AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA

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1 AA- AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA Introdução e conceitos básicos da teoria Prof. Roberto GIL gil@ita.br Ramal: 648 1

2 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA Objetivo: Partir das equações de Navier-Stokes ara a equação otencial linearizada: Escoamentos aerodinâmicos não estacionários são aqueles que ocorrem ao redor de coros que se movem no temo, induzindo também um movimento do fluido. Estes movimentos odem ser decomostos como em uma arcela estacionária e uma não estacionaria. A rimeira ocorre em torno da forma aerodinâmica do coro, enquanto que a segunda odem ser consideradas como equenos movimentos ao redor da condição de estado estacionário, ex., um aerofólio com a corda alinhada com um escoamento não erturbado, oscilando a equenos movimentos em arfagem.

3 O modelo matemático O modelo matemático que descreve o escoamento de um fluido contínuo, considerando a viscosidade, comressibilidade e admitindo condução de calor, em um contexto não estacionário é reresentado elas as equações de Navier-Stokes. Estas equações reresentam o comortamento de um fluido a através da derivada substancial das grandezas que caracterizam o escoamento, tais como da massa, velocidade e sua energia. A derivada substancial reresenta a variação de uma determinada roriedade de um elemento de fluido no temo simultaneamente com a variação de sua osição no esaço. A derivada substancial é fisicamente diferente da derivada da roriedade no temo na forma convencional, ois esta última derivada não leva em conta mudança de osição dos elementos de fluido no esaço. As equações de Navier-Stokes são aresentadas a seguir: Dρ Dt + ρ u= ρ Du Dt = + τ ρ DH Dt = + τ u q t 3

4 O que Navier-Stokes reresenta? Cinemática do elemento de fluido: Convecção: Rotação: 4

5 Hiótese: Fluido Newtoniano Tensões viscosas roorcionais ao gradiente de velocidade. 5

6 Fluido Newtoniano Tensões viscosas: Um fluido newtoniano é um fluido em que cada comonente da velocidade é roorcional ao gradiente de velocidade na direção normal a essa comonente. A constante de roorcionalidade é a viscosidade µ. 6

7 Tensões viscosas Em duas dimensões: 7

8 Construção do tensor de tensões Comonentes de tensão: 8

9 O que N-S reresenta cont. Vorticidade: Tensões no fluido: 9

10 E o que mais? 1

11 Outros conceitos: Derivada substancial reresenta a taxa de variação de uma roriedade do fluido assim que ele se movimenta no temo e no esaço. 11

12 O que reresenta... A divergência quantifica o esalhamento das artículas em um camo vetorial, quantifica a tendência de um camo em divergir convergir. É resultado do roduto escalar de um oerador gradiente com um camo vetorial A derivada substancial quantifica a variação de roriedades associadas a artículas de um fluido variando no temo e no esaço simultaneamente 1

13 O quer reresenta... O gradiente transforma um camo escalar em um camo vetorial, reresentando as taxas de variação de uma determinada grandeza em direções ré-estabelecidas; O rotacional reresenta a tendência de um camo rotacional em tono de ontos. Resulta do roduto vetorial de um gradiente elo camo vetorial. 13

14 Navier-Stokes τ Onde é o tensor da tensões viscosas, H é entalia total, u é vetor velocidade, é a ressão e ρ é a densidade, e q é um fluxo de calor. A derivada: D * Dt= * + t u * () () () reresenta a deriva da substancial de uma determinada quantidade. Um fato é ser observado é que tem-se 5 equações ara 15 incógnitas, 14

15 Hierarquia das Equações de dinâmica dos fluidos 15

16 Aerodinâmica não linear Equações de Navier-Stokes (NS) Direct Numerical Simulation (DNS) Large Eddy Simulation (LES) Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) Thin-Layer Aroximation 16

17 Equações de Euler Prandtl em 194 concluiu que ara número de Reynolds suficientemente grandes, os efeitos imortantes relacionados à viscosidade ermaneciam confinados em uma camada fina junto ao coro, ou seja, na camada limite. Esta hiótese é válida ara casos onde o comrimento característico dos coro é bem maior que a esessura desta camada. Desta forma as equações da Navier-Stokes odem ser reresentadas or uma forma mais simles, onde os efeitos de viscosidade odem ser desconsiderados: Du DH Dρ ρ = ρ = + ρ u= Dt Dt t Dt Esta forma é conhecida como as equações de Euler. Os termos de tensões viscosas e de fluxo de calor foram desconsiderados, uma vez que a condutividade térmica é uma função da viscosidade. 17

18 O modelo matemático Euler 1. Gás erfeito (forças intermoleculares desrezadas). Conservação da massa (continuidade) 3. Conservação da quantidade de movimento 4. Conservação da energia (escoamento adiabático) 5. Forças de camo nulas (gravitacionais, em articular) 6. Forças viscosas não significativas 18

19 Relações constitutivas: Navier-Stokes Desta forma faz-se necessário usar relações constitutivas ara resolver o roblema. Estas relações constitutivas são ara a ressão: ( 1) = ρrt= γ ei ei= CvT onde, e i é a energia interna, T a temeratura e Cv a calor esecífico volume constante. A entalia é relacionada a estas grandezas or: H h 1 u = + = ei+ ρ+ 1 u As tensões viscosas e o fluxo de calor são dados or: q = K T u u i j τ ij= µ + + µ ( u) δ x j xi 3 ij 19

20 Relações constitutivas: Euler Neste caso são necessárias somente as seguintes relações constitutivas: ( 1) = ρrt= γ ei ei= CvT onde, e i é a energia interna, T a temeratura e Cv a calor esecífico volume constante. A entalia é relacionada a estas grandezas or: H h 1 u = + = ei+ ρ+ 1 u

21 Modelo Isentróico Assumindo a hiótese que o escoamento é isentróico, isto é reversível e adiabático, ode-se resolver o sistema de equações que reresenta este tio de escoamento aenas considerando as conservação da massa e da quantidade de movimento, mas uma relação entre a ressão e a densidade dada ela cadeia isentróica: = γ ρ ρ γ γ= C Cv onde e ρ são valores de referência ara a ressão e densidade resectivamente. Fluido ode ser considerado barotróico (densidade é função aenas da ressão ou de uma constante), e o sistema de equações agora ossui cinco equações escalares e cinco incógnitas, que são as três comonentes de velocidade u, v, w, a densidade e a ressão. 1

22 Escoamento Potencial Assume que o escoamento é irrotacional (Teorema de Crocco) Escoamento irrotacional é aquele onde as artículas do fluido não rotacionam em torno de um eixo. A relação matemática -> rotacional do camo de velocidades. Ou seja : Para uma determinada função escalar φ, tem-se, que a igualdade: é verdadeira. q = conclui-se ortanto que existe esta função escalar, cujo gradiente reresenta um camo de velocidades, ou seja, E esta função é conhecida como o otencial de velocidades. ( φ) = q = φ Ver Karamcheti, 44

23 Potencial de velocidades O otencial de velocidades φ é uma função das coordenadas esaciais, onde cada uma das comonentes de velocidade do vetor velocidade total são as derivadas do otencial em cada uma das direções do sistemas de coordenadas: ˆ ˆ ˆ φ u ui vj wk iˆ φ ˆ φ = + + = + j+ kˆ= φ x y z Com a definição do otencial de velocidade ode-se reduzir ainda mais o roblema de cinco equações a cinco incógnitas ara três equações e três incógnitas. 3

24 Passos subsequentes: Redução do número de incógnitas com a introdução do otencial: Dedução da equação de Bernoulli, ou Equação de Kelvin; 4

25 Equação de Kelvin I Conhecida também como Bernoulli não estacionária. Vamos derivar este equação ois ele será emregada na dedução de uma equação função do otencial de velocidades. Momentum na forma vetorial: Du Du u ρ = = + ( u ) u= Dt Dt ρ t ρ substituindo : temos: φ t u = φ ( ) + φ φ= ρ 5

26 Equação de Kelvin II Uma vez que: ( φ φ) ( φ ) φ φ ( φ) = + e como o escoamento é irrotacional, temos: φ φ = φ φ ( ) ( ) ortanto, φ t ( φ φ) + = ρ 6

27 Equação de Kelvin III O lado direito da não está exresso em termos de um gradiente uro do otencial Usamos o Teorema de Liebnitz: (Ver Hildebrandt) ( ) B x ( ) Sabendo que: ( ) B x ( ) (, λ) d f x db da f( x, λ) dλ= dλ+ f( x, B) + f( x, A) dx x dx dx A x ρ= ρ A x ( ) Portanto, alicando o teorema temos: λ 1 = dλ+ = d ρλ ( ) ρλ ( ) ρ ρ ρ O gradiente da função densidade é uma função exlícita somente da ressão, isto é indeende de x, y e z, ortanto o seu gradiente será nulo. 7

28 Equação de Kelvin IV Substituindo: ( φ φ) φ dλ + = t ρλ ( ) ( φ φ) φ dλ + = t ρλ ( ) Equação vetorial a três comonentes, uma ara cada coordenada cartesiana (x, y e z). Desta forma ao se integrar estas equações esera-se que uma única constante resulte do rocesso de integração, uma vez que é ossível também reresenta-las na forma gradiente. 8

29 Equação de Kelvin V No entanto, a única variável que é comum às três equações é o temo, ou seja a constante resultante deverá ser elo menos uma função desta variável. O resultado da integração da Equação de Kelvin, que não deixa de ser a versão não estacionária da equação de Bernoulli: ( φ φ) φ dλ + + = F t t ρλ ( ) Onde F(t) é a constante de integração. Para avaliar o seu valor, toma-se como referência as condições de contorno de escoamento não erturbado dadas or: u = U i U x = () φ= 9

30 Equação de Kelvin VI Com as condições de contorno: ( U ) ( ) ( U ) dλ + + = F() t F() t = ρλ ou seja, nota-se que a constante de integração não é só indeendente do esaço, mas também indeende do temo; O valor rático da equação de Kelvin é que ele ermite relacionar o otencial à ressão, quando se considera a relação isentróica; Todavia ainda sim é necessário mais uma relação ara se obter uma equação única em termos do otencial de velocidade. 3

31 Equação de Kelvin VII ( φ φ) φ dλ U + + = t ρλ ( ) O valor rático desta equação é a sua relação entre o otencial à ressão, considerando como hiótese um escoamento barotróico. 31

32 Equação como função somente do otencial Vamos fazer novamente uso da equação da continuidade, Dρ + ρ( u) = aliada a condição que o escoamento é isentróico = γ γ ρ ρ Dt e que a velocidade do som é dada or: d dρ = a 3

33 Equação do Potencial Comleto I Para se obter uma equação única em termos do otencial de velocidade, vamos recorrer novamente à equação da continuidade: Dρ + ρ( u) = Dt 1 ρ u ρ ρ φ ρ + + ( u) = + + ( φ) = ρ t ρ t ρ f ( φ) d = a + = γ γ dρ ρ ρ que ode ser reescrita como: {objetivo} estamos usando a relação isentróica mais a relação ara a velocidade do som ara obtê-lo como função do otencial de velocidade. 33

34 Equação do Potencial Comleto II Multilicando o rimeiro termo ela velocidade do som, tem-se: 1 ρ 1 ρ d 1 a = = ρ t ρ t dρ ρ t derivando a equação de Kelvin com relação ao temo tem-se: ( φ φ) φ dλ U + + = t t ρλ ( ) t ( φ φ) φ dλ + + = ρλ t t t ( ) 34

35 Equação do Potencial Comleto III Usando novamente a regra de Liebnitz, tem-se: dλ t ρλ t ρλ ρ t ρ t ( ) ( ) ( ) = dλ+ dλ 1 a ρ = = t ρλ ρ t ρ t Substituindo na Equação de Kelvin derivada no temo: ( φ φ) φ a ρ + = t t ρ t ( φ φ) 1 ρ 1 φ = + ρ t a t t e assim temos o rimeiro termo da equação da continuidade escrito como uma função do otencial e da velocidade do som. 35

36 Equação do Potencial Comleto IV O segundo termo da equação de Kelvin ode ser reresentado em termos do otencial a artir da forma gradiente desta equação: ( φ φ) ( φ φ) + = + = t ρλ ( ) t φ dλ U φ dλ Sabendo que: dλ = ρλ ρ ( ) Temos: d dρ = a, = γ γ ρ ρ ( φ φ) φ 1 d a + = = ρ= ρ t ρ ρ dρ ρ ρ 1 φ ( φ φ) = + ρ a t ( ) ρλ 36

37 Equação do Potencial Comleto V Finalmente, de ois de fazer um roduto escalar entre a relação anterior e o gradiente do otencial de velocidade temos: ( φ φ) φ ρ 1 φ = φ + ρ a t 1 ( φ φ) = φ ( φ) φ + a t A equação do otencial comleto é finalmente obtida substituindo a relação acima, mais a seguinte relação: ( φ φ) 1 ρ 1 φ = + ρ t a t t... 37

38 Equação do Potencial Comleto VI...na equação da continuidade: 1 ρ ρ φ ρ t ρ ara se obter: + + ( φ) = ρ φ ρ + + ( φ) = t ρ 1 φ ( φ φ) ( φ φ) φ φ ( φ) φ = a t t t Equação do Potencial Comleto ( φ φ) 1 φ φ + ( φ φ) + φ = a t t 38

39 Equação do Potencial Comleto VII A equação do otencial comleto é deendente do otencial e da velocidade do som. A forma de relacionar a velocidade do som ao otencial ode ser feita emregando a equação de Kelvin, em conjunto com a relação isentróica: ( φ φ) ρ φ dλ γ ( ) γ γ ( γ ) + = = ρ dρ= ρ t ρλ ( ) ρ ρ γ 1 γ γ ρ ρ ρ Considere: a = γ ρ γ ρ ( γ 1) Chegando a: φ t ( φ φ) a a γ 1 Página 18 notas a mão, derivar no quadro + = relação entre o otencial e a velocidade do som do esc. não erturbado 39

40 Equação do Potencial Comleto VIII Equação de Kelvin modificada: φ t ( φ φ) a a γ 1 + = Com esta relação ode-se escrever a equação do otencial comleto como uma função exclusivamente do otencial; É um rocesso comlexo, e no momento não é necessário, uma vez que o róximo asso será a linearização da Equação do Potencial Comleto. 4

41 Equação do Potencial Comleto IX A equação do otencial comleto, na forma aresentada anteriormente é não linear, ou seja oderia reresentar fenômenos não lineares; Entretanto, o otencial é uma função harmônica, ou seja tem derivadas contínuas dentro de um domínio; Porém uma não linearidade tal como o choque ode ser considerado uma descontinuidade no domínio, e a riori a teoria do otencial aerodinâmico falharia. Este assunto ainda é motivo de discussão; ode-se usar o otencial ara modelar um roblema transônico, onde eu tenho a resença de descontinuidades tal como as ondas de choque? 41