Conceitos Fundamentais 1.1

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1 Conceitos Fndamentais. Capítlo Conceitos Fndamentais. Introdção Um sólido deformável sob a acção de forças eternas, deformar-se-á e no sólido desenvolver-se-ão esforços internos. Estes esforços serão em geral determinados a partir de tensões qe se especificam nm ponto o nm elemento do sólido. As Placas e as Cascas são corpos sólidos tridimensionais qe apresentam a particlaridade de serem sólidos limitados por das sperfícies, sendo a distância entre elas designada por espessra, a dimensão da espessra é mito menor qe as dimensões das sperfícies. As Placas são limitadas por sperfícies planas e as Cascas por sperfícies de crvatra variável. O facto de a espessra ser peqena qando comparada com as restantes dimensões do sólido, permite qe se introdzam simplificações na formlação dos problemas de Placas e Cascas, mas são ainda as grandezas relevantes em termos de Mecânica dos Meios Contínos qe são consideradas na formlação das teorias de Placas e Cascas. Estas grandezas são os deslocamentos, deformações e tensões. Na Mecânica dos Meios Contínos é possível considerar comportamentos do material qe são elásticos e comportamentos qe não são elásticos. Nesta abordagem das Placas e Cascas considera-se qe o comportamento do material é m comportamento homogéneo e elástico e conseqentemente as relações entre tensões e deformações são regidas pela Lei de Hooke.

2 Conceitos Fndamentais. É conveniente lembrar algns conceitos Elasticidade e Mecânica dos Sólidos antes de abordar de forma teórica e aplicada a fleão de Placas e Cascas... Deslocamentos e deformações A deformação, no âmbito das peqenas deformações, do corpo sólido é caracterizada pela etensão dos elementos lineares definidos no domínio do sólido e pela distorção entre os elementos lineares. Considere o sólido representado na figra. na forma inicial e deformada e no interior desse sólido não deformado, considere dois pontos, o ponto P definido pelo vector de posição OP com componentes i,com i, ao qal corresponde O Q P PP Q P Figra.: Sólido Tridimensional no espaço cartesiano. na configração deformada o ponto P' cjo vector de posição, OP,tem componentes, ' i,com i, e o ponto Q definido pelo vector de posição d OQ cjas componentes são i d i,com i,, ao qal corresponde o ponto Q' na configração Timoshenko, S. and N. Goodier. Theory of Elasticity. New York, McGraw-Hill Fng, Y.C., Fondations of Solid Mechanics, Prentice -Hall

3 Conceitos Fndamentais. deformada cjo vector de posição é d OQ com componentes d' i i,i, no sólido deformado. Note-se qe o sistema de eios representado na figra. é m sistema de eios cartesianos considerado para efeitos de identificação dos vectores de posição dos pontos materiais do sólido, neste sólido considero-se m vector linear, designado por PQ. O vector deslocamento, sofrido pelo ponto P do sólido da referida figra, é o vector PP o qal é designado por e cjas componentes são, i, i,. O vector representa a distância percorrida pelo ponto material entre a posição inicial e a posição instantânea sbseqente no processo de deformação correspondente à configração dita de deformada. Sendo i as componentes do vector deslocamento {,, } T, as coordenadas do ponto P', na configração deformada, podem ser determinadas a partir das coordenadas do ponto P, na configração inicial e do vector deslocamentos,, do seginte modo: ' i i i com i,,. O comprimento do vector PQ, é designado por ds e é tal qe: ( ds) di d i. sendo a repetição dos índices i sinónimo de somatório das parcelas d, d ed. O comprimento do vector P Q no sólido deformado qe corresponde ao vector, PQ,no sólido não deformado, designa-se por ds' e é tal qe: ( d s ) d' i d' i. A diferença (ds') - (ds) está relacionada com as deformações. Esta diferença pode ser calclada a partir das epressões.,. e. tendo em conta a formlação de Lagrange para a qal as coordenadas, e são independentes e identificam a posição do ponto na configração inicial do sólido. Aqela diferença é:

4 Conceitos Fndamentais.4 (ds') - (ds) Ε ij d i d j.4 sendo: E ij i j j i k i k j.5 o tensor Εij é designado por tensor das deformações de Green-Lagrange tendo sido definido por Green e St Venant. As deformações acabadas de definir são referidas à configração inicial do sólido e medidas no sistema de eios inicial. É possível proceder à definição Eleriana das deformações referindo as deformações à configração do sólido deformado o seja: ( ) ( ) Eíj i j ds - ds d d.6 onde E ij i j j i k i k j.7 este tensor é designado por tensor das deformações de Almansi o componentes "Elerianas" das deformações e foi introdzido por Cachy e Almansi. No conteto das grandes deformações são tilizados com freqência qer o tensor das deformações de Green qer o tensor das deformações Almansi. No conteto das peqenas deformações os termos de segnda ordem são eliminados tornando-se desnecessário destingir entre as deformações de Almansi e de Green, sendo então definidas as deformações lineares do seginte modo: ij i j j i.8

5 Conceitos Fndamentais.5 O tensor das deformações lineares, ij, é em Elasticidade linear tridimensional m tensor com nove componentes como se depreende das eqações.8, de significado geométrico bem definido, sendo possível estabelece-lo por considerações geométricas simples tendo em conta qe as deformações são peqenas. Este tensor também pode ser representado através de ma matriz de três por três, do seginte modo:.9 para i j, as três componentes da deformação são, e e correspondem a etensões nas três direcções dos eios coordenados. Para i j, as seis componentes da deformação são,,,, e e correspondem a ma medida das distorções e são designadas por deformações de corte. Como medida da distorção é por vezes sal considerar-se o dobro do valor definido para as deformações ij com i j, representado na epressão (.9) e designar as componentes da deformação assim definidas por distorções. Como se representa nas eqações (.9) o tensor das deformações nm ponto pode ser obtido a partir do vector deslocamentos nm ponto. O problema inverso também se coloca, conhecido o estado de deformação nm ponto proceder ao cálclo dos deslocamentos. O número de deformações independentes é seis e o número de deslocamentos é três, conseqentemente o número de eqações a integrar é sperior ao número de deslocamentos a obter, sendo necessário estabelecer condições de integrabilidade das deformações, estas condições são as chamadas condições de compatibilidade e de acordo com St. Venant são:

6 Conceitos Fndamentais.6 ij, kl kl, ij ik, jl jl, ik 0.0 Esta eqação tensorial corresponde a 8 eqações das qais só seis são relevantes, sendo as restantes o identidades o repetições qe srgem em conseqência da simetria do tensor das deformações. O tensor das deformações é m tensor simétrico, como já foi referido, nas condições em qe foi definido. A este tensor estão associadas direcções principais de deformação e deformações principais. As direcções principais são definidas por forma a serem nlas as distorções e só eistirem etensões. A determinação das deformações principais é feita impondo qe o determinante do sistema de eqações: ( ) 0 n i ij. seja nlo, sendo n i os cosenos directores das direcções principais e a etensão principal. A eqação qe reslta da anlação do determinante do sistema de eqações (.) é ma eqação do º gra no caso tridimensional, eistindo nestas condições três etensões principais às qais estão associadas três direcções principais. As direcções principais são determinadas, por eemplo, considerando m valor específico da etensão principal e adicionando a das das eqações do sistema de eqações (.) a eqação qe impõe qe o comprimento do versor n i seja igal à nidade.. Tensões e Eqações de Eqilíbrio A eistência de deformação não é independente da ocorrência de tensões qe podem ser definidas pelo tensor das tensões. A tensão é ma força por nidade de sperfície. No caso de se considerar peqenas deformações é sficiente considerar-se só m tensor das tensões, ma vez qe nessas condições há coincidência entre as deformações Fng, Y. C., Fondations of Solid Mechanics, Prentice - Hall

7 Conceitos Fndamentais.7 de Green e Almansi, de igal modo não se distingem as tensões na configração inicial e as tensões na configração deformada do sólido. Considerando m elemento paralelepipédico de dimensões infinitésimais e com as sperfícies paralelas aos eios coordenados, como se representa na figra., as tensões actando em três faces ortogonais do paralelepípedo, são nove e constitem o chamado tensor das tensões qe é representado sobre a forma matricial do seginte modo: ij. onde o primeiro índice diz respeito à direcção da normal ao plano qe está a ser considerado e o segndo índice diz respeito à direcção da tensão. As tensões, e são designadas por tensões normais e as tensões,,, etc. são referidas como tensões de corte o tensões tangenciais. Nas otras facetas do elemento é possível considerar tensões qe são: d ; d ; d ; etc.. Considerando as forças aplicadas às seis faces do paralelipípedo, sendo estas forças resltantes das tensões inclídas no tensor das tensões e das forças de massa qe possam considerar-se a actar sobre m elemento paralelepipédico representado na figra., designando estas forças de massa a actar segndo os eios coordenados O, O e O, respectivamente, por X, Y e Z e impondo as condições de eqilíbrio de forças nas três direcções coordenadas, obtém-se o sistema de eqações seginte: Fng, Y. C., Fondations of Solid Mechanics, Prentice-Hall

8 Conceitos Fndamentais.8 X 0 Y 0 Z 0.4 O Figra.: Estado de Tensão nm ponto qe tradz as condições de eqilíbrio das forças actantes nm paralelipípedo elementar em termos das tensões na vizinhança do ponto. Além do eqilíbrio de forças é possível considerar eqilíbrio de momentos. Às tensões inclídas no tensor das tensões ij correspondem esforços qe devem estar em eqilíbrio com os momentos de massa qe possam considerar-se a actar sobre m elemento paralelepipédico. No caso dos momentos de massa serem nlo as eqações de eqilíbrio de momentos condzem às eqações segintes:

9 Conceitos Fndamentais.9 ij ji para i j.5 As eqações de eqilíbrio sadas para efeitos de análise elástica de componentes sólidos são adaptadas ao tipo de esforços qe têm de ser considerados em eqilíbrio e qe vão aparecer como relevantes na análise dos referidos sólidos. Admitindo qe o tensor de tensões referido ao sistema de eios O é conhecido e qe se pretende determinar o tensor das tensões no sistema de eios O' ' ', então é possível definir a transformação dos tensores das tensões do seginte modo: a a.5 ij ik jl kl As matrizes a ik e a jl são as matrizes dos cosenos directores qe permitem a transformação das coordenadas no sistema de eios estabelecem as segintes relações entre coordenadas: no sistema de eios, o seja, ' a a a ' a a a ' a a a Tendo em conta a simetria atrás referida poderá dar-se a forma de vector aos tensores ij e ij, do seginte modo: { } T k { } T k.7 Sendo possível definir a matriz de transformação T ik do seginte modo: i Tik k.8 onde T ik é:

10 Conceitos Fndamentais.0 a a a aa aa aa a a a aa aa aa a a a a a a a a a Tik.9 aa aa aa b44 b45 b46 a a a a a a b b b aa aa aa b64 b65 b66 sendo: b44 a a aa b46 aa a a b55 aa aa b64 a a aa b66 aa a a b45 aa aa b54 aa a a b56 aa aa b65 aa aa O tensor das tensões foi referido nm sistema de eios para o qal o número de componentes independentes é de 6 como reslta da simetria do tensor tensões. É no entanto possível definir m sistema de eios para o qal as componentes do tensor das tensões sejam três as chamadas tensões principais, nesse sistema de eios não eistem tensões de corte só eistem tensões normais. As direcções dos eios coordenados qe verificam esta condição são as direcções principais. As tensões principais são determinadas impondo qe o determinante do sistema de eqações n ( ) 0.0 i ij seja nlo. Desta imposição reslta ma eqação do terceiro gra em qe fornece os três valores possíveis para as tensões principais. Uma vez conhecidas as tensões principais podem calclar-se os cosenos directores das direcções principais para cada ma das tensões. Para cada valor da tensão principal obtém-se m sistema de eqações em n i considerando das das eqações de.0 e a eqação qe condiciona o comprimento do versor à nidade.

11 Conceitos Fndamentais..4 Relações entre Tensões e Deformações No âmbito da teoria da elasticidade as relações entre tensões e deformações são definidas de acordo com a Lei de Hooke generalizada, o seja: C C C C 4 C 5 C 6 C C C C 4 C 5 C C 6 C 6 C 6 C 46 C 56 C 66 onde C ij i,6 j,6 é a matriz das constantes elásticas o dos coeficientes de deformação. A matriz dos coeficientes de deformação tem características de simetria e no caso mais geral o número de constantes independentes é. No qe respeita ao comportamento do sólido a matriz C ij poderá sofrer simplificações qe resltam de simetrias elásticas qe podem ocorrer para os materiais anisotrópicos. É em geral possível estabelecer nove classes de simetria. Nalgmas condições de simetria algmas das constantes C ij são nlas..4. Um Plano de Simetria Elástica Nesta condição de simetria admite-se qe se pode considerar m plano em relação ao qal qaisqer partíclas qe sejam simétricas em relação a esse plano têm propriedades elásticas tais qe qaisqer direcções simétricas em relação a esse plano são idênticas. Admitindo qe esse plano de simetria é perpendiclar à direcção definida pelo eio O a Lei de Hooke generalizada, toma a forma seginte: C C C C 6 C C C C 6 C C C C 6. C 44 C 45

12 Conceitos Fndamentais. C 45 C 55 C 6 C 6 C 6 C 66 Sendo C 4 C 5 C 4 C 5 C 4 C 5 C 46 C 56 0, o número de constantes independentes é redzido para..4. Três Planos de Simetria Elástica No caso de eistirem três planos com as características do plano de simetria referido anteriormente e mtamente ortogonais, a Lei Hooke generalizada, referida ao sistema de eios O qe são considerados normais aos três planos de simetria, é: C C C C C C C C C. C 44 C 55 C 66 O número de constantes elásticas independentes é 9. Um corpo homogéneo para o qal possam definir-se três planos de simetria elástica costma dizer-se ortotrópico. As eqações. podem tomar a forma seginte, no caso de se considerarem os módlos de Yong e os coeficientes de Poisson nos planos de simetria elástica, ν ν E E E ν ν E E E ν ν.4 E E E G

13 Conceitos Fndamentais. G G onde E, E e E são os módlos de Yong ao longo das direcções principais de elasticidade O, O e O ; ν é o coeficiente de Poisson qe caracteriza ma diminição da dimensão segndo o eio dos qando se aplica ma tracção o compressão na direcção do eio. Os coeficientes de Poisson ν, ν, ν e ν são definidos de forma análoga. As constantes G, G e G são os módlos de corte qe caracterizam a mdança de ânglos entre as direcções elásticas principais e, e, e. Pela simetria das eqações concli-se qe deve ser: E ν E ν, E ν E ν e E ν E ν.5 Este tipo de simetria é mito importante ma vez qe pode ocorrer freqentemente em materiais tilizados na Constrções Mecânicas..4. Um Plano de Isotropia Qando é possível definir m plano em relação ao qal as propriedades elásticas são eqivalentes em todas as direcções, então a Lei Hooke Generalizada, no caso do plano referido ser perpendiclar ao eio O, toma a forma seginte: C C C C C C C ( ) C.6 C 44

14 Conceitos Fndamentais.4 C 44 (C - C ) O número de constantes independentes é neste caso igal a cinco. Uma designação possível para este tipo de sólido é de transversalmente isotrópico. Introdzindo as constantes elásticas com a forma qe corresponde aos módlos de Yong e aos coeficientes de Poisson, a Lei de Hooke toma a forma seginte: E ν E ( ν ) - E ν E ( ν ) - ν ( ) -.7 E E G G G Onde E é o módlo de Yong para as direcções no plano de isotropia; E' é o módlo de Yong na direcção perpendiclar a esse plano, ν é o coeficiente de Poisson qe caracteriza a contracção no plano de isotropia para ma tracção aplicada no mesmo plano e ν' é o coeficiente de Poisson qe caracteriza a contracção no plano de isotropia qando se aplica ma tracção na direcção perpendiclar a esse plano. O módlo de corte G pode eprimir-se em fnção do módlo de Yong e do coeficiente de Poisson no plano de isotropia, sendo G E/ ( ν); O modlo de corte G' caracteriza o ânglo de distorção entre o plano de isotropia e a normal.

15 Conceitos Fndamentais Sólido Isotrópico No caso do corpo ser isotrópico todos os planos são planos de simetria elástica e a lei de Hooke Generalizada toma a forma: E E E [ ν( )] G [ ν( )] [ ν( )] G G.8 onde E é o modlo de Yong, idêntico em qalqer direcção; ν é o coeficiente de Poisson e G E/ ( ν) é o modlo de corte. O número de constantes elásticas independentes é neste caso igal a dois. É com esta forma qe a lei de Hooke é mais tilizada.