2 - ELEMENTOS FINITOS DE BARRA ARTICULADA. CONCEITOS BÁSICOS

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1 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo - EEMETOS FIITOS DE BARRA ARTICUADA. COCEITOS BÁSICOS. - Introdção este capítlo o método dos elementos finitos (MEF vai ser aplicado a estrtras discretizadas por elementos de barra biarticlada, de e as treliças são eemplo. a Figra. representa-se ma treliça bidimensional. Se o se peso próprio for desprezado, estas barras apenas ficam sbmetidas a esforços aiais, pelo e estas barras apenas sofrem etensões segndo o se eio, isto é, todos os pontos de ma secção da barra sofrem o mesmo deslocamento, paralelo ao eio da barra. 4 F i, j força aplicada no nó j segndo o eio i H F, F, 5 F, 5 Figra. - Treliça plana.. - Barra biarticlada sbmetida a esforços aiais Considere-se a barra de comprimento, secção transversal A, constitída por material com módlo de elasticidade longitdinal E, sbmetida a forças distríbidas por nidade de comprimento segndo o eio da barra,, e solicitada por m conjnto de forças aplicadas em pontos do eio da barra segndo a sa direcção, i. Este conjnto de forças introdz etensões na barra segndo a direcção do se eio. Joaim Barros.

2 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo S, Secção SS F Fi S F m Área A i, F, i F i m F, m m, S S' S S' S δ S Figra. - Barra biarticlada sbmetida a forças aiais S S Assim, se as secções S e S sofrerem deslocamentos e ocorrida no elemento S S de comprimento d é, respectivamente, a etensão d S S ε (. d d pelo e segndo a lei de Hooke desenvolve-se a seginte tensão d E ε E σ. (. d Segndo o princípio dos trabalhos virtais (Barros, m corpo está em eilíbrio ando o trabalho interno ( δw int é igal ao trabalho eterno ( δw et realizado drante a deformação virtal desse corpo. Assim, no caso da barra em estdo obtém-se δw int δw T T δε σ dv δ d V i et m δ, i, i (.a em e δ e δε são o deslocamento e a etensão virtal de m ponto do eio da barra, segndo, δ, i é o deslocamento virtal do ponto de aplicação da força, i, V é o volme da barra e o se comprimento. Dado e em (.a as grandezas envolvidas são escalares, o símbolo de transposta pode ser retirado ficando, Joaim Barros.

3 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo m δ, i i σ dv δ d V δε. (.b O integral ao volme da barra em (.b pode ser convertido em integral ao comprimento da barra dado e, i dv da d (.4 em e A é a área da secção transversal da barra. Assim, sbstitindo (. e (.4 em (.b e integrando na secção da barra obtém-se, m δ, i i δε E ε da d δ d A m δ, i i ε d δ d δε., e satisfaça (.5 e as condições de ligação da barra ao eterior (condições cinemáticas. Por intermédio do método dos elementos finitos pode-se obter m campo de deslocamentos aproimado do real e satisfaça simltaneamente a relação (.5 e as condições cinemáticas. Assim, considere-se e os deslocamentos ao longo de m elemento de n nós pode ser representado pela fnção polinomial seginte, O eilíbrio da barra passa pela determinação do campo de deslocamentos, ( i, i, i (.5 n i ( a a a... a a. (.6 As variáveis a i com i,, n dependem dos valores dos deslocamentos nos pontos nodais do elemento, ( e, i, em e (e significa e a grandeza é relativa ao elemento. Assim, as variáveis a i são determinadas resolvendo o sistema de n eações e se obtém sbstitindo em (.6 ( pelo valor e assme nos n pontos nodais do elemento. ote-se e a epressão (.6 pode ser convertida na seginte: n n i n,,... n, n i ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( ( e ( e [ (... ( ] ( e ( e U n ( e,... ( e, n i, i (.7 Joaim Barros.

4 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo em e ( e i ( c/ i,,n são fnções polinomiais de interpolação no domínio do elemento, designadas de fnções de forma do elemento na nomenclatra do MEF, e ( e,i c/ i,,n são os deslocamentos dos i nós do elemento. A fnção de forma e i ( denomina-se de fnção de forma do nó i, dado interpolar os deslocamentos correspondentes ao nó i, dentro do elemento. Analisando (.7 constata-se e e i ( assme o valor nitário no nó i e nlo nos restantes nós. Sbstitindo (.7 em (.5 e resolvendo os integrais obtêm-se as eações de eilíbrio da barra e permitem obter os deslocamentos dos nós da barra, ( e ( e ( e k U (.8 em e k e, e e U e são a matriz de rigidez da barra, o vector das forças nodais eivalentes à acção actante na barra e o vector dos deslocamentos dos nós da barra, respectivamente. Se a barra for discretizada por diversos elementos, determina-se a matriz de rigidez e o vector das forças nodais eivalentes de cada barra e efecta-se o se espalhamento na matriz de rigidez e no vector solicitação da estrtra, K ( E e E. Resolvendo o sistema de eações e define o eilíbrio dos nós da estrtra, ( E ( E ( E K U, (.9 determinam-se os deslocamentos dos pontos nodais da estrtra, U E.. - Barra biarticlada de secção constante. Discretização nm elemento linear A barra biarticlada de secção constante representada na Figra.a vai ser discretizada por m elemento finito de dois nós (Figra.b. S S, Secção SS Área A (, ( (,, Figra. Barra biarticlada discretizada por m elemento finito de dois nós. Joaim Barros.4

5 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo O campo de deslocamentos no interior do elemento é definido a partir dos deslocamentos nos nós do elemento. Este campo apresenta ma variação linear representado pela seginte epressão ( a a. (. Para determinar as variáveis a e a sbstiti-se em (. e da barra, obtendo-se pelos deslocamentos nos nós (,, a a, ( ( ( a a ( ( ( (,,, (. em e o sobreíndice ( representa a nmeração da barra, neste caso a barra e o sbíndice a nmeração do nó do elemento. Em (. e representam os deslocamentos dos nós e ( (, da barra, enanto, e, as sas coordenadas. Resolvendo o sistema de eações (. obtém-se,,,, a ( (,,. (. ( (,, a ( ( Sbstitindo (. em (. obtém-se:,,, ( ( (. (, (, em e ( ( ( (, ( (, ( ( ( (,,,, (.4 denominam-se de fnções de forma do elemento de barra de dois nós. Se as anteriores fnções de forma assmem a configração seginte ( e,, Joaim Barros.5

6 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ( ( ( ( ( ( ( ( (. (.5 a Figra.4 representam-se estas fnções de forma. ( ( ( ( ( ( ( Figra.4 - Fnções de forma do elemento de barra biarticlada de dois nós. ( ( Assim, ( assme o valor nitário no nó, valor nlo no nó e varia linearmente no interior do elemento. Para aligeirar a simbologia das epressões segintes, ( (, ( ( sbstitídos por, e. ( ( e ( ( ( serão Sbstitindo (. na relação e determina a etensão nm determinado ponto do eio de barra, d ε (.6 d obtém-se: Tendo em atenção (.5, d ( d ( ε. (.7,, d d Joaim Barros.6

7 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo d d ( d d ( ( (.8 pelo e (.7 se pode converter na relação seginte ε ( ( ( (, (,, ( (, (.9 revelando e a etensão é constante no elemento. a Figra.5 representa-se o diagrama de corpo livre da barra representada na Figra.. (, (, (, (, ( (, (, Figra.5 - Diagrama de corpo livre de m elemento de barra biarticlada de dois nós., A aplicação do PTV a esta barra condz à seginte relação: (, (, ( ( ( ( ( δε ε d δ d δ,, δ,, (. ( ( em e δ e δ são os deslocamentos virtais dos nós e e, (, aplicadas nos nós (reacção e (acção. Tendo em atenção (., ( e, ( são as forças, δ (. δ, δ, e considerando (.6 e (.7 obtém-se, ( δ d d ( d ( δε δ δ. (.,, d d d Joaim Barros.7

8 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo Sbstitindo (. e (. em (. obtém-se: (, (, (, (, ( d d ( ( ( ( ( ( [ δ δ ] δ,, d d, δ (, d ( δ ( d d ( ( ( ( ( (,,, δ d d,, (, d (. e pode ser reordenada da forma seginte, δ δ (, (, (, (, (, (, d d d d ( ( d d ( ( d d Como os deslocamentos virtais aler valor de (, δ e devam ser nlas, isto é, (, (, (, d d ( ( ( ( d d, δ e d d d d, (, (, d d ( ( ( ( ( ( d, ( ( d,.(.4 δ são arbitrários, o cmprimento de (.4 para δ obriga a e as epressões entre parêntesis rectos em (.4 (, (, (, (, d d d d ( ( ( ( d d d d (, (, d d d d ( ( d d d d (, (, d d (, (, (, (, ( ( ( ( d d,,. (.5 Em forma matricial as eações (.5 assmem a seginte configração: ( ( ( ( d d d d ( ( (, d d d d,,, ( ( ( ( d ( ( ( d, d, d d d, (.6, d d d d o, de forma mais condensada, o ainda, k U P (.7a k U (.7b Joaim Barros.8

9 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo em e K é matriz de rigidez da barra e, U T (, ( ( [ ] ; [ ] ( ( (,,, T d ; [ ] T ( ( ( P,, (.8 são, respectivamente, o vector dos deslocamentos dos pontos nodais da barra, o vector das forças nodais eivalentes a forças distribídas por nidade de comprimento da barra e o vector das forças aplicadas directamente nos nós da barra. O coeficiente da matriz de rigidez associado aos nós genéticos i e j, intermédio da seginte relação, k ij, obtém-se por ( (, d d i j k ij d. (.9, d d Por sa vez, a força no nó i correspondente às forças distribídas por nidade de comprimento ao longo da barra,, obtém-se da seginte forma, ( (, ( d. (., i (, i Se o módlo de elasticidade e a secção da barra forem constantes ao longo da barra, o cálclo dos integrais de (.6 condz às relações segintes, k ( ; ( (. e são coincidentes com as obtidas na tradicional teoria das estrtras (Barros et al. 996, dado e em ambas as teorias se admite ma distribição linear de deslocamentos no elemento. Como a estrtra em análise é constitida por m único elemento, a nmeração local dos nós das barras coincide com a nmeração global, tal como se representa na Figra.6. Assim, ( (,, e,, pelo e o vector dos deslocamentos incógnita da estrtra coincide com os deslocamentos dos nós da barra. Joaim Barros.9

10 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo (, R, meração global (, (, F (, meração local Figra.6 - meração local verss global. (, Pela mesma razão a matriz de rigidez da estrtra coincide com a matriz de rigidez do ( elemento ( K k E e o vector das forças nodais eivalentes às acções e actam na estrtra coincide com o vector das forças nodais eivalentes às acções e actam na barra ( E, pelo e (.7 coincide com a relação seginte, ( E ( E ( E K U (.a o,, R F (.b em e ( R é a reacção no nó e ( F é a força e acta no nó. Dado e o nó não sofre deslocamentos, o sistema (. tem das incógnitas, o deslocamento do nó,,, e a reacção no nó, R. Resolvendo (.b obtém-se R, F ( F. (. Para determinar as etensões e as tensões/esforços nma barra da estrtra é necessário obter os deslocamentos dos nós dessa barra, a partir dos deslocamentos nos nós da estrtra, calclados no passo anterior. o presente eemplo, ( (,, ;,, F (.4 e sbstitídos em (.9 determina a etensão na barra (note-se e, Joaim Barros.

11 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo F ε ( ( F. (.5 O esforço aial obtém-se pela aplicação da lei Hooke, ( ( ( F ε. (.6 A solção eacta para este problema é a seginte, ε ( F [( F ( ]. (.7 a Figra.7 os resltados obtidos com a formlação eacta e com a formlação aproimada do MEF são comparados para o caso de ma barra de secção constante, sbmetida a forças niformemente distribídas ao longo do eio da barra e discretizadas por m elemento de barra de dois nós. Da análise desta figra constata-se e os deslocamentos nas etremidades da barra (nos nós são coincidentes nas das formlações. Contdo, no interior do elemento as das formlações condzem a resltados diferentes, dado e, com o MEF e com m único elemento a discretizar a barra obtém-se ma distribição linear de deslocamentos no interior do elemento enanto e, com a formlação eacta, o campo de deslocamentos define-se por meio de m polinómio de segndo gra. k/m, E, A EA.5 eacta eacta MEF (m elemento MEF (m elemento Figra.7 - Barra de secção constante sbmetida a forças niformemente distribídas ao longo do eio da barra. Solção eacta e aproimada tilizando m elemento de barra de dois nós. Joaim Barros.

12 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo.4 - Barra biarticlada de secção constante. Discretização em dois elementos lineares. A barra da Figra. vais ser discretizada por dois elementos de dois nós, tal como se representa na Figra.8. esta Figra indica-se ainda a nmeração local e global dos nós da estrtra e representa-se as fnções de forma dos elementos. R F, Área A,,, meração Global (, ( ( (, ( (,, meração ocal, (, ( ( ( ( ( ( ( /, (, (, ( ( ( ( ( ( /, (, Coordenadas globais Coordenadas locais Fnções de forma do elemento Fnções de forma do elemento Figra.8 - Barra de secção constante sbmetida a forças distribídas niformemente ao longo do se eio, e discretizada por dois elementos finitos de dois nós. ( Os deslocamento no interior de cada elemento obtém-se por intermédio das eações segintes, Joaim Barros.

13 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo Elemento Elemento ( ( ( ( (.8a,, ( ( ( ( (.8b,, em e as fnções de forma representam-se por fnções igais às determinadas na secção., pelo e, Elemento (, (.9a ( (,, (, ( ( (.9b,, Elemento, (.9c,,,. (.9d,, As derivadas das fnções de forma tomarão a configração seginte, Elemento Elemento d d ( (.4a d (.4b d d d ( (.4c Joaim Barros.

14 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo d d. (.4d Assim, a etensão nm ponto aler de cada elemento obtém-se por intermédio das relações segintes Elemento Elemento ( d d ( d ( ε (.4a,, d d d d d d ε. (.4b,, d d d Desenvolvendo procedimentos similares aos efectados na secção. obtém-se, para cada barra, as segintes eações de eilíbrio: k U k U P P (barra (barra (.4a (.4b em e k (, ( d d d d d ( ( ( ( d (.4a, d d d d U d d d ( ( ( [ ] T,, d d d d (.4b (, T ( [ ] (, ( ( d (.4c [ ] T ( ( ( P (.4d,, Joaim Barros.4

15 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo k, ( d d d d d ( d (.4e, d d d d U d d d [ ] T,, d d d d (.4f ( (, T [ ], d (.4g [ ] T P (.4h, são, respectivamente, as matrizes de rigidez, os vectores dos deslocamentos dos nós, os vectores das forças nodais eivalentes às forças distribídas e os vectores das forças aplicadas nos nós dos elementos e. As forças distribídas nos elementos e ( designaram-se por e, respectivamente. Considere-se e as barras têm secção constante de área A e módlo de elasticidade E e estão sbmetidas a carga niformemente distribída,. Resolvendo os integrais e srgem em (.4 e sbstitindo o resltado em (.4 obtém-se, Elemento, (, (,, (, (.44a Elemento,,,. (.44b, a tabela. apresenta-se a correspondência entre as variáveis locais e as variáveis globais. adro. - Variáveis locais e globais do eemplo da Figra.8. Elementos ós Coordenadas Deslocamento local global local global local global (,,,, (,,,,,,,,,,,, Joaim Barros.5

16 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo Joaim Barros.6 Efectando nas epressões (.44 a correspondência estabelecida no adro. e tendo em conta as segintes eações de eilíbrio nos pontos nodais de estrtra, ó : R ó : (.45 ó : F obtém-se, ó : [ ] R,, (.46a ó : ( [ ] [ ],,,, (.46b ó : [ ] F,, (.46c Organizando (.46 em forma matricial obtém-se: ( ( ( ( ( F R,,, (.47 e constiti o sistema de eações de eilíbrio da estrtra, e em notação mais condensada se define por: E E E U K. (.48 O sistema de eações (.47 poderia ter sido obtido pela técnica de espalhamento. Assim, após se ter calclado a matriz de rigidez e o vector das forças nodais eivalentes de cada ma das barras e constitem a estrtra, proceder-se-ia ao se espalhamento na matriz de rigidez e no vector das forças nodais eivalentes da estrtra. Este procedimento está esematicamente representado na Figra.9. Assim, como a barra tem como pontos nodais os nós e, a sa matriz de rigidez é espalhada nas céllas definidas por estes nós. Por sa vez, a barra é caracterizada pelos nós e, pelo e a sa matriz de rigidez fica espalhada nas céllas definidas por estes nós.

17 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo nó nó nó nó nó nó ( ( EA EA ( (, ( EA EA EA EA, EA EA, ( E U ( E K ( E Figra.9 - Espalhamento das matrizes de rigidez e dos vectores solicitação das barras da estrtra da figra.8, na matriz de rigidez e no vector solicitação da estrtra. Dado e ( (, resltados, ( / e a resolção de (.47 condz aos segintes, R, ;, ;, ( F F 4 ( F. (.49 Conhecidos os deslocamentos e tendo em conta a correspondência entre os deslocamentos locais e globais definida no adro., pode-se obter as etensões e tensões/esforços nas barras da forma seginte (ver eações (.4 e (.4, Elemento ( ( ( d F ( d ( ε ( ( 4,,,, (.5a d d ( ( ε F 4 (.5b Elemento Joaim Barros.7

18 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo d F d ε 4,,,, (.5c d d ( ( ε F 4. (.5d a figra. os resltados obtidos com a formlação eacta e com a formlação aproimada do MEF são comparados para o caso em e a barra é discretizada por dois elementos de barra biarticlada de dois nós. Tal como no caso da barra discretizada por m elemento de barra de dois nós (ver Figra.7, constata-se e as das formlações (eacta e aproimada condzem aos mesmos resltados nos pontos nodais. Entre os nós os resltados obtidos com o MEF não coincidem com os obtidos com a formlação eacta. Contdo, os resltados são agora mais próimos dos eactos do e os obtidos com a discretização com m único elemento. Os esforços também se aproimam mais dos eactos, mas os erros são ainda significativos, maiores e os obtidos nos deslocamentos. Pode-se afirmar e os erros nas etensões e tensões/esforços são maiores e os erros nos deslocamentos dado e as etensões e tensões/esforços obtêm-se por derivação do campo de deslocamentos, e é ma fnção aproimada do campo de deslocamentos reais. Pode-se conclir ainda e o refinamento da malha, isto é, ma discretização da estrtra por intermédio de m maior número de elementos proporciona resltados mais próimos dos eactos. k/m, EA.5 E, A Solção eacta MEF ( elemento MEF ( elementos.5.5 Figra. - Barra de secção constante sbmetida a forças niformemente distribídas ao longo do eio da barra. Solção eacta e aproimada tilizando dois elementos finitos de dois nós. Joaim Barros.8

19 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo.5 - Generalização da solção com vários elementos de dois nós. Considere-se agora e a barra da Figra. é discretizada em n elementos finitos de dois nós. este caso, o estabelecimento do sistema de eações de eilíbrio da estrtra passa pelo cálclo da matriz de rigidez de cada elemento de barra, k ( e, ( e d ( e ( e ( e ( e ( e d d d d d, (.5 e e e e e, d d d d d d pelo cálclo do vector solicitação das forças nodais eivalentes à acção actante em cada elemento finito, d d d d d ( e ( e, ( e, ( e ( e ( e d, (.5 pelo espalhamento de k ( e e na matriz de rigidez da estrtra, no vector solicitação da estrtra, ( E K, e pelo espalhamento de E. A este último haverá e adicionar as forças (de acção e reacção directamente aplicadas nos pontos nodais da estrtra. Para m determinado elemento, as fnções de forma e correspondentes derivadas obtêm-se a partir das eações segintes ( e ( e ( e ( e ( e, ( e, ( e ( e ( e ( e (.5a ;,, ( e ( e,, d d ( e ; ( e. (.5b d d Se EA for constante ao longo da barra, (.5 e (.5 podem ser calclados tilizando-se as relações (.5 obtendo-se, k ( e ( e ( e ; ( e (.54 o k ( e k k ( e ( e k ( e ( e,, ( e ( e ; e k (.55 Joaim Barros.9

20 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ( e k ij em e é a força aplicada no nó i e impede este nó de se deslocar ando ao nó j é ( e aplicado m deslocamento nitário,., j Efectando o espalhamento da matriz de rigidez de cada barra na matriz de rigidez da estrtra e o espalhamento do vector solicitação de cada barra no vector solicitação da estrtra obtém-se, ( ( k k k k ( k k k ( k, n ( E ( E K U ( ( / ( / ( / ( ( k..., k...,..., ( n ( n ( n... k k k, n ( n ( n k k... ( n ( n / ( n / ( E F / F / F / Fn Fn. (.56 ote-se e no vector solicitação se incli as forças aplicadas directamente nos n pontos nodais da estrtra. as posições do vector correspondentes aos nós da estrtra ligados E ao eterior haverá ainda e adicionar as reacções..6 - Eemplos de aplicação º Eercício Analisar a barra de secção circlar variável representada na Figra. discretizada com: a m elemento; b dois elementos; c três elementos; de barra biarticlada de dois nós, de secção constante a determinar. d Sabendo e segndo a solção eacta o deslocamento na etremidade livre da barra é.788f/( EA, calcle o erro e se obtém com o método dos elementos finitos ando se discretiza a barra com m, dois o três elementos de barra. Joaim Barros.

21 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo A AA.ep(-/ F, Área A Figra. - Barra de secção circlar variável ao longo do se comprimento, sbmetida a ma carga aplicada na sa etremidade livre. Resolção a Estrtra discretizada com m elemento de barra de dois nós O elemento de barra tem secção constante igal à secção a meio vão da barra real (ver Figra.. Assim, / A A e (.57 Recorrendo a (.5 e (.5, a matriz de rigidez e o vector solicitação do elemento (igais aos da estrtra apresentam a seginte configração: / ( e k.665 (.58a ( R F (.58b em e R é a reacção no nó de ligação da barra ao eterior (nó nº. Assim, o sistema de eações de eilíbrio é o seginte:, R.665 (.59, F em e. Resolvendo (.59 obtém-se os segintes resltados F,.6487 ; R F. (.6 EA Joaim Barros.

22 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo AA.ep(-/ R, ( F,, / / Figra. - Um elemento de barra de dois nós. A solção eacta é a seginte: F F / σ e (.6a A A F e / ε (.6 E σ F F F ε. (.6 / ( d e d ( e. 788 ote-se e / e d e ( d e. (.64 Comparando (.6 com (.6 constata-se a ocorrência de m erro de 4.% e não é significativo face a ter sido somente tilizado m elemento finito na discretização da estrtra. b Estrtra discretizada com dois elementos de barra de dois nós O elemento tem secção igal à da barra real à distância / 4, pelo e (ver Figra., / 4 A A e. (.65 O elemento tem secção constante igal à da barra real à distância Figra., / 4, pelo e (ver Joaim Barros.

23 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo / 4 A A e. (.66 ( A A.ep(-/4 ( A A.ep(-/4 R, ( (, F,, /4 /4 /4 /4 Figra. - Dois elementos de barra de dois nós. As eações de eilíbrio de cada elemento são: Elemento : Elemento :.5576,, R (.67a, (.67b, F Assemblando estas eações no sistema de eações de eilíbrio da estrtra obtém-se, , R ,. ( F, Como, a resolção de (.68 condz aos resltados segintes,, F,.75 ;,.7754, ; R F (.69 pelo e o erro é de,%. c Estrtra discretizada com três elementos de barra de dois nós Os elementos, e têm secção constante igal à da barra real à distância, / e 5 / 6, respectivamente, pelo e (ver Figra.4, / 6, Joaim Barros.

24 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ( / 6 / ( 5/ 6 A A e ; A A e ; A A e. (.7 R, ( ( A A.ep(-/6 ( A A.ep(-/ ( (,, 4 ( A A.ep(-5/6 F,4, /6 /6 /6 /6 /6 /6 Figra.4 - Três elementos de barra de dois nós. As eações de eilíbrio de cada elemento são, Elemento.594,, R (.7a Elemento.896,, (.7b Elemento,.8. (.7c,4 F Assemblando estas eações no sistema de eações de eilíbrio da estrtra reslta, , R ,. ( ,.8.8,4 F Como, a resolção de (.7 condz aos segintes resltados:, Joaim Barros.4

25 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo F,4.76 ;,.5556,4 ;,.4, 4 ; R F (.7 pelo e o erro é de.5%. a Figra.5 representa-se a evolção do erro do deslocamento da etremidade livre da barra com o número de elementos e a discretizam. erro do deslocamento da etremidade (% 4.5 úmero de elementos Figra.5 - Evolção do erro do deslocamento da etremidade livre da barra da Figra. com o número de elementos e a discretizam º Eercício A barra representada na Figra.6 é constitída por m perfil HEB de aço FE6 e está sbmetida ao se peso próprio e a ma carga aplicada na sa etremidade livre. O peso específico do material da barra (γ é de 75 k/m e a área da secção transversal da barra é de m. a Discretize a barra em três elementos de barra biarticlada de dois nós com o mesmo comprimento; b Calcle a matriz de rigidez da estrtra; c Calcle o vector solicitação da estrtra; d Calcle os deslocamentos, reacções, etensões e esforços; e al o erro máimo nos deslocamentos e nos esforços ando se tiliza a formlação pelo método dos elementos finitos, sabendo e pela formlação eacta a solção é: Joaim Barros.5

26 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo p ( F p (.74 F p ( (.75 em e p é o peso próprio da barra., p m HEB F k Figra.6 Estrtra em perfil HEB de aço Fe6 sbmetida ao se peso próprio e a ma força aplicada na sa etremidade livre. Resolção: a Discretização da estrtra em elementos de nós a Figra.7 apresenta-se a estrtra discretizada em em três elementos de barra biarticlada de dois nós, com o mesmo comprimento. Joaim Barros.6

27 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo R, / / ( (,, / ( 4,4, Figra.7 Discretização em três elementos de barra biarticlada de nós. b Cálclo da matriz de rigidez da estrtra A (HEB m ; E 6 kpa ; ( m ( ( ( k k k 566. (.76 ( Efectando o espalhamento das matrizes de rigidez de cada elemento na matriz de rigidez da estrtra obtém-se, ( E K (.77 ( e c Cálclo do vector solicitação da estrtra γ 75 k/m ; A m p γ A.5856 k/m Joaim Barros.7

28 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ( p R ( ( ; p ( p ( ( ; p ( ( p ( p. (.78 F Efectando o espalhamento dos vectores solicitação de cada elemento no vector solicitação da estrtra obtém-se, ( p R ( ( p p.98 R (.79 ( ( p p F ( p F E d Cálclo dos deslocamentos, reacções, etensões e esforços Deslocamentos e reacções Os deslocamentos e as reações obtêm-se por intermédio da resolção do sistema de eações de eilíbrio da estrtra, ( E ( E ( E K U (.8 o ,,,4.98 R ( F Reorganizado este sistema da forma seginte K K ( E ( E ( E ( E f K K f ff U U ( E ( E f ( E ( E ( E R f (.8 em e ( E K incli as linhas e as colnas de interacção entre gras de liberdade livres, ( E ( E T incli as linhas e as colnas de interacção entre gras de liberdade fios, K f K f incli ( E os termos de rigidez relativos à interacção entre os gras de liberdade livres e fios, U e ( E K ff Joaim Barros.8

29 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ( E U são os vectores e inclem os gras de liberdade livres, a determinar, e dos gras de f liberdade fios (de valor nlo o imposto, como sejam os assentamentos de apoio, conhecidos, respectivamente, ( E e ( E são os vectores e englobam as forças nodais f eivalentes em correspondência com os gras de liberdade livres e fios, respectivamente, e ( E R é o vector e incli as reacções nos apoios da estrtra. Os deslocamentos livres obtém-se da primeira linha de (.8: K ( E ( E ( E ( E ( E U K f U f. (.8 Como os gras de liberdade livres são os correspondentes aos nós nº, e 4, (.8 reslta em ,,, (.84 pelo e,,, m m. (.85 m Da primeira eação de (.8 obtém-se a reacção R k. Etensões Elemento : Elemento : Elemento : d d d ε (.86 ( ( (,, d d d d d d ε (.87 ( ( (,, d d d d d d ε (.88 ( ( (,,4 d d d em e Joaim Barros.9

30 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo d d ( d d ( d d ( ( e. (.89 d d ( d d ( d d ( ( e Assim, ε ε ε ( ( ( ( ( ( (.9 Tensões σ E (.9 ε pelo e σ σ σ ( ( ( kpa 9 kpa 845 kpa (.9 Esforços pelo e σ A (.9 σ σ σ σ ( ( (.5 k.9 k. k (.94 e Erro máimo Joaim Barros.

31 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ,4 ( m 6 4 ( pelo e o erro é de aproimadamente %. º Eercício A barra representada na Figra.8 tem secção circlar variável definida pela epressão apresentada na Figra, em e Ao é a área da secção da etremidade livre da barra ( com diâmetro igal a. m. Esta barra está sbmetida, para além da acção do se peso próprio, a ma força concentrada de 5 k na sa etremidade livre. a Discretize a barra em dois elementos de dois nós; b Calcle a matriz de rigidez da estrtra; c Calcle o vector solicitação da estrtra; d Calcle os deslocamentos e a reacção. Dados: E GPa, γ 5 k/m. A, m A A -4A. /A.( / 5 k A Figra.8 - Barra de secção circlar variável sbmetida ao se peso próprio e a ma força na etremidade livre. Resolção: a Discretização da barra em dois elementos de dois nós (ver Figra.9 Joaim Barros.

32 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo /4,, ( /4 /4, ( /4, Figra.9 - Barra de secção circlar variável sbmetida ao se peso próprio e a ma força na etremidade. b Cálclo da matriz de rigidez da estrtra: π. A m Elemento k E A ( ( ( ( ( ( ( E A ( d ( ( ( ( 4 A A k E A ( ( ( ( d k ( ( ( 4 A A 4 E A 8 ( ( Joaim Barros.

33 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo Joaim Barros. ( ( ( ( 6 ( A A A E k ( ( ( ( E K ( K E ( Elemento T d A E B d A E B k ( ( ( 4 d A A A E K ( A A A A A A E k 6 7 A E k E k (.665

34 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo k (.665 E Efectando o espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrtra obtém-se, K E E c Cálclo do vector solicitação da estrtra Elemento : ( T d Fnções de forma de m elemento de barra de dois nós : (- / / ( ( ( ( ( ( γ A( d ( 4 A γ Ao A d (.7969 γ.69 Elemento : T d Joaim Barros.4

35 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo ( ( γ A( d ( γ ( 4 A 4 ( Ao A d.965 γ.78 Assim, ( E.7969 γ e E P R 5 d Cálclo dos deslocamentos e da reacção ( E ( E ( E ( E K U P ,, R 5 Resolvendo este sistema de eações de eilíbrio obtém-se:,, R 5.68 k m. m.7 Resmo das etapas de análise de ma estrtra segndo o método dos elementos finitos Os passos fndamentais e devem ser adoptados na análise de ma estrtra segndo o método dos elementos finitos são os segintes: - Discretizar a estrtra nma malha de elementos finitos ; Joaim Barros.5

36 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo - Calclar a matriz de rigidez e o vector das forças nodais eivalentes para cada elemento finito. Estas entidades são obtidas por intermédio das epressões segintes, k ( e T B D B d ( e (.96a ( e T d ( e (.96b em e, k ( e ij T B D B d ( e i j (.96c ( e i T d ( e i (.96d D (para o caso das barras biarticladas. (.69e ( d ( d B (matriz de deformação. (.69f d d - Assemblar as matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrtra, ( E (e K e E k (.97 em e e E significa assemblar entidades associadas aos elementos na entidade associada à estrtra. Assemblar os vectores das forças nodais eivalentes ás acções e actam no elemento, no vector das forças nodais eivalentes da estrtra, ( E (e e E. ( Adicionar a (E as forças de acção e reacção e actam directamente nos pontos nodais; 5- Introdzir as condições de ligação da estrtra ao eterior; 6- Resolção do sistema de eações de eilibrio: ( E ( E ( E K U ( Determinação da tensões/esforços para cada elemento da estrtra, integração Joaim Barros.6

37 Método dos elementos finitos aplicado a estrtras reticladas Capítlo U ( E ( e ( e ( e ( e ε σ σ (. ei de Hooke esforços Joaim Barros.7