DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAL. Para cada um dos lançamentos, há dois resultados distintos, ou probabilidades elementares:

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1 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BIOMIAL onsiderem-se dois lançamentos de uma moeda honesta. Seja a variável aleatória X=nº de caras saídas, em que os ossíveis valores de X são 0 (saída de duas coroas), ou. Pretende-se calcular Pr(x) ara os diversos valores de X. Para cada um dos lançamentos, há dois resultados distintos, ou robabilidades elementares: = P( cara) = ; q = = P( coroa) = P( nãosair cara) = P( cara) = =. Estes resultados elementares obedecem à sequência,, que é a rimeira linha do Triângulo de Pascal, que dá os coeficientes do desenvolvimento de um binómio de º grau: ( + q) = + q Este cálculo de robabilidades ode ser feito à custa da construção do universo de acontecimentos elementares: S = {(cara,cara), (cara,coroa), (coroa,cara), (coroa,coroa)} Então: # casos favoráveis P( x = 0) # Universo 4 # casos favoráveis P( x = ) # Universo 4 # casos favoráveis P( x = ) # Universo 4 Reare-se que os casos favoráveis obedecem à sequência,,, que reresentam as diversas ossibilidades de ocorrência de cada resultado. Este valor, multilicado ela robabilidade de ocorrência de um dos ossíveis resultados do universo, dá a robabilidade do resultado retendido. ote-se que a sequência,, é a ª linha do Triângulo de Pascal, que dá os coeficientes do desenvolvimento de um binómio de º grau: ( + q) = + q+ q Se considerarmos três lançamentos de uma moeda, o universo de acontecimentos elementares é (=cara; F=coroa): S = {(), (F), (F), (F), (FF), (FF), (FF), (FFF)} Sendo x=nº de caras, as diversas robabilidades de x são:

2 P( x = 0) = 8; P( x = ) = 3 8; P( x = ) = 3 8; P( x = 3) = 8 Reare-se que os casos favoráveis obedecem à sequência, 3, 3,, que reresentam as diversas ossibilidades de ocorrência de cada resultado. Este valor, multilicado ela robabilidade de ocorrência de um dos ossíveis resultados do universo, dá a robabilidade do resultado retendido. ote-se que a sequência, 3, 3, é a 3ª linha do Triângulo de Pascal, que dá os coeficientes do desenvolvimento de um binómio de 3º grau: ( + q) = + 3 q+ 3 q + q onsiderando quatro lançamentos de uma moeda, ter-se-á: S = {(), (F), (F), (F), (F), (FF), (FF), (FF), (FF), (FF), (FF), (FFF), (FFF), (FFF), (FFF), (FFFF)} Sendo x=nº de caras, as diversas robabilidades de x são: P( x = 0) = 6; P( x = ) = 4 6; P( x = ) = 6 6; P( x = 3) = 4 6; P( x = 4) = 6 Reare-se que os casos favoráveis obedecem à sequência, 4, 6, 4,, que reresentam as diversas ossibilidades de ocorrência de cada resultado. Este valor, multilicado ela robabilidade de ocorrência de um dos ossíveis resultados do universo, dá a robabilidade do resultado retendido. ote-se que a sequência, 4, 6, 4, é a 4ª linha do Triângulo de Pascal, que dá os coeficientes do desenvolvimento de um binómio de 4º grau: ( + q) = + 4 q+ 6 q + 4 q + q em que 4 é a robabilidade de obter 4 caras; 43q é a robabilidade de obter 3 caras (e uma coroa); 6q é a robabilidade de obter caras (e coroas); 4q3 é a robabilidade de obter cara (e 3 coroas) e q4 é a robabilidade de obter 0 caras (ou seja, 4 coroas). O mesmo raciocínio oderia ser continuado ara um maior número de lançamentos de uma moeda, obtendo-se ara cada número de lançamentos um conjunto de robabilidades definidas elo desenvolvimento do binómio (+q), em que é o número de lançamentos considerados. Os coeficientes do desenvolvimento do binómio (+q) são dados ela exressão (combinações de elementos tomados em gruos de K), e dão o número de combinações de sucessos que conduzem ao mesmo resultado (isto é, F, F, F são as três ossíveis combinações de faces cara (sucesso) e coroa (insucesso) que conduzem ao mesmo resultado em termos de número de caras saídas: cara):

3 = K! K!( K)! em que é o número de lançamentos, K=0,,,..., é o número de caras obtidas. Veja-se o comortamento do triângulo de Pascal, que dá de uma maneira gráfica a sucessão dos coeficientes do desenvolvimento do binómio (+q) (isto é, o número de combinações de sucessos que conduzem ao mesmo resultado): = = =3 3 3 = = O tio de acontecimento robabilístico que temos vindo a analisar tem as seguintes articularidades: trata-se de realizar, nas mesmas condições, vezes ( rovas de Bernoulli) um determinado acontecimento que, numa realização isolada, tem dois resultados ossíveis e mutuamente exclusivos (cara ou coroa; macho ou fêmea; defeituoso ou não defeituoso, etc); designemos or sucesso o resultado cujas robabilidades retendemos quantificar, e or insucesso o outro resultado; cada uma das realizações ou rovas é indeendente das restantes; as robabilidades do resultado sucesso () e do resultado insucesso (q = - ) ermanecem constantes de rova ara rova. estas condições, é como que se, de uma rova ara a seguinte, ocorresse a reconstituição do esaço amostral, isto é, houvesse a reosição dos acontecimentos (amostragem com reosição), de modo que as robabilidades elementares ermanecem constantes e as rovas são indeendentes. Acontecimentos deste género designam-se or rocessos ou rovas de Bernoulli. As robabilidades associadas às contagens dos resultados sucesso de rovas ou acontecimentos de Bernoulli seguem uma lei ou função de robabilidades, denominada or Função de Probabilidades Binomial. onsiderem-se rocessos de Bernoulli, em que cada realização individual tem a robabilidade ara o resultado sucesso e a robabilidade q = - ara o resultado insucesso. A função que ermite calcular a robabilidade de em rocessos ocorrerem K sucessos designa-se or função de robabilidades binomial e é dada or: f( K) = B( K, ) = q K K K 3

4 A função de distribuição de robabilidades é dada or: k0 0 = 0 = i= FK ( k) BK ( k, ) q i i i a exressão anterior, o termo K dá o número das várias ossibilidades ou alternativas de obter um determinado resultado, indiferentemente da ordem em que os sucessos se realizam (no exemlo de três lançamentos de uma moeda, a obtenção de uma cara ode ser FF, FF, FF; isto é, há três alternativas com ordens diferentes mas que conduzem ao resultado considerado: cara); o termo K q K dá a robabilidade elementar de um resultado, em que as ordens de obtenção dos sucessos definiriam resultados distintos. O arâmetro de localização ou º momento (valor médio) é dado or: µ = E( x) = x. P( x ) = O arâmetro de disersão ou º momento em relação à média (variância) é: σ = E( x µ ) = ( x µ ). P( x ) = q Exemlos: - onsiderem-se 5 lançamentos de uma moeda honesta. Seja a variável aleatória x=nº de caras. Pretende-se calcular a robabilidade de obtenção de 0,,, 3, 4, 5 caras: º de rocessos de Bernoulli (rovas individuais): 5 Querendo calcular robabilidades relacionadas com a saída de caras, é conveniente definir sucesso como sendo cara; então, ara cada rova isolada, tem-se: = Pr(sucesso) = Pr(cara) = / q = Pr(insucesso) = Pr(coroa) = - / = / Para k=0: Pr( k = 0) = B ( k = 0 = 5, = / ) = 0 = Para k=: Pr( k = ) = B ( k = = 5, = / ) = = Para k=: Pr( k = ) = B ( k = = 5, = / ) = = Para k=3: Pr( k = 3) = B ( k = 3 = 5, = / ) = 3 = Para k=4: Pr( k = 4) = B ( k = 4 = 5, = / ) = 4 = Para k=5: Pr( k = 5) = B ( k = 5 = 5, = / ) = 5 = 3 i i i i 4

5 A média ou valor médio é: µ = E( x) = xi. P( xi) = mas que ode ser calculada muito simlesmente da seguinte maneira: µ = = 5 0.5=.5 A variância é: σ = q = = A robabilidade de obter três ou menos caras é dada ela função de distribuição de robabilidades ara k=3, e é: 3 i i 6 Fk ( 3) = Bk ( 3 = 5, = /) = i q = i= 3 A robabilidade de obter elo menos 3 caras é dada or: i i 6 Fk ( 3) = Bk ( < 3 = 5, = /) = Bk ( = 5, = /) = i q = i= 3 mas também oderia ser calculada da seguinte forma: 5 i i 6 Fk ( 3) = Bk ( 3 = 5, = /) = i q = 3 i= 3 - um determinado itinerário de vendas, um caixeiro-viajante visita 50 clientes, dos quais 5 lhe fazem comras. Qual a robabilidade de que, de oito destes 50 clientes, haja exactamente 5 clientes que façam comras ao caixeiro-viajante? Seja =8 os ossíveis clientes do caixeiro-viajante. ada um deles, oderá ao não fazer uma comra. Seja X a variável aleatória que reresenta o nº de clientes que fazem comras; os ossíveis valores da variável X são x=0,,,3,...,8. A robabilidade de fazer comras (sucesso) tem de ser estimada à custa do total dos clientes: = Pr(comra) = 5/50 = 0.30 q=pr(não fazer comra) = - = 0.70 A robabilidade de na amostra de 8 clientes exactamente 5 fazerem comras é: ! Pr( k = 5) = B( k = 5 = 8, = 0.30) = = = = 0.0 =.% 3!5! 5

6 ALGUMAS PROPRIEDADES ELEMETARES SOBRE OMBIAÇÕES 0! = 0 =!! = 0!( 0)! 0!! 0!!!( )! ( )! = ( )! =!!!( )!! 0! =!! ( )!( + )! ( )!! ( )! = ( )! K =!! = = K!( K)! ( K)!( + K)! K 6

7 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BIOMIAL EGATIVA Dado uma exeriência aleatória que consiste em realizar tantas rovas de Bernoulli indeendentes até à obtenção de r sucessos, a variável binomial negativa Y reresenta o número de fracassos ou insucessos até à ocorrência do r.ésimo sucesso. A distribuição Binomial egativa ermite estimar a robabilidade associada ao número de insucessos (reresentado ela variável aleatória Y) encontrados em diversas reetições de uma rova de Bernoulli, até ocorrer o r.ésimo sucesso (r 0). Em notação simbólica escreve-se: + f( y) = B Y r, = q y r r y y Esta distribuição de robabilidades baseia-se nos seguintes ressuostos:. A exeriência aleatória consiste numa sequência de rovas indeendentes;. ada rova é uma rocesso de Bernoulli, isto é, ode ocasionar um de dois resultados ossíveis e exclusivos (designados genericamente or sucesso, insucesso); 3. A robabilidade de cada resultado (sucesso, insucesso) mantém-se constante de rova ara rova; 4. A exeriência continua (isto é, vão-se realizando rovas sucessivas) até se obterem r 0 sucessos. Exemlo : uma sequência de lançamentos de uma moeda honesta ao ar, em que cada lançamento ode dar ara ou oroa, retende-se estimar a robabilidade de sair 3 vezes a face oroa até sair ela segunda vez ara. Seja Y a variável aleatória que quantifica o número de insucessos (neste caso, o número de coroas saídas). Pretende-se estimar a robabilidade de ocorrência de y=3 insucessos até à ocorrência do segundo sucesso (r=). Em cada um dos lançamentos (rova de Bernoulli), odem ocorrer ara (sucesso) ou oroa (insucesso), com as robabilidades: =Pr(cara)=/ q=pr(coroa)=/ que se mantêm constantes de lançamento ara lançamento. Pela distribuição Binomial egativa, a solução obtém-se: y+ r r y Pr( y = 3) = B y = 3 r =, = 0.5 = q = = = 0.5 y 3 7

8 Também se odería resolver este roblema ela distribuição Binomial. Para tal, vamos considerar os rimeiros lançamentos que conduzem ao resultado retendido: nos rimeiros 4 lançamentos, têm de ocorrer coroa e 3 caras (não interessa em que ordem); o 5º lançamento tem de dar cara (ois é a segunda cara, e nas condições do enunciado, antes de ocorrer o segundo resultado cara, obtiveram-se 3 resultados coroa, e logicamente um resultado cara). Pr(y=3)=Pr(em 4 lançamentos sairem 3 caras e coroa) Pr(coroa no 5º lançamento) A rimeira robabilidade enunciada, Pr(em 4 lançamentos sairem 3 caras e coroa), é uma robabilidade Binomial: 4 3 Pr( k = 3) = B k = 3 = 4, = 0.5 = = 0.5 A segunda robabilidade enunciada é, logicamente, Pr(coroa no 5º lançamento)=0.5 Então: 3 Pr(y=3)=Pr(em 4 lançamentos sairem 3 caras e coroa) Pr(coroa no 5º lançamento) = = = 0.5 ota: A distribuição Binomial egativa ode ser formulada de um modo distinto, mas conducente aos mesmos resultados: em vez de quantificar o número de insucessos, contabilizam-se antes o número de rovas a realizar até à ocorrência do r.ésimo sucesso. Sendo X a variável aleatória que reresenta o número de rovas de Bernoulli realizdas até à ocorrência de r sucessos, então a função de robabilidades Binomial egativa ode escrever-se como: f( x) = B X r, = q x r x r r Voltemos ao exemlo aresentado: uma sequência de lançamentos de uma moeda honeata ao ar, em que cada lanaçamento ode dar ara ou oroa, retende-se estimar a robabilidade de sair 3 vezes a face oroa até sair ela segunda vez ara. ote-se que o valor y=3 acima referido é o número de insucessos; quer dizer, ara que ocorram 3 faces oroa até à saída ela segunda vez ara, têm de ocorrem x=5 lancamentos até se refazer o resultado de r= aras (x=y+r). Usando esta segunda exressão de cálculo, e a resectiva nomenclatura, temos: x=5 (número total de rovas a realizar até obter r sucessos) r= (número de sucessos eserados; no caso, caras) 8

9 f( x= ) = B X r, = B( x= 5 r = ; = 0.5) = = q = = = 0.5 x r x r r Os arâmetros da distribuição Binomial egativa são (em que a variável aleatória considerada é Y=nº de insucessos antes de obter r sucessos): r Valor eserado ou eserança matemática: µ E( Y) r Variância: σ Var ( Y ) ( ) ( ) Se em vez da variável aleatória Y definida atrás, se considerar a variável aleatória X=nº de rovas até obter r sucessos, os arâmetros desta variável Binomial egativa são: Valor eserado ou eserança matemática: E( X) µ r r Variância: σ Var ( X ) ( ) Exemlo : Um médico ediatra retende formar um gruo de 5 casais à esera do rimeiro filho, a fim de articiarem num regime de rearação ara o arto. Seja =P a robabilidade de que um casal, seleccionado ao acaso dentro dos casais seus clientes à esera do º filho, aceite articiar no rograma. Se =0., qual a robabilidade de que o médico tenha de erguntar a 5 casais se concordam em articiar, até conseguir formar o gruo de 5 casais retendido? Pela segunda fórmula: Seja X=nº de casais inquiridos até comletar o gruo de 5 casais. O sucesso desta exeriência aleatória é o casal aceitar articiar. Assim, x=5 e r=5. f( x= 5) = B( x= 5 r = 5; = 0.) = = q = = = x r x r r 4 Para resolver este roblema ela rimeira exressão aresentada ara a distribuição Binomial egativa, temos de definir a variável aletória que contabiliza o número de insucessos (não aceitar articiar) registados até à constituição do gruo de 5 casais. Assim, se no total foram questionados x=5 casais ara formar um gruo de r=5 casais que aceitam articiar no rograma (sucessos), então y=0 insucessos. Assim: 9

10 f( y = 0) = B y = 0 r = 5, = 0. = q = y+ r r y y = = ( k k) = ela regra = Exemlo 3: Um casal decide ter tantos filhos (meninos ou meninas) quantos os necessários até ter duas meninas. Admitindo que =0.5 (ara cada um dos filhos, é igualmente rovável que seja menino ou menina), calcule: a) Qual a robabilidade de o casal ter 4 filhos? b) Qual o número eserado de filhos até satisfazer esta condição? Para a resolução deste exemlo, vamos fixar que a variável X contabiliza o número total de filhos até satisfazer o sucesso (que é serem duas meninas). Isto é, x=4 e r=. Assim: f( x= 4) = B x= 4 r =, = 0.5 = q = = x r x r 3 a) r b) O número eserado de filhos, até que o casal tenha meninas, será logicamente o número eserado de insucessos (isto é, o número de meninos eserados até nascerem meninas, somado ao número de sucessos (número de meninas retendidas, neste caso r=). O número eserado de insucessos da variável Y (nº de meninos até nascerem meninas) é: ( ) ( 0.5) r µ Y = E( Y) = 0.5 Assim, e sendo a variável aleatória X=nº de filhos (menino ou menina) é: X r 4 µ = E X = µ + = + = Y Reare-se que o o mesmo resultado se obteria directamente, se considerarmos a variável aleatória X=nº total de filhos até o casal ter meninas: r µ X = E( X) = A variância é igual, quer consideremos a variável X ou a variável Y definidas anteriormente: ( ) r 0.5 σ = Var ( X ) = Var ( Y ) =

11 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES GEOMÉTRIA Um caso articular da distribuição Binomial egativa, quando r=, é a situação de calcular a robabilidade de terem de se realizar X rovas até se obter o rimeiro sucesso. Esta robabilidade é calculada or: x f( x) = G X, = q. que se designa or função de distribuição de robabilidades Geométrica. Exemlo: uma sequência de lançamentos de uma moeda honesta ao ar, em que cada lançamento ode dar ara ou oroa, retende-se estimar a robabilidade que a rimeira cara se obtenha no 5º lançamento. úmero de rovas até obter o rimeiro sucesso: x=5 Probabilidade de sucesso em cada rova: =0.5 4 f( x= 5) = G 5;0.5 = = Os arâmetros da distribuição Geométrica são: µ Valor eserado ou eserança matemática: E( X) Variância: σ Var ( X )

12 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES HIPERGEOMÉTRIA onsedere-se uma oulação finita constituída or elementos de dois tios alternativos, comlementares e exclusivos (or exemlo, eças defeituosas ou eças não defeituosas num rocesso de fabrico; macho ou fêmea, num lote de borergos, etc), reresentados genericamente or elementos S (de sucesso ) e F (de falha ou insucesso ). Seja M o número de elementos do tio S. estas condições, as roorções dos dois tios de elementos são resectivamente = M e ( M) q= =. Admita-se que desta oulação se retiram sucessivamente, sem reosição, (ou em bloco, que é um método equivalente à não reosição) n< elementos. Seja X a variável aleatória que reresenta o número de elementos do tio S que existem nos n elementos retirados da oulação. Esta variável X tem uma distribuição de robabilidades designada or Hiergeométrica. Os ressuostos subjacentes a esta distribuição de robabilidades são: A oulação-alvo é comosta or (finito) elementos; ada elemento ode ser caracterizado em dois estados alternativos e comlementares, genericamente sucesso (S) e insucesso (F); a oulação existem M elementos do tio S; É retirada uma amostra de n elementos, sem reosição. A diferença fundamental entre estes ressuostos e os enunciados ara a distribuição Binomial e Binomial egativa, é que agora as rovas não são de Bernoulli, já que ao fazer a extracção de n elementos, sem reosição, a robabilidade de ocorrência de cada um dos resultados ossíveis não se mantém constante de rova ara rova (a rova é a extracção de cada um dos elementos), e os resultados das várias rovas não são indeendentes. A distribuição Hiergeométrica é dada ela seguinte função de robabilidade: f( x) = Pr( X = x) = H x n, M, = Os arâmetros da distribuição Geométrica são: M M x n x n n M Valor eserado ou eserança matemática: µ = E( X). Variância: σ Var ( X ) n n.. q. ote-se que o valor médio é igual ao da distribuição Binomial; a variância da distribuição Hiergeométrica difere da variância da distribuição Binomial no factor n

13 ( n) ( ), geralmente designado or factor de correcção de oulação finita: quando é muito maior que n, o facto de não haver reosição do elementos retirados da oulação não afecta substancialmente as robabilidades associadas aos resultados das exeriências, nem tão ouco gera deendência entre tais resultados. esta situação, este factor de correcção é róximo de e a distribuição Hiergeométrica aroxima-se da binomial. Exemlo: uma caixa misturaram-se or engano arafusos defeituosos e 8 arafusos em bom estado. Se for retirada, sem reosição, uma amostra de 0 arafusos, calcule a robabilidade de nesta amostra existirem x=0,, arafusos defeituosos. Usando a notação anteriormente aresentada, temos: M = (nº de arafusos defeituosos) =0 (nº total de arafusos) n=0 (amostra de 0 arafusos a retirar da oulação) =0.0 (roorção de arafusos defeituosos) f(0) = Pr( X = 0) = H x n, M, = H 0 0,, 0 = M M x n x = n f() = Pr( X = ) = H x n, M, = H 0,, 0 = M M x n x = n f() = Pr( X = ) = H x n, M, = H 0,, 0 = M M x n x = n O valor eserado ou valor médio de arafusos defeituosos numa amostra de 0 arafusos é µ = E( X) = n. = 0 0. =, e a variância é: n 0 σ = Var ( X ) = n.. q. = =