Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais

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1 Ca. 7. Princíio dos trabalhos virtais 1. Energia de deformação interna 1.1 Definição e ressostos adotados 1.2 Densidade de energia de deformação interna 1.3 Caso articlar: Lei constittiva é reresentada ela recta 1.4 Energia de deformação interna 2. Existência da solção do roblema de elasticidade linear 3. Unicidade da solção do roblema de elasticidade linear 4. Energia otencial 5. Princíios variacionais 6. Princíio dos trabalhos virtais 6.1 Princíio dos deslocamentos virtais 6.2 Princíio das forças (tensões) virtais 7. Relação entre o Princíio dos trabalhos virtais e os Princíios variacionais

2 1. Energia de deformação interna 1.1 Definição e ressostos adotados Neste caítlo adotar-se-ão os segintes ressostos: 1. Comortamento do material erfeitamente elástico 2. Lento e gradal amento das forças alicadas (carregamento mecânico) 3. Camo de temeratra mantém-se constante (rocesso de deformação adiabático) O segndo ressosto serve ara evitar os efeitos dinâmicos. A energia de deformação interna, corresonde à energia acmlada no coro elástico devido ao trabalho das forças alicadas. Usa-se o termo acmlada, orqe no caso de elasticidade erfeita, deois de remover as cargas, o meio contíno volta ao se estado inicial com a libertação desta energia, ossindo no final deste rocesso a energia de deformação no valor igal como antes de alicação de cargas. A energia de deformação interna ode chamar-se, energia otencial elástica o energia otencial das forças internas. Sendo a energia otencial, é reciso estabelecer ara a sa definição o nível zero, qe se chama o estado natral, e habitalmente corresonde ao estado do coro sem cargas, sem tensões e deformações. 1.2 Densidade de energia de deformação interna Em rimeiro lgar, define-se a densidade de energia de deformação interna. A alavra densidade neste contexto significa, or nidade de volme. Esta calcla-se de acordo com o gráfico em baixo. No caso da lei constittiva não linear e deformações térmicas nlas, o gráfico qe reresenta a lei constittiva começa da origem, e reresenta-se or ma crva. Assme-se qe o carregamento rovoca m estado cjo nível final de tensões e de deformações é e energia acmlada ao longo do rocesso de carregamento e qe corresonde ao trabalho das forças internas, é dada or:. A

3 W 0 d O seja, o trabalho elementar nm estado intermédio cjo nível de tensão é,é dado or d. Os trabalhos elementares têm qe se somar, o qe corresonde à integração e à forma final mostrada na eqação acima. Nota-se qe o cálclo oder-se-ia efectar de modo semelhante, considerado como o trabalho elementar a mltilicação d o seja, o trabalho de m dado nível de deformações nm incremento de tensão. Neste caso, a soma dos trabalhos elementares dava W* 0 d Qe se chama, a densidade de energia de deformação comlementar. De acordo com a figra, ode-se conclir qe a densidade W corresonde à área do gráfico abaixo da crva constittiva, e W * à área acima. Nota-se qe os valores, W e W * no caso da lei constittiva não linear, não são igais. Salienta-se qe ara a entidade W * sa-se o adjectivo comlementar, no entanto, não existe nenhma alavra articlar qe destaqe W. A transformação de Legendre confirma qe, W W* o seja, ao rectânglo comleto. Nota-se no entanto qe esta relação é valida em 3D e o gráfico da figra reresenta ma simlificação do comortamento nidimensional, o relação entre as medidas de tensão dadas no Caítlo 5. A transformação de Legendre costma-se aresentar sem a barra qe designa o estado final, o seja W W* As definições acima ermitem estabelecer as relações constittivas nma forma mais geral, válida ara as leis não-lineares. W e W * 1.3 Caso articlar: Lei constittiva é reresentada ela recta Assme-se qe existam deformações iniciais de origem térmica, e a lei constittiva é reresentada ela recta. O gráfico corresondente mostra-se na figra ao lado.

4 Neste caso simles, ode-se verificar a validade das relações W * W. Para isso, a densidade de energia de deformação tem qe se exrimir em fnção de deformação, e a densidade de energia de deformação comlementar em fnção de tensão. De acordo com a figra: W 1 E o seja W* o seja W C C E D W * D Assmindo qe não há deformações iniciais térmicas, as densidades de energias são igais, o seja, W W*. Como isso reresenta m dos casos mais comns, costma-se às vezes omitir a 1 diferença entre W e W *,e diz-se simlesmente W W*. Mais correctamente: 2 e W 1 1 C o seja, é forma qadrática em fnção de deformação; W* D é forma qadrática em fnção de tensão Energia de deformação interna A energia de deformação interna, calcla-se sando a densidade de energia ela integração sobre o volme do meio contíno. Novamente distingem-se as das formas: U i Wd energia de deformação interna U i * W * d energia de deformação interna comlementar.

5 2. Existência da solção do roblema de elasticidade linear Para assegrar a existência da solção do roblema de elasticidade, no caso de elasticidade linear, é necessário qe seja satisfeito: 1 W W* 0 o seja, as formas qadráticas definidas anteriormente têm qe ser 2 ositivamente definidas (elíticas), o seja, o determinante da matriz de rigidez (e conseqentemente de flexibilidade) tem qe ser ositivo o nlo. 3. Unicidade da solção do roblema de elasticidade linear 1 * 0. 2 Para assegrar a solção única, é reciso qe, W W Prova: Assme-se qe existam das solções distintas do mesmo roblema de elasticidade linear. O seja e verifica-se no interior qe, 2 2, e na fronteira 1 0, e na fronteira t 1 0, S 1 C S t 2 0, 2 2 C, 1 2 Define-se o camo * Para este camo ode se definir: 1 f 0 2 f 0

6 * * e também * C * C O novo camo de tensão verifica as eqações de eqilíbrio homogéneas: f f * 0 e condições de fronteira homogéneas * 0 na S t * t t 0 na S e or isso, os camos * corresondem a ma solção do roblema homogéneo. Assim * * 0. Deriva-se em segida: * * * ˆ * * * * * S S d n ds d t ds Na rimeira igaldade da relação acima, so-se o teorema de Claeyron, qe é ma extensão da integração or artes ara 3D. * * * * * * S S S t ds t ds t ds mas o camo * é nlo na S e t * na S. Isso imlica qe qe * * 0 tem qe se conclir qe * * 0 o seja 1 2 e Aenas no caso em qe 1 2. S Ø ode acontecer qe * * d 0.isto em qalqer onto do coro, 1 2 não imlica 1 2 e ode haver infinitas solções qe diferem entre si aenas elo movimento do coro rígido, mas o camo de tensão e de deformação é igal. Qando S Ø existe aenas ma única solção do roblema de elasticidade linear. oltando ao teorema de Claeyron, nota-se qe este não reresenta nenhma relação mecânica mas tem a sa base ramente matemática; às vezes chama-se também teorema de Green e corresonde a ma extensão da integração or artes em 3D:

7 ˆ tds f d s d d n ds d s aenas a última linha envolve a definição do vector das tensões (comonentes cartesianas) e as eqações de eqilíbrio. Recorda-se a forma da integração or artes: dg x b a, b a a, b df x f x dx f x g x g x dx dx dx A corresondência verifica-se entre o intervalo em 1D e o domínio (o volme do coro ) em 3D; entre a fronteira do intervalo (ontos a e b ) e a serfície do domínio S. O efeito da normal exterior à serfície não é mito óbvio em 1D, mas é esse efeito qe casa o valor negativo no limite inferior do intervalo. Qando ma das fnções é identicamente igal a 1, f 1, o teorema é conhecido com o teorema de divergência. s v d n v ds 4. Energia otencial A energia otencial total corresonde à soma da energia otencial das forças externas e internas. A energia otencial das forças internas foi introdzida nas secções anteriores. Sabe-se da discilina de Dinâmica do coro rígido qe a energia otencial das forças externas eqivale ao negativo do trabalho mecânico no sistema conservativo. Define-se A energia otencial das forças externas, o seja, das forças alicadas na forma de carregamento na forma de forças de volme f e de serfície 0 S L f d ds a integração efecta-se elo volme comleto, o seja, sobre o volme onde as cargas são alicadas, e ela arte de serfície S onde são alicadas as forças de serfície. : A energia otencial comlementar das forças exteriores corresonde or isso ao comlemento, o seja, ao negativo do trabalho do vector das tensões sobre deslocamentos imostos: 0 L* t ds S 0

8 Em resmo, a energia otencial total corresonde a: 0 S i U L W d f d ds e a energia otencial comlementar total 0 S i * U * L * W * d t ds No caso da energia otencial, nota-se qe os deslocamentos e deformações tomam a osição da variável, o seja, do camo incógnito. Por isso, reresenta m fncional e define-se Camo de deslocamento cinematicamente admissível: é cada camo de deslocamento qe verifica as segintes condições: 1. é contíno e as derivadas são contínas em trechos 2. satisfaz as condições de fronteira cinemáticas (geométricas) 3. o camo de deformações admissíveis calcla-se via eqações deformação-deslocamento A condição 3. faz arte da definição, no entanto não está a indzir nenhma restrição ao camo analisado. No caso da energia otencial comlementar, as tensões tomam a osição da variável, o seja do camo incógnito. Por isso * reresenta m fncional e define-se Camo de tensão estaticamente admissível: é cada camo de tensão qe verifica as segintes condições: 1. é contíno e as derivadas são contínas em trechos 2. satisfazem as condições de fronteira estáticas 3. satisfazem as condições de eqilíbrio Nota-se qe a exigência da continidade está significativamente redzida comarando com a formlação clássica. Relativamente aos deslocamentos, a rimeira derivada é necessária ara determinar a deformação. É ossível considerar deformações contínas em artes, orqe o integral qe define a energia otencial ainda está definido. Relativamente às tensões, a rimeira derivada é necessária nas eqações de eqilíbrio.

9 5. Princíios variacionais Princíio de Lagrange Do conjnto de todos os camos de deslocamentos cinematicamente admissíveis, ocorre qe o mesmo fornece ao fncional de energia otencial o valor mínimo. Princíio de Castigliano Do conjnto de todos os camos de tensões estaticamente admissíveis, ocorre qe o mesmo fornece ao fncional de energia otencial comlementar * o valor mínimo. 6. Princíio dos trabalhos virtais Neste contexto, a alavra virtal significa não real e não tem nada a ver com o facto de reresentar entidade física, infinitesimal o finita. oltando ao teorema de Claeyron, vê se qe: 0 0 s s d t ds ds f d ara todos os camos de deslocamentos cinematicamente admissíveis e todos os camos de tensão estaticamente admissíveis. É imortante salientar qe neste caso, as tensões e as deformações não têm rigorosamente nenhma ligação entre si. E or isso a eqação exrime trabalho virtal, o seja, não real. A eqação acima, reresenta o rincíio dos trabalhos virtais em alavras: ara todos os camos de deslocamentos cinematicamente admissíveis e todos os camos de tensão estaticamente admissíveis, o trabalho virtal das forças internas eqivale ao trabalho virtal das forças externas. Este rincíio na sa forma, formlação geral não se sa mito orqe tiliza os dois camos como virtais. Usa-se mais nas sas das formas distintas. É reciso atribir a m dos camos a roriedade de camo real, e deixar o otro na fnção de camo virtal. 6.1 Princíio dos deslocamentos virtais Assme-se o camo de tensão real e o camo de deslocamentos virtal na forma onde Neste caso: é real. 0 em S e 0 em S e, o seja

10 e 0 em S Escrevendo o P ara os camos e e deois ara e S d f d ds t ds 0 S S S d f d ds t ds e sbtraindo as das eqações: 0 S d f d ds obtivemos o rincíio dos deslocamentos virtais. Nota-se qe o camo tem qe verificar as condições de fronteiras cinemáticas homogéneas. 6.2 Princíio das forças (tensões) virtais al como no Caítlo 6, odemos ver qe em vez de tensões sa-se habitalmente a alavra forças. Assme-se o camo de deslocamentos real e o camo de tensões virtal na forma onde Neste caso: é real. t 0 em S e f t t 0 em 0 e t 0 0 f 0 S e em S, o seja Escrevendo o P ara os camos e e deois ara e 0 0 S S d f d ds t t ds 0 0 S S d f d ds t ds

11 e sbtraindo as das eqações: 0 S d t ds obtivemos o rincíio das forças virtais. Nota-se qe o camo tem qe verificar as condições de fronteiras estáticas homogéneas e as eqações de eqilíbrio também homogéneas, o seja, com as forças de volme nlas. É reciso salientar qe vlgarmente sa-se semre o rincíio dos trabalhos virtais (P), sem a distinção em PD e PF. Por exemlo, na Dinâmica dos coros rígidos falo-se em P. Neste caso, não havendo deformações, a arte esqerda da eqação é nla. Na arte direita assmiram-se tensões reais (na forma de reacções externas e internas) e deslocamentos virtais alicados a m mecanismo com m gra de liberdade cinemática. O objectivo era calclar ma das reacções. Para simlificação do cálclo, assmiram-se os deslocamentos virtais na forma infinitesimal. isto qe o movimento de m mecanismo com m gra de liberdade cinemática é ossível descrever sando m arâmetro, era ossível testar todos os camos de deslocamento virtal. 7. Relação entre o Princíio dos trabalhos virtais e os Princíios variacionais Princíio de Lagrange 0 S i U L W d f d ds Foi dito qe o camo de deslocamento real fornece ao fncional o valor mínimo, o seja as variações nlas, 0. W S 0 d f d 0dS 0 S d f d ds A última eqação corresonde ao rincíio dos deslocamentos virtais. Princíio de Castigliano 0 S i * U * L * W * d t ds Foi dito qe o camo de tensão real fornece ao fncional o valor mínimo, o seja as variações nlas, * 0.

12 W * * S 0 d t 0dS 0 S d t ds A última eqação corresonde ao rincíio das forças virtais.