, Rebaiando a equação, sabendo que = é raiz: 68) C Q () = ² + +, e suas raízes são ' = + 5 i 5i e '' =. Logo, temos uma única raiz real. P() = ³ 7² + 6 Pelo teorema do "chute", = é raiz de P(). Rebaiando a equação: 7 6 Q() = ² +, com raízes ' = + e '' =. Temos assim, ' + '' = + + =. 69) Verdadeiro. = + + = ³ + ² = Divisores de : p = ±, ± Divisores de : q = ± Possíveis raízes: {,,, } Observe que = é raiz da equação. Rebaiando: Q() = ² + +, em que suas raízes são ' = e '' =. Logo, S = {,, } [, ]. Matemática E

13 7) E 7) C 7) E f() = 9³ + 5² + Divisores de : p = ±, ±, ±, ±, ±6, ± Divisores de 9: q = ±, ±, ±9 Observamos que = é raiz da equação. Reduzindo-a, temos: Q() = 9² + 8, onde as raizes são ' = e '' = = Temos, pelo teorema do "chute", que: P = P = P = P = + 6 = Divisores de : p = ±, ± Divisores de : q = ±, ± Possíveis raízes:,,,,, Observamos que = é raiz da equação. Observamos também que = é raiz da equação. Logo, podemos reduzir a equação até o grau. 6 Q() = ², com raízes ' = e '' =. S =,,, 7) E 7) B = Divisores de : p = ± Divisores de : q = ±, ±, ±, ±, ±6, ±8, ±, ± Observe que, de todas as possibilidades de raízes, não há nenhuma com denominador = Divisores de : p = ± Divisores de : q = ± Possíveis raízes: {, }. Observe que, segundo o enunciado, temos mais de uma raiz inteira. Como não é raiz, logo = é de multiplicidade de. Reduzindo a equação: 75) E Temos assim Q() = ² + +, em que suas raízes são ' = + 5 e '' = 5. Logo, =. + 5 P() = Como é raiz de P(), vamos rebaiar a equação: 5 Q() = Para acharmos as raízes de Q(), temos: = ² = = Vamos chamar de + = y () Matemática E

14 = y (y² ) + y = y = y² + y = y = Em (): y = + = = ± i y y = + = = ± 5 S = + i i + 5 5,,,, Matemática E