PLANO DE AULA POLINÔMIOS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "PLANO DE AULA POLINÔMIOS"

Transcrição

1 Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA POLINÔMIOS 1 Identificação Unidade Escolar: Instituto Federal Catarinense Campus Sombrio Município: Sombrio / SC Disciplina: Matemática Ano: 3º ano do ensino médio Nível: Ensino Médio Turma: 3º ano A Professora(s): Vanessa da Silva Pires Cronologia: Data: 10/11/2014 Turno: Matutino 2 Tema: Polinômios 2.1 Sub-tema: Polinômio com uma variável; Fração polinomial; Divisão de polinômios por binômios do 1 grau; 3 Justificativa De maneira geral muitas das profissões utilizam polinômios em seu dia-a-dia. Naturalmente no campo da Matemática os polinômios aparecem com maior frequência, porém eles estão presentes na meteorologia até a construção. Os polinômios são usados também para descrever curvas de diversos tipos. Um exemplo desta aplicação são as montanhas-russas, onde suas curvas podem ser facilmente descritas por polinômios ou combinações de equações polinomiais. Outro campo em que as equações polinomiais são utilizadas é a economia para fazer análise de custo, receitas, lucros. Também são usados para modelar diferentes situações, como no mercado de ações, a fim de prever como os preços podem variar ao

2 longo do tempo, ou como o aumento e queda dos preços de determinado bem irá afetar sua venda. Os polinômios, ainda, podem ser usados na física para descrever a trajetória de um projétil. Dentro da Matemática os polinômios podem representar modelos aplicados para a geometria, no calculo de perímetro, superfícies e volume. 4 Objetivos específicos Reconhecer polinômios Identificar o grau de um polinômio e polinômios idênticos Operar com polinômios Determinar a raiz de um polinômio Aplicar os Teoremas do Resto, Briot Rufini e D alembert 5 Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula) Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), monômio, binômio, trinômio e polinômio. 6 Estratégias 6.1 Recursos: Quadro, material disponível em sala de aula, atividade impressa. 6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula com materiais de ensino. 7 Procedimentos 7.1 Problematização: Situação 01: Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

3 Situação 02: Na resolução de problemas, é comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões e equações que nos ajudam a resolver o problema. Imagine por exemplo que, em determinados problemas, os enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões: a) A primeira figura é uma região retangular de dimensões x e (x+5). Determine as expressões do perímetro e da área dessa figura. b) A segunda figura representa um cubo com arestas de medida x. Determine as expressões da área e do volume dessa figura. c) A terceira figura representa um paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4) e x. Determine as expressões da área total e do volume dessa figura. d) Qual a expressão que representa a soma de todas as superfícies das figuras. e) Qual a diferença entre a medida da superfície do paralelepípedo e da medida da superfície do cubo. 7.2 Historicização: Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos. O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra álgebra, que é trocar os membros no termo de uma equação.

4 A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois se pode ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas pode-se obter polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo: P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0 Como se pode notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios. Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, pode-se assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação Operacionalização da aula Polinômios Polinômio com uma variável Polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser apresentada sob forma: a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 Em que {a 0, a 1,, a 2,, a n } C, {n, n 1, n 2,,1,0} N e a variável x pode assumir qualquer valor complexo. Para indicar que P(x) representa a expressão a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 Escrevemos: P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 Cada uma das parcelas a n x n, a n 1 x n 1, a n 2 x n 2, + a 1 x, a 0, é um termo ou monômio do polinômio, sendo a 0 o termo independente da variável x. Os números a n, a n 1, a n 2,, a 1 e a 0 são os coeficientes do polinômio. Se todos forem iguais a zero, o polinômio é chamado de identicamente nulo. Indica-se que um polinômio P(x) é identicamente nulo por P(x)=0. O grau de um polinômio não identicamente nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não nulos. Indicamos o grau de um polinômio P pelo símbolo gr(p).

5 Não se define grau de um polinômio identicamente nulo, pois todos os seus coeficientes são nulos. O coeficiente não nulo da variável de maior expoente é o coeficiente dominante do polinômio, ou seja, o coeficiente dominante é o do termo que determina o grau do polinômio. Atribuindo um valor complexo β a variável x, obtemos a expressão a n β n + a n 1 β n 1 + a n 2 β n a 1 β + a 0 Cujo resultado é chamado de valor numérico do polinômio para x=β. Indica-se esse valor numérico por P(β). Chamamos raiz do polinômio P(x) todo número complexo β tal que P(β)=0. A raiz também é chamada de zero do polinômio. Exemplos: a) a expressão 6x 4 + 2x³ + x² 7x + 9 é um polinômio de grau 4 em que: 6, 2, 1, -7 são seus coeficientes; x é sua variável; 6x 4, 2x³, x², 7x e 9 são seus termos ou seus monômios; 9 é seu termo independente; 6 é seu coeficiente dominante b) a expressão 7t 5 + 6it³ 10t, que pode ser representada sob a forma 7t 5 +0t 4 + 6it³ + 0t² 10t + 0 é um polinômio de grau 5 em que: 7, 0, 6i, 0, -10 e 0 são seus coeficientes; t é sua variável; 7t 5,0t 4, 6it³, 0t², 10t e 0 são seus termos ou seus monômios; 0 é seu termo independente; 7 é seu coeficiente dominante. c) O número 3 é um polinômio de grau zero, pois pode ser representado na forma 3x 0. Todo número complexo não nulo é um polinômio de grau zero. Todo número complexo é chamado de polinômio constante, inclusive o número zero, do qual não se define grau. d) As expressões 5x 3 + 6x² + 4x e 3t t³ + 5t 2 não são polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um termo não nulo cujo expoente da variável não é numero natural. e) O número 2 é a raiz do polinômio P(x)= x³ 5x² + 3x + 6, pois: P(2)= 2³ 5.2² = 0

6 Identidade de polinômios Considere os polinômios P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são constantes complexas. Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios idênticos se, e somente se, P(β)=Q(β) para qualquer β C. Assim, para determinar as constantes a, b e c, podemos atribuir a x três valores distintos quaisquer e formar um sistema de três equações e três incógnitas. Por exemplo: { P(0) = Q(0) P(1) = Q(1) { 2.0² = a. 0² + b. 0 + c 2.1² = a. 1² + b. 1 + c P( 1) = Q( 1) 2. ( 1) ( 1) + 3 = a. ( 1) 2 + b. ( 1) + c c = 3 Ou seja, { a + b + c = 9 a = 2, b = 4 e c = 3 a b + c = 1 Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. De modo geral, podemos definir que: Os polinômios a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 e b n x n + b n 1 x n 1 + bx n bx + b 0 na variável x, são idênticos se, e somente se, os coeficientes a j e b j obedecerem a condição: a j = b j para todo número natural j e 0 j n Indicamos que dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos por P(x) Q(x); caso não sejam idênticos, indicamos por P(x) Q(x). Operações com polinômios Adição de polinômios A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) + Q(x), é o polinômio obtido ao se adicionarem os coeficientes de P(x) com os coeficientes de Q(x) que tem, respectivamente, o mesmo expoente na variável (caso não conste um termo com determinado expoente na variável, considera-se que seu coeficiente é zero). Valem para a adição as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro (que é o polinômio identicamente nulo) e elemento oposto (o oposto de um polinômio P(x) é o polinômio simbolizado por P(x), que é obtido trocando-se os sinais de todos os monômios de P(x)). Exemplo: Para calcular a soma dos polinômios P(x) 12x 4 + 6x² + 2x + 7 e Q(x) 4x³ + 9x² x 8, que devem ser entendidos como

7 P(x) 12x 4 + 0x³ + 6x² + 2x + 7 e Q(x) 0x 4 + 4x³ + 9x² x 8, adicionamos os coeficientes dos termos de P(x) com os coeficientes dos termos de Q(x) que tem, respectivamente, o mesmo expoente na variável, isto é: P(x) + Q(x) (12+0)x 4 +(0+4)x³+(6+9)x²+(2-1)x+7-8, ou seja, P(x) + Q(x) 12x 4 + 4x³+ 15x²+x -1 Subtração de polinômios A diferença entre os polinômios P(x) e Q(x), nessa ordem, que se indica por P(x) Q(x), é definida como a soma de P(x) com o oposto de Q(x), isto é: P(x) Q(x) = P(x) + [-Q(x)] Exemplo: Sejam P(x) x 5 + 8x³ + 7x² + 3 e Q(x) 4x 5 + 6x 4 2x³ 2, que devem ser entendidos como P(x) x 5 + 0x 4 + 8x³ + 7x² + 0x + 3 e Q(x) 4x 5 + 6x 4 2x³ + 0x² 2. Para obter P(x) Q(x), subtraímos os coeficientes dos termos que tem o mesmo expoente na variável, isto é: P(x) Q(x) (1 4)x 5 + (0 6)x 4 + (8 ( 2))x 3 + (7 0)x 2 + 0x + 3 ( 2), ou seja, P(x) Q(x) 3x 5 6x x³ + 7x² + 5. Multiplicação de polinômios O produto dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) Q(x), é o polinômio obtido pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q. Valem para a multiplicação as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro, além das distributivas em relação à adição e à subtração. Exemplos: a) Sendo P(x) 5x² 3x + 2, temos: 3P(x) 3(5x² 3x + 2) 15x² 9x + 6 b) Sendo H(x) 5x³ + 2x e G(x) 2x² + 4x 1, temos: H(x) G(x) (5x 3 + 2x) (2x 2 + 4x 1) 10x x 4 5x³ + 4x³ + 8x² 2x H(x) G(x) 10x x 4 x³ + 8x² 2x Divisão de polinômios Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio não nulo D(x) significa obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que: Q(x) D(x) + R(x) E(x) e gr(r) < gr(d) ou R(x) 0

8 Os polinômios E(x), D(x), Q(x) e R(x) são chamados, respectivamente, de dividendo, divisor, quociente e resto da divisão. Demonstra-se que existe um único quociente Q(x) e um único resto R(x) na divisão de E(x) por D(x). Quando R(x) 0, dizemos que a divisão de E(x) por D(x) é exata, ou, ainda que E(x) é divisível por D(x). Exemplos: a) Na identidade (3x + 5) (x 4 + 2x) Q(x) D(x) + 10x³ R(x) 3x 5 + 5x x³ + 6x² + 10x E(x) Temos gr(r)<gr(d). Portanto, devido à unicidade do quociente e do resto, concluímos que Q(x) e R(x) são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de E(x) por D(x). b) Na identidade (x + 3) Q(x) (x 3) + 0 D(x) R(x) x² 9 E(x) Temos R(x) 0. Por isso, dizemos que Q(x) é o quociente exato da divisão de E(x) por D(x). Dizemos, também, que E(x) é divisível por D(x). Método da chave para a divisão de polinômios Toda propriedade da estrutura algébrica dos polinômios tem sua correspondente na estrutura algébrica dos números inteiros; por isso, é possível compreender muitos procedimentos realizados com polinômios a partir de uma analogia com números inteiros. Por exemplo, para dividir 40 por 10, podemos efetuar: O método da chave, utilizado na divisão de números pode ser estendido para a divisão de polinômios. Por exemplo, para dividir o polinômio E(x) 3x x³ + x² 10x + 9 pelo polinômio D(x)= x² + 6: I. Dispomos E(x) e D(x) sob a forma: 3x 5 + 0x x³ + x² 10x + 9 x² + 6 II. Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x). III. Subtraímos do dividendo o produto do divisor D(x) pelo quociente encontrado em (II), obtendo assim o primeiro resto parcial. IV. Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais alto grau de D(x). V. Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo quociente encontrado em (IV), obtendo assim o segundo resto parcial.

9 E assim sucessivamente, até obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condições: gr(r)<gr(d) ou R(x) 0 Observe: Concluímos, então, que o quociente Q(x) e o resto R(x) são dados por: Q(x) = 3x³ 2x + 1 e R(x) = 2x + 3 Fração Polinomial Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo P(x) polinômios, com Q(x) 0. Exemplos: Q(x) em que P(x) e Q(x) são a) 5x4 +2x 1 x+3 b) 5 x² 1 Teorema do resto Sendo a uma constante complexa qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x a é igual a P(a). Dem: Sejam, respectivamente, Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de P(x) por x a, ou seja: P(x) Q(x) (x a) + R(x) (I) Como gr(r) = 0 ou R(x) 0, podemos indicar R(x) por uma constante R.

10 Assim, a sentença (I) pode ser representada sob a forma: P(x) Q(x) (x a) + R Calculando P(a), obtemos: P(a) = Q(a) (a a) + R P(a) = R Logo, o resto R da divisão é igual a P(a). Exemplos: a) O resto R da divisão do polinômio P(x) 4x 3 + x 2 3 pelo binômio x 2 é igual a P(2), isto é R = P(2) = = 33 b) Para se obter o resto R da divisão do polinômio P(x) x 5 + 5x 3 x + 6 pelo binômio x + 1, observamos que este binômio pode ser representado na forma x ( 1) e, portanto, pelo teorema do resto, temos: R = P( 1) = ( 1) ( 1) 3 ( 1) + 6 = 1 Teorema de D Alembert Jean le Rond D Alembert, matemático, filósofo e físico francês, considerado o cientista mais influente da França em sua época. D Alembert participou ativamente do movimento que abriu caminho para a Revolução Francesa. Vários teoremas levam o nome desse importante matemática francês; no estudo dos polinômios, é de D Alembert o teorema: Sendo a uma constante complexa qualquer, um polinômio P(x) é divisível por x a se, e somente se, a é raiz de P(x). Dem: Por definição de raiz de um polinômio, temos que a é a raiz de P(x) se, e somente se, P(a) = 0. Mas, pelo teorema do resto, P(a) é o resto R da divisão de P(x) por x a. Concluímos, assim, que: a é raiz de P(x) R = 0 Ou seja, afirmar que o numero é raiz de P(x) equivale a afirmar que P(x) é divisível por x a. Exemplo: O polinômio P(x) x 5 3x 3 + 3x 2 4x 12 é divisível por x 2, pois P(2) = 0. Observe: P(2) = = 0 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Para efetuar a divisão de um polinômio E(x) por um binômio da forma x a, em que a é uma constante qualquer, podemos aplicar o método da chave. Porem, com o objetivo de facilitar essa operação, apresentamos um dispositivo prático conhecido como dispositivo prático de Briot-Ruffini, em homenagem aos matemáticos que a criaram, Charles August Briot ( ) e Paolo Ruffini ( ). Vamos descrever esse dispositivo a partir da divisão do polinômio: E(x) e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 por x a

11 O quociente Q(x) dessa divisão deve ser um polinômio do 3º grau e o resto R(x) deve ser polinômio constante, ou seja: Q(x) q 3 x 3 + q 2 x 2 + q 1 x + q 0 e R(x) R Devemos ter: E(x) (x a) Q(x)+R e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 (x a)(q 3 x 3 + q 2 x 2 + q 1 x + q 0 ) + R e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 q 3 x 4 + q 2 x 3 + q 1 x 2 + q 0 x (aq 3 x 3 + aq 2 x 2 + aq 1 x + aq 0 ) + R e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 q 3 x 4 + (q 2 aq 3 )x 3 + (q 1 aq 2 )x 2 + (q 0 + aq 1 )x aq 0 + R q 3 = e 4 q 2 aq 3 = e 3 q 2 = e 3 +aq 3 Logo obtemos: q 1 aq 2 = e 2 q 1 = e 2 +aq 2 q 0 aq 1 = e 1 q 0 = e 1 +aq 1 { aq 0 + R = e 0 R = e 0 +aq 0 } Os valores q 3, q 2, q 1, q 0 e R podem ser calculados rapidamente, executando-se os passos descritos pelo esquema a seguir, conhecido como dispositivo prático de Briot- Ruffini: Assim, temos: Q(x) e 4 x 3 + (aq 3 + e 3 )x 2 + (aq 2 +e 2 )x 1 + aq 1 + e 1 e R aq 0 + e 0 Pode-se generalizar esse método para qualquer polinômio E(x) com grau maior ou igual a 1.

12 8 Critérios 8.1 Critérios de avaliação Domínio dos conceitos abordados; Participação e interesse dos alunos durante à aula e na resolução e correções dos exercícios. 8.2 Instrumentos de avaliação Prova individual e escrita. 9 Bibliografia DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São Paulo: Ática, GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São Paulo: Editora FTD S.A, PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora Moderna, Sites: 25/08/2014 Polinômios no dia-a-dia

Polinômios. Acadêmica: Vanessa da Silva Pires

Polinômios. Acadêmica: Vanessa da Silva Pires Polinômios Acadêmica: Vanessa da Silva Pires Situação 01: Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito. Situação 02: Na resolução de problemas,

Leia mais

Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas ( REELABORAÇÃO)

Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas ( REELABORAÇÃO) Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas ( REELABORAÇÃO) Aluno: Anderson Ribeiro da Silva Tutor: Cláudio Rocha de Jesus Grupo: 7 Curso: 3º Ano / Ensino Médio Duração: 400min INTRODUÇÃO Sabe-se

Leia mais

PROJETO SEEDUC SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO - CECIERJ. Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas

PROJETO SEEDUC SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO - CECIERJ. Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas PROJETO SEEDUC SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO - CECIERJ Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas 3º ano do Ensino Médio da Rede Pública do Rio de Janeiro Formação Continuada

Leia mais

4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.

4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios

Leia mais

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:

Leia mais

POLINÔMIOS AVALIAÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1

POLINÔMIOS AVALIAÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA COLÉGIO: CIEP BRIZOLÃO 998 SÃO JOSÉ DE SUMIDOURO PROFESSOR: RAFAEL SANCHES BORGES MATRÍCULA: 09154410 SÉRIE: 3º ANO GRUPO : 2 TUTOR : PAULO ROBERTO CASTOR

Leia mais

AULA 01 (A) 9. (B) 1. (C) 0. (D) 7. (E) 10. (E) Se k 5 então axterá ( ) grau 1. (D) d(3) 4. (E) d(4) 12.

AULA 01 (A) 9. (B) 1. (C) 0. (D) 7. (E) 10. (E) Se k 5 então axterá ( ) grau 1. (D) d(3) 4. (E) d(4) 12. AULA 01 Observe cada um dos polinômios a seguir: x p( x) x 9x 4x x x 7 3 (I) 7 6 5 3 x 3x (II) mx ( ) 5 4 3 (III) n( x) 8x 3x 10x 3 6 Se organizarmos estes polinômios em ordem crescente de grau teremos

Leia mais

POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:

POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes

Leia mais

GABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2).

GABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2). 01) a) P (1) = 1 + 7 1 17 1 P (1) = 1 + 7 17 P (1) = 11 P (1) é sempre igual a soma dos coeficientes de P (x) b) P (0) = 0 + 7 0 17 0 P (0) = 0 + 0 0 P (0) = P (0) é sempre igual ao termo independente

Leia mais

Formação Continuada NOVA EJA. PLANO DE AÇÃO 4- Polinômios

Formação Continuada NOVA EJA. PLANO DE AÇÃO 4- Polinômios Nome do cursista: Isabel Cristina da Silva Email do cursista: isabel_cristinasilva@hotmail.com Nome do pólo: Metropolitana IV Nome do tutor: Nilton Miguel da Silva Grupo A INTRODUÇÃO Formação Continuada

Leia mais

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C.E.

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C.E. FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C.E. Cardeal Arcoverde PROFESSORA: Janete Maria Jesus de Sá MATRÍCULA: 0825192-8 SÉRIE: 3ª série do Ensino Médio

Leia mais

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/SEEDUC-RJ

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/SEEDUC-RJ FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/SEEDUC-RJ CONTEÚDO: POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. SÉRIE: 3ª ANO ENSINO MÉDIO/ 4º BIMESTRE / 2014 TUTOR: DANUBIA DE ARAUJO MACHADO

Leia mais

Polinômios e Equações Algébricas

Polinômios e Equações Algébricas Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ Matemática 3º Ano - 4º Bimestre / 2014 Plano de Trabalho Polinômios e Equações Algébricas Tarefa 1 Cursista: Thiago Thompson Pereira

Leia mais

Erivaldo. Polinômios

Erivaldo. Polinômios Erivaldo Polinômios Polinômio ou Função Polinomial Definição: P(x) = a o + a 1.x + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n a o, a 1, a 2, a 3,..., a n : Números complexos Exemplos: 1) f(x) = x 2 + 3x 7 2) P(x)

Leia mais

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Dispositivo de Briot-Ruffini. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Dispositivo de Briot-Ruffini

Leia mais

Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:

Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde

Leia mais

Primeira Lista de Exercícios

Primeira Lista de Exercícios Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN) curso: Licenciatura em Matemática professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter Primeiro semestre de 2012 1. Determine

Leia mais

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Teorema do Resto. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Teorema do Resto 1 Exercícios Introdutórios

Leia mais

... Onde usar os conhecimentos os sobre...

... Onde usar os conhecimentos os sobre... IX NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS Por que aprender sobre Números Complexos?... Ao estudar os Números Complexos percebemos que sua ligação à geometria nos dá uma perspectiva mais rica dos métodos geométricos

Leia mais

POLINÔMIOS. Nível Básico

POLINÔMIOS. Nível Básico POLINÔMIOS Nível Básico. (Eear 07) Considere P(x) x bx cx, tal que P() e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e. (Epcar (Afa) 05) Considere o polinômio a) x 0 não é

Leia mais

Polinômios e Equações Algébricas

Polinômios e Equações Algébricas Polinômios e Equações Algébricas FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC - RJ Tutora: MARIA CLÁUDIA PADILHA TOSTES Cursista: Marta Cristina de Oliveira Matrículas:

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = + 7 7

Leia mais

TAREFA 3. AVALIAÇÃO DA EXECUÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS e EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

TAREFA 3. AVALIAÇÃO DA EXECUÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS e EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TAREFA 3 AVALIAÇÃO DA EXECUÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS e EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Cursista: Selma Figueiredo Pontes Matemática - 3ª série Ensino Médio Grupo: 5 Tutora: Andréa Silva de Lima Pontos

Leia mais

Fácil e Poderoso. Dinâmica 1. 3ª Série 4º Bimestre. DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO. Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico

Fácil e Poderoso. Dinâmica 1. 3ª Série 4º Bimestre. DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO. Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Fácil e Reforço escolar M ate mática Poderoso Dinâmica 1 3ª Série 4º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Polinômios e Equações Algébricas. Primeira

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR

RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 11 ÁLGEBRA LINEAR I - POLINÔMIOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 Definição Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i

Leia mais

Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz

Apostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz Definição POLINÔMIOS Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(=a n x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- +... + a x + a 1 x + a 0. Onde: a n, a n-1, a n-,..., a, a

Leia mais

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS NÚMEROS RACIONAIS Apostila do 8º ano Números Reais Apostila I Bimestre 8º anos Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero) : a)

Leia mais

POLONÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ - Consórcio CEDERJ. Matemática 3º Ano 4º Bimestre/2013

POLONÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ - Consórcio CEDERJ. Matemática 3º Ano 4º Bimestre/2013 FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ - Consórcio CEDERJ Matemática 3º Ano 4º Bimestre/2013 POLONÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Tarefa 1 - Plano de Trabalho 1 Cursista: Mara Cláudia Arêas da

Leia mais

Aula Inaugural Curso Alcance 2017

Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Revisão de Matemática Básica Professores: Me Carlos Eurico Galvão Rosa e Me. Márcia Mikuska Universidade Federal do Paraná Campus Jandaia do Sul cegalvao@ufpr.br 06 de

Leia mais

O espião que me amava

O espião que me amava Reforço escolar M ate mática O espião que me amava Dinâmica 2 3ª Série 4º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática Ensino Médio 3ª Algébrico-Simbólico. Polinômios e Equações Algébricas. Aluno

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Números e

Leia mais

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

DIVISÃO DE POLINÔMIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo

Leia mais

Nível II (6º ao 9º ano) Sistema de Recuperação 3º período e Anual Matemática

Nível II (6º ao 9º ano) Sistema de Recuperação 3º período e Anual Matemática Nível II (6º ao 9º ano) Sistema de Recuperação 3º período e Anual Matemática Orientações aos alunos e pais A prova de dezembro abordará o conteúdo desenvolvido nos três períodos do ano letivo. Ela será

Leia mais

MATEMÁTICA. Docente: Marina Mariano de Oliveira

MATEMÁTICA. Docente: Marina Mariano de Oliveira MATEMÁTICA Docente: Marina Mariano de Oliveira MATEMÁTICA Docente: Marina Mariano de Oliveira Bacharelado em Meteorologia (incompleto) Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade

Leia mais

Polinômios e Equações Polinomiais

Polinômios e Equações Polinomiais Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação Cecierj/Consórcio CEDERJ Matemática 3 ano - 4 Bimestre/ 2012 Avaliação da Implementação do Plano de Trabalho I Polinômios e Equações Polinomiais Tarefa 3: Avaliação

Leia mais

PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA

PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA 1.º Período Agrupamento de Escolas António Correia de Oliveira PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA 7.º ANO ANO LETIVO 2016/17 Números Racionais Números e operações NO7 Números racionais - Simétrico da soma

Leia mais

Matemática. Operações Básicas. Professor Dudan.

Matemática. Operações Básicas. Professor Dudan. Matemática Operações Básicas Professor Dudan www.acasadoconcurseiro.com.br Matemática OPERAÇÕES MATEMÁTICAS Observe que cada operação tem nomes especiais: Adição: + 4 = 7, em que os números e 4 são as

Leia mais

2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações

2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Capítulo 2 2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Como exposto no tópico 1.3, uma expressão algébrica é uma a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas.

Leia mais

Polinômios e equações algébricas 2. Fascículo 12. Unidade 38

Polinômios e equações algébricas 2. Fascículo 12. Unidade 38 Polinômios e equações algébricas 2 Fascículo 12 Unidade 38 Polinômios e equações algébricas 2 Para início de conversa... Conforme vimos na unidade Geometria Espacial: pirâmides e cones, que tratava das

Leia mais

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios

Leia mais

PLANO DE TRABALHO SOBRE POLINÔMIOS Filomena Martins Castro Novais Avaliação da implementação do Plano de Trabalho

PLANO DE TRABALHO SOBRE POLINÔMIOS Filomena Martins Castro Novais Avaliação da implementação do Plano de Trabalho FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: ESTADUAL JOSÉ MATOSO MAIA FORTE PROFESSOR: FILOMENA MARTINS CASTRO NOVAIS MATRÍCULA: 00/3031632-7 SÉRIE: 3º ANO

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes e Consequências 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA:

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Números e

Leia mais

Monster. Concursos. Matemática 1 ENCONTRO

Monster. Concursos. Matemática 1 ENCONTRO Monster Concursos Matemática 1 ENCONTRO CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos,

Leia mais

MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º BIMESTRE º B - 11 Anos

MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º BIMESTRE º B - 11 Anos PREFEITURA MUNICIPAL DE IPATINGA ESTADO DE MINAS GERAIS SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO PEDAGÓGICO/ SEÇÃO DE ENSINO FORMAL Centro de Formação Pedagógica CENFOP MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º

Leia mais

Capítulo 1: Fração e Potenciação

Capítulo 1: Fração e Potenciação 1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.

Leia mais

Matemática A - 10 o Ano

Matemática A - 10 o Ano Matemática A - 10 o Ano Resolução da Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Considerando os polinómios p e b no enunciado temos que o termo de maior grau de p b é a nx n b

Leia mais

POLINÔMIOS. 1. Função polinomial. 2. Valor numérico. 3. Grau de um polinômio. 4. Polinômios idênticos

POLINÔMIOS. 1. Função polinomial. 2. Valor numérico. 3. Grau de um polinômio. 4. Polinômios idênticos POLINÔMIOS 1. Função polinomial É a função P() = a 0 + a 1 + a + a +... + a n n, onde a 0, a 1, a,..., a n são os coeficientes e os termos do polinômio são : a 0 ; a 1 ; a ; a ;... ; a n n. Valor numérico

Leia mais

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A. Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos

Leia mais

7.º Ano. Planificação Matemática 2016/2017. Escola Básica Integrada de Fragoso 7.º Ano

7.º Ano. Planificação Matemática 2016/2017. Escola Básica Integrada de Fragoso 7.º Ano 7.º Ano Planificação Matemática 201/2017 Escola Básica Integrada de Fragoso 7.º Ano Geometria e medida Números e Operações Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais / Metas Números racionais - Simétrico

Leia mais

Pré-Cálculo. Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega. FURG - Universidade Federal de Rio Grande

Pré-Cálculo. Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega. FURG - Universidade Federal de Rio Grande Pré-Cálculo Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega Projeto Pré-Cálculo Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendo os principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemática

Leia mais

REVISÃO DOS CONTEÚDOS

REVISÃO DOS CONTEÚDOS REVISÃO DOS CONTEÚDOS As quatro operações fundamentais As operações fundamentais da matemática são quatro: Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (* ou x ou.) e Divisão (: ou / ou ). Em linguagem comum,

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 7

Matemática E Extensivo V. 7 Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do

Leia mais

Planejamento Anual. Componente Curricular: Matemática Ano: 7º ano Ano Letivo: Professor(s): Eni e Patrícia

Planejamento Anual. Componente Curricular: Matemática Ano: 7º ano Ano Letivo: Professor(s): Eni e Patrícia Planejamento Anual Componente Curricular: Matemática Ano: 7º ano Ano Letivo: 2016 Professor(s): Eni e Patrícia OBJETIVO GERAL Desenvolver e aprimorar estruturas cognitivas de interpretação, análise, síntese,

Leia mais

ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT

ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 quadrado do segundo termo primeiro termo 2 x (primeiro termo) x (segundo termo) quadrado do primeiro termo segundo termo Quadrado

Leia mais

Matemática OPERAÇÕES BÁSICAS. Professor Dudan

Matemática OPERAÇÕES BÁSICAS. Professor Dudan Matemática OPERAÇÕES BÁSICAS Professor Dudan Operações Matemáticas Observe que cada operação tem nomes especiais: Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total.

Leia mais

MATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo

MATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo I Ana Paula Figueiredo Números Reais IR O conjunto dos números Irracionais reunido com o conjunto dos números Racionais (Q), formam o conjunto dos números Reais (IR ). Assim, os principais conjuntos numéricos

Leia mais

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA - 7.º ANO

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA - 7.º ANO DE MATEMÁTICA - 7.º ANO Ano Letivo 2014 2015 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de multiplicar e dividir números racionais relativos. No domínio da Geometria e Medida,

Leia mais

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as

Leia mais

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 7.º ANO

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 7.º ANO DE MATEMÁTICA 7.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de multiplicar e dividir números racionais relativos. No domínio da Geometria e Medida,

Leia mais

Polinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2

Polinômios (B) 4 (C) 2 (D) 1 3 (E). 2 Polinômios. (ITA 2005) No desenvolvimento de (ax 2 2bx + c + ) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a (A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Tema II Funções e Gráficos. Funções polinomiais. Função módulo.

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Tema II Funções e Gráficos. Funções polinomiais. Função módulo. ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ponto três do plano de trabalho nº 5 Tarefa nº 4. Considere a família de funções polinomiais: f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a \ {0}.. Represente

Leia mais

Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática

Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Plano de Aula 1- IDENTIFICAÇÃO Secretaria

Leia mais

Matemática. Questão 1. 3 a série do Ensino Médio Turma. 2 o Bimestre de 2016 Data / / Escola. Aluno RESOLUÇÃO: AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO

Matemática. Questão 1. 3 a série do Ensino Médio Turma. 2 o Bimestre de 2016 Data / / Escola. Aluno RESOLUÇÃO: AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO EM AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 3 a série do Ensino Médio Turma GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO 2 o Bimestre de 2016 Data / / Escola Aluno Questão 1 Dada a equação

Leia mais

TAREFA 3. AVALIAÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Maria de Fátima Cabral de Souza

TAREFA 3. AVALIAÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Maria de Fátima Cabral de Souza TAREFA 3 AVALIAÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Maria de Fátima Cabral de Souza mfatima1958@bol.com.br PONTOS POSITIVOS Os textos fornecidos pelo curso e a troca

Leia mais

QUESTÕES DE VESTIBULARES

QUESTÕES DE VESTIBULARES QUESTÕES DE VESTIBULARES 01- (ACAFE) Dados os polinômios: p(x) = 5-2x + 3x 2, q(x) = 7 + x + x 2 - x 3 e r(x) = 1-3x + x 4. O valor de p(x) + r (x) - q(x) para x = 2 é: A) 5 B) 13 C) 11 D) 24 E) 19 02-

Leia mais

8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau

8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau 8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau 9. Quais das seguintes funções são polinomiais? Justifique. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 10. Sendo ( ), calcule:

Leia mais

Aula 03: Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas, Fatoração e Produtos Notáveis.

Aula 03: Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas, Fatoração e Produtos Notáveis. Aula 03: Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas, Fatoração e Produtos Notáveis. GST1073 Fundamentos de Matemática Fundamentos de Matemática Aula 3 - Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas,

Leia mais

Conjuntos. Notações e Símbolos

Conjuntos. Notações e Símbolos Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas

Leia mais

Polinômios e equações algébricas 1. Fascículo 12. Unidade 37

Polinômios e equações algébricas 1. Fascículo 12. Unidade 37 Polinômios e equações algébricas 1 Fascículo 12 Unidade 37 Polinômios e equações algébricas 1 Para início de conversa... Você saberia responder essa questão? Se desejar faça uma experiência construindo

Leia mais

Função polinomial. Pré-Cálculo. Função polinomial. Função polinomial: exemplos. Humberto José Bortolossi. Parte 6. Definição

Função polinomial. Pré-Cálculo. Função polinomial. Função polinomial: exemplos. Humberto José Bortolossi. Parte 6. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função polinomial Parte 6 Parte 6 Pré-Cálculo 1 Parte 6 Pré-Cálculo 2 Função polinomial Função polinomial:

Leia mais

MATEMÁTICA. Polinômios. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

MATEMÁTICA. Polinômios. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1 MATEMÁTICA Polinômios Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Monômio, o que isso Professor Dêner? Monômios Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por

Leia mais

PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO

PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas

Leia mais

Polinómios. Integração de Funções Racionais

Polinómios. Integração de Funções Racionais Polinómios. Integração de Funções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes 2016 1 / 17 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Divisão de Funções Polinomiais. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Divisão de Funções Polinomiais. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Divisão de Funções Polinomiais

Leia mais

Álgebra. Polinômios.

Álgebra. Polinômios. Polinômios 1) Diga qual é o grau dos polinômios a seguir: a) p(x) = x³ + x - 1 b) p(x) = x c) p(x) = x 7 - x² + 1 d) p(x) = 4 ) Discuta o grau dos polinômios em função de k R: a) p(x) = (k + 1)x² + x +

Leia mais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação

Leia mais

ESCOLA BÁSICA DE MAFRA 2016/2017 MATEMÁTICA (2º ciclo)

ESCOLA BÁSICA DE MAFRA 2016/2017 MATEMÁTICA (2º ciclo) (2º ciclo) 5º ano Operações e Medida Tratamento de Dados Efetuar com números racionais não negativos. Resolver problemas de vários passos envolvendo com números racionais representados por frações, dízimas,

Leia mais

PLANO DE TRABALHO 1 4º BIMESTRE 2013

PLANO DE TRABALHO 1 4º BIMESTRE 2013 PLANO DE TRABALHO 1 4º BIMESTRE 2013 FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: COLÉGIO ESTADUAL ARY PARREIRAS PROFESSOR: ANA CRISTINA PEREIRA COSTA MATRÍCULA:

Leia mais

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de

Leia mais

7º Ano. Planificação Matemática 2014/2015. Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano

7º Ano. Planificação Matemática 2014/2015. Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano 7º Ano Planificação Matemática 2014/2015 Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais / Metas Números e Operações Números racionais - Simétrico da soma e da diferença

Leia mais

Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CICIERJ/Consórcio CEDERJ. Matemática 3º ano 4º Bimestre/2012 Plano de Trabalho.

Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CICIERJ/Consórcio CEDERJ. Matemática 3º ano 4º Bimestre/2012 Plano de Trabalho. Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CICIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 3º ano 4º Bimestre/2012 Plano de Trabalho Polinômios Tarefa: 1 Tempo para a implementação: 14 aulas Cursista: Roberto monteiro

Leia mais

1. Múltiplos e divisores

1. Múltiplos e divisores Escola Básica de Santa Marinha Matemática 2009/2010 7º Ano Síntese dos conteúdos Números e operações 1 Múltiplos e divisores Múltiplo de um número é todo o número que se obtém multiplicando o número dado

Leia mais

RELATÓRIO I Data: 25/05/2017

RELATÓRIO I Data: 25/05/2017 RELATÓRIO I Data: 25/05/2017 Objetivo(s) -Retomar e ampliar o conteúdo de adição e subtração com polinômios trabalhados em aula. -Amenizar as dificuldades dos estudantes referentes ao conteúdo abordado

Leia mais

Quadro de conteúdos MATEMÁTICA

Quadro de conteúdos MATEMÁTICA Quadro de conteúdos MATEMÁTICA 1 Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de

Leia mais

ASSUNTO:POLINÔMIOS. a) Do 3º grau resp: m ±6 b) Do 2º grau resp: m=6 c) do 1 º grau m=-6

ASSUNTO:POLINÔMIOS. a) Do 3º grau resp: m ±6 b) Do 2º grau resp: m=6 c) do 1 º grau m=-6 ASSUNTO:POLINÔMIOS 1) Identifique as expressões abaixo que são polinômios: a) 3x 3-5x 2 +x-4 b) 5x -4 -x -2 +x-9 c) x 4-16 d)x 2 3 +2x+6 e) x 2 4 resp: a, c,d 2) Dado o polinômio P(x)= 2x 3-5x 2 +x-3.

Leia mais

Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução

Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Exercício 6: Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5,7 10 - g e uma de água, 3 10-3 g. Qual das duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra?

Leia mais

MONÔMIOS E POLINÔMIOS

MONÔMIOS E POLINÔMIOS MONÔMIOS E POLINÔMIOS Problema: Observa as figuras. 6-9 6 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma

Leia mais

Revendo as operações

Revendo as operações A UA UL LA 61 Revendo as operações Introdução Nossa aula Assim como já vimos em muitas de nossas aulas, a Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-adia. Na aula de hoje, recordaremos

Leia mais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por

Leia mais

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ANA CRISTINA DA SILVA FERREIRA

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ANA CRISTINA DA SILVA FERREIRA FORMAÇÃO CONTINUADA POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ANA CRISTINA DA SILVA FERREIRA FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO ESTADUAL PADRE MANUEL DA NÓBREGA

Leia mais

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/SEEDUC-RJ Colégio: COLÉGIO ESTADUAL PROFESSOR AURÉLIO DUARTE Cursista: ELIANA CRUZ WERMELINGER Matrículas: O804539-5/0839402-5 Série:

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +

Leia mais

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)

Leia mais

3 + =. resp: A=5/4 e B=11/4

3 + =. resp: A=5/4 e B=11/4 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI-UNITAU EXERCÍCIOS PARA ESTUDO DO EXAME FINAL - 3º ENSINO MÉDIO - PROF. CARLINHOS BONS ESTUDOS! ASSUNTO : POLINÔMIOS 1) Identifique as expressões abaixo que são

Leia mais