Polinômios. Acadêmica: Vanessa da Silva Pires

Transcrição

1 Polinômios Acadêmica: Vanessa da Silva Pires

2 Situação 01: Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

3 Situação 02: Na resolução de problemas, é comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões e equações que nos ajudam a resolver o problema. Imagine por exemplo que, em determinados problemas, os enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões:

4 a) A primeira figura é uma região retangular de dimensões x e (x+5). Determine as expressões do perímetro e da área dessa figura. b) A segunda figura representa um cubo com arestas de medida x. Determine as expressões da área e do volume dessa figura.

5 c) A terceira figura representa um paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4) e x. Determine as expressões da área total e do volume dessa figura. d) Qual a expressão que representa a soma de todas as superfícies das figuras.

6 e) Qual a diferença entre a medida da superfície do paralelepípedo e da medida da superfície do cubo.

7 Historicização: Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos. O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra álgebra, que é trocar os membros no termo de uma equação.

8 Polinômio com uma variável Polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser apresentada sob forma: P x = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 Em que {a 0,a 1,, a 2,, a n } C, {n, n 1, n 2,,1,0} N e a variável x pode assumir qualquer valor complexo.

9 Exemplos: a) a expressão 6x 4 + 2x³ + x² 7x + 9 é um polinômio de grau 4 em que:

10 Exemplos: b) a expressão 7t 5 + 6it³ 10t, que pode ser representada sob a forma 7t 5 +0t 4 + 6it³ + 0t² 10t + 0 é um polinômio de grau 5 em que:

11 Exemplos: c) O número 3 é um polinômio? d) As expressões 5x 3 + 6x² + 4x e 3t t³ + 5t 2 são polinômios? e) O número 2 é a raiz do polinômio P(x)= x³ 5x² + 3x + 6?

12 Identidade de polinômios: Considere os polinômios P x = 2x² + 4x + 3 e Q x = ax² + bx + c, em que a, b e c são constantes complexas. Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios idênticos se, e somente se, P(β)=Q(β) para qualquer β C. Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais.

13 Operações com polinômios: Adição A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) + Q(x), é o polinômio obtido ao se adicionarem os coeficientes de P(x) com os coeficientes de Q(x). Exemplo: Calcule a soma dos polinômios P(x)= 12x 4 + 6x² + 2x + 7 e Q(x)= 4x³ + 9x² x 8.

14 Operações com polinômios: Subtração A diferença entre os polinômios P(x) e Q(x), nessa ordem, que se indica por P(x) Q(x), é definida como a soma de P(x) com o oposto de Q(x). Exemplo: Sejam P(x)= x 5 + 8x³ + 7x² + 3 e Q(x) = 4x 5 + 6x 4 2x³ 2, calcule P(x)- Q(x).

15 Operações com polinômios: Multiplicação O produto dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) Q(x), é o polinômio obtido pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q. Exemplo: Sendo H(x) = 5x³ + 2x e G(x) = 2x² + 4x 1, efetue o produto H(x) G(x).

16 Operações com polinômios: Divisão Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio não nulo D(x) significa obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que: Q(x) D(x) + R(x)= E(x) gr (R) < gr (D) ou R(x)= 0

17 Operações com polinômios: Divisão Exemplo: Vamos dividir o polinômio P x = 3x 5 + 5x x³ + 6x² + 10x pelo polinômio D x = x 4 + 2x. Exemplo: Efetue a divisão de P x = x² 9 por D(x) = x 3.

18 Fração Polinomial: Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo P(x) em que P(x) e Q(x) são Q(x) polinômios, com Q(x) 0. Exemplos: a) 5x4 +2x 1 x+3 b) 5 x² 1

19 Teorema do resto: Sendo a uma constante complexa qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x a é igual a P(a). P a = R

20 Teorema de D Alembert: Sendo a uma constante complexa qualquer, um polinômio P(x) é divisível por x a se, e somente se, a é raiz de P(x). a é raiz de P x R = 0 P(a) = 0

21 Dispositivo prático de Briot-Ruffini: Para a divisão do polinômio E(x) por um binômio da forma x a, em que a é uma constante qualquer, com o objetivo de facilitar essa operação, temos um dispositivo prático conhecido como dispositivo prático de Briot- Ruffini, em homenagem aos matemáticos que a criaram, Charles August Briot ( ) e Paolo Ruffini ( ).

22 Dispositivo prático de Briot-Ruffini:

23 Dispositivo prático de Briot-Ruffini: Vamos fazer a divisão de P x = 3x³ 5x 2 + x 2 por D x = x 2 1º - Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem cresceste dos expoentes de x ; 2º - Repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo;

24 Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 3º - Multiplica a raiz do divisor pelo coeficiente retido e adicionamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste; 4º - Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente colocado abaixo do 2º coeficiente e adicionamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente; 5º - Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente

25 Referências: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São Paulo: Ática, GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São Paulo: Editora FTD S.A, PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora Moderna, Sites: 25/08/2014 Polinômios no dia-a-dia