Cap. 3. Comportamento mecânico dos materiais 1. Justificação da existência das relações constitutivas

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1 Cap. 3. Comportamento mecânico dos materiais. Justificação da eistência das relações constitutivas plicou se nos capítulos anteriores que a resposta do Meio Contínuo ao carregamento eprimese via três campos, dois campos tensoriais de 2ª ordem: tensão e deformação; e um campo vectorial: deslocamento. Visto que os campos tensoriais são simétricos, justificou se, que a descrição das componentes na forma vectorial torna se mais vantajosa, ou seja temos:,, u que no total corresponde a 6+6+3=5 componentes, funções incógnitas. Para as resolver é preciso estabelecer também 5 equações. As equações definidas até agora são: 3 quações de equilíbrio f 0 6 quações deformação deslocamento T u Pode se assim concluir que ainda faltam 6 equações. O significado destas equações é neste momento óbvio, porque até agora não se definiu nenhuma ligação entre a tensão e a deformação e nenhuma característica que assegurava que diferentes tipos de material respondem ao carregamento de maneira diferente. As 6 equações em falta chamam se, equações constitutivas ou equações tensão deformação e identificam as relações entre as componentes de tensão e de deformação, de tal maneira que envolvem certas características, que se chamam constantes ou parâmetros do material. Do ponto de vista matemático, a ligação entre 2 tensores de 2ª ordem, têm que envolver um tensor de 4ª ordem. O tensor de propriedades constitutivas é por isso de 4ª ordem. Neste caso, as equações constitutivas só se poderiam escrever na forma indicial de instein, que não foi dada nesta cadeira. A forma matricial seria impossível, porque implicava matri em 4 dimensões. No entanto, as componentes do tensor constitutivo eibem muitas simetrias que permitem reduir o número de componentes a 2, e assim colocar as componentes numa matri simétrica 66.

2 2. Linearidade física e Lei de Hooke As primeiras tentativas de estabelecer relações constitutivas, usaram ensaios simples. Um ensaio típico desta gama de ensaios é ensaio de tracção de uma barra esbelta. Aplicando uma força de tracção ao provete, assegura se que o provete desenvolve componente normal de tensão na direcção da força aplicada. Ao longo do ensaio regista se o deslocamento que se transforma em etensão. A força aplicada transfere se em tensão normal. O gráfico destas entidades costuma ter forma que se mostra na figura em baio, pelo menos para a maior parte de metais. No eio vertical regista se habitualmente a tensão nominal (convencional, de engenharia, sem levar em conta as variações na área devido à carga aplicada, ou seja o chamado efeito Poisson, que será eplicado a seguir) e não a tensão real, ou seja, a força aplicada divide se pela área de secção transversal inicial e não instantânea (actual). Por isso o gráfico mostra uma parte decrescente, mesmo quando a força aplicada está sempre a aumentar. Tensão de rotura Patamar de cedência Limite de linearidade Figura nsaio uniaial de tracção O gráfico representado acima usa os seguintes termos: Limite de linearidade: corresponde à tensão ao nível em que a recta inicial passa a ter forma de uma curva. Ao declive da recta inicial atribuiu se um significado particular definido como: tan m que chama se Módulo de elasticidade ou Módulo de Young. Patamar de cedência: corresponde à tensão, ao nível em que a etensão começa a aumentar sem aumento da força aplicada, o que corresponde à parte horiontal da curva do gráfico. Tensão de rotura (ruptura): a máima tensão no gráfico, no entanto a rotura (falta de integridade de provete), ocorre no momento em que a monitoriação está interrompida, ou seja no final da curva.

3 Quando as análises envolvem tensões não muito elevadas, o comportamento do material implementado corresponderá apenas à parte inicial do gráfico representado pela recta. Neste caso, as análises chamam se fisicamente lineares, ou seja devido da recta do gráfico a relação tensão deformação é linear, o que no caso unidimensional representado pode se escrever: ou sta relação chama se Lei de Hooke. Quando além da linearidade física as análises efectuam se dentro do limite de deslocamentos pequenos e consequentemente deformações pequenas, ou seja, dentro dos limites de linearidade geométrica, as análises chamam se lineares. As análises lineares são as mais simples, no entanto abrangem uma gama de cálculos suficientemente detalhados para dimensionamento de estruturas. As análises lineares têm uma grande vantagem relativamente às não lineares, que é a validade de princípio de sobreposição. Às vees, devido à grande utilidade deste princípio, admitem se pressupostos de tal maneira para se assegurar a linearidade do problema, com o objectivo de usufruir do princípio de sobreposição. No caso de não linearidade que é impossível evitar, admitem se coeficientes correctivos no dimensionamento estrutural para se manter aproimadamente a validade do princípio de sobreposição. O princípio de sobreposição permite sobrepor os efeitos de cargas distintas aplicadas a uma estrutura e usar a proporcionalidade da resposta. ste princípio já foi utiliado na cadeira de stática. Significa que: Tendo resposta ao carregamento,, u e ao carregamento ,, u 2 P na forma de: P na forma de: A resposta à combinação de carregamentos P terá a forma de: 2 P 2 2 2,, u u

4 3. Definição de constantes elásticas 3.. Módulo de Young Na análise fisicamente não linear não é suficiente descrever o comportamento usando somente um único módulo de Young. Distinguem se por isso módulos tangentes e secantes. Os módulos tangentes são declives das tangentes à curva tensão deformação. O módulo tangente inicial é declive da tangente que passa pela origem. Outros módulos tangentes têm que ter o nível de tensão definido, depois traça se uma tangente ao gráfico neste nível. Os módulos secantes têm que ter dois níveis de tensão definidos. No caso do módulo secante inicial, um nível é suficiente porque o outro representa nível ero. stas dependências implicam, que o módulo de Young em análise fisicamente não linear depende do estado de tensão (ou de deformação) actual feito de Poisson Figura Módulos tangentes e secantes Quando se descreveu a tensão nominal, chamou se à atenção, que no ensaio unidimensional de tracção de uma barra, a secção transversal diminui. ste efeito, chamado efeito de Poisson, foi estabelecido muito mais tarde que a Lei de Hooke. feito de Poisson é definido como o facto que durante a aplicação de carga numa direcção, as dimensões nas direcções transversais (perpendiculares à direcção da carga aplicada) também sofrem alterações. Seria de esperar que aplicando uma tracção, as dimensões na direcção da carga aplicada aumentam e nas direcções transversais diminuam. Na aplicação de carga de compressão, os efeitos são opostos. Para se poder quantificar este efeito, introdu se o número ou o coeficiente de Poisson, que se define como raão entre a etensão na direcção transversal à carga e a etensão na direcção da força aplicada, juntando ainda o sinal negativo. Ou seja admitindo que a força foi aplicada na direcção.

5 Figura plicação do efeito de Poisson Admitindo a distribuição das componentes de tensão e de deformação constantes (uniformes) no provete da figura em cima, admitindo ainda que os efeitos transversais no lugar de encastramento são despreáveis e que a força aplicada pode ser substituída por uma carga estaticamente equivalente e uniformemente distribuída sobre a secção transversal (princípio Saint Venant que será eplicado no próimo capítulo), pode se simplesmente escrever que L L, h, h Para uma força de tracção, L 0, h 0 e por isso 0. Parece assim que o número de Poisson deveria ser sempre positivo. Mostrar se á ainda neste capítulo que isso não é verdade. Parece também que a parte de volume acrescentada num lado deveria ser retirada no outro lado, mas isso novamente não é verdade. Manter o volume inalterado significa ter números de Poisson iguais a em 2D, e /2 em 3D. Materiais com estas propriedades chamam se incompressíveis. Valor nulo do número de Poisson, significa que aplicando força numa direcção, esta vai sofrer variações de comprimento, mas as dimensões transversais manter se ão inalteradas Módulo de corte (distorção) Da mesma maneira como se introduiu o ensaio de tracção, pode ser definido outro tipo de ensaio, nomeadamente um ensaio de corte. Neste caso a carga aplicada tem que provocar no provete somente a tensão de corte, mas no referencial considerado. Aplica se assim uma força na direcção tangencial à superfície sobre a qual se assume distribuição uniforme (princípio de Saint Venant).

6 Figura squema do ensaio de corte Assim F Lb Quando o material é suficientemente fleível, pode se assumir que as arestas verticais após a aplicação da carga mantêm se rectas. Neste caso, os ângulos originalmente rectos nos planos paralelos ao plano coordenado 0 sofrem uma distorção no valor de u h De modo similar ao ensaio de tracção, pode se faer o gráfico de tensão de corte versus distorção. No caso do comportamento linear, o declive da recta do gráfico corresponde ao módulo de corte. Figura Gráfico tensão de corte distorção (definição do módulo de corte) G Usando o referencial da figura, poder se ia escrever: G Ou seja, a relação entre as componentes de corte e as distorções, representa comportamento no plano coordenado 0. Ao contrário do anterior ensaio unidimensional que referiu uma relação na direcção da força aplicada, ou seja na direcção do eio coordenado 0.

7 No caso do comportamento não linear, podem se de modo similar, definir os módulos tangentes e secantes. stas dependências, implicam que o módulo de corte em análise fisicamente não linear depende do estado de tensão (ou de distorção) actual. Visto que as componentes de deformação não têm unidade, a unidade do módulo de Young e de corte, é igual à unidade de tensão, e o número de Poisson não tem unidade. No entanto, os valores dos módulos costumam ser maiores que os valores comuns de tensões na prática de um 9 engenheiro civil, e por isso a unidade habitual que se usa é GPa 0 Pa. Os valores do módulo de elasticidade referente à gama de materiais tipo aço são à volta de 200GPa e dos betões à volta de 30GPa Módulo de volume Ainda se usa o módulo de volume K, que representa o inverso de deformação volúmica no caso de solicitação, que corresponde à tensão volúmica unitária; a relação constitutiva neste caso é V K m 3m e será deduida em seguida. Os módulos definidos até agora, ou seja de Young, de corte e de volume e o número de Poisson chamam se constantes elásticas do material. 4. Definições ligadas ao comportamento do material m análise linear os parâmetros de material não dependem do estado actual de tensão ou de deformação. Bastava assim organiá los dentro de uma matri 66 para definir as equações constitutivas. C D C D Nesta descrição C chama se matri de rigide e D matri de fleibilidade. stas designações são as mais antigas que foram usadas, mas não são únicas. Para matri de rigide usa se também como generaliação de designação do módulo de Young, ou K. Para matri de fleibilidade usa se também C de compliance ou F de fleibilidade. Visto que a designação C pode servir, quer para rigide, quer para fleibilidade, é preciso ter cuidado e prestar atenção ao significado e não à letra que a descreve.

8 Torna se indispensável definir quantas constantes de material são precisas para descrever correctamente a ligação entre as componentes de tensão e de deformação, para poder construir a matri de rigide ou de fleibilidade, que são mutuamente inversas. Para isso é preciso introduir definições de tipos de material. m primeiro lugar é preciso distinguir os materiais em que as propriedades mudam ou não com a posição. Define se: Material homogéneo: os parâmetros que descrevem o comportamento de um material homogéneo não variam com a posição, ou seja, não são dependentes das coordenadas,., Como eemplos destes materiais podem se mencionar metais. Outros eemplos dependem da escala em que se fa a análise. Por eemplo, betão, solos e rochas considerados em escala grande (dimensões em metros) são homogéneos. m escalas mais pequenas (dimensões em centímetros ou menores) nota se estrutura do material composto de várias componentes e não é possível considerá los como materiais homogéneos. Material heterogéneo: os parâmetros que descrevem o comportamento de um material heterogéneo variam com a posição, ou seja, são dependentes das coordenadas,., Um eemplo típico é um compósito, que é um material constituído de várias fases de materiais diferentes. As definições em cima não afectam o número dos parâmetros necessários para descrever o comportamento, apenas estabelecem se estes parâmetros são dependentes da posição ou não. As definições que são necessárias para estabelecer o número mínimo de parâmetros, são ligadas à comparação de comportamento de um dado material em várias direcções. Define se: Material isotrópico: material que eibe comportamento igual em todas as direcções. Material ortotrópico: material que eibe comportamento diferente em três direcções mutuamente perpendiculares e os planos formados por estas direcções são planos de simetria. Material anisotrópico: material que eibe comportamento diferente em cada direcção. Caso típico de um material ortotrópico é, madeira, betão armado e compósitos reforçados por fibras da maneira que é possível estabelecer os eios de ortotropia. Materiais verdadeiramente anisotrópicos não são muito comuns, e para a sua descrição precisavam de 2 constantes diferentes. No entanto, pode se comprovar que os materiais isotrópicos precisam para a sua descrição apenas dois parâmetros. Como já foram definidos 4, podem se escolher 2 e usá los para a construção de matries de rigide ou de fleibilidade. Os restantes 2 parâmetros são dependentes dos 2 já escolhidos. Na prática de engenharia civil, costumam se escolher o módulo de Young e o número de Poisson. As equações que descrevem as relações constitutivas, ou seja equações tensão deformação, chamam se neste caso Lei de Hooke generaliada.

9 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5. Lei de Hook generaliada Como foi dito anteriormente, neste caso a matri de rigide ou de fleibilidade pode ser construída usando apenas duas constantes elásticas, que não dependem da posição devido à homogeneidade. Devido à isotropia, a matri de rigide ou de fleibilidade é igual em cada referencial e não é preciso de calcular as componentes nos referenciais rodados como no caso de tensão ou de deformação. Pode se comprovar que as direcções principais de tensão e de deformação coincidem, inclusive a ordem. 5.2 Composição da matri de rigide e de fleibilidade Voltando às definições do número de Poisson e do módulo de Young, pode se concluir que a etensão por eemplo na direcção do eio coordenado 0 corresponderá à soma de três valores, que são as contribuições das tensões normais nas três direcções, que devido ao princípio de sobreposição podem ser consideradas separadamente. Assim é possível aplicar a tensão na mesma direcção, ou seja, o que causa a etensão definida via a lei de Hooke /. Aplicando a tensão numa outra direcção, por eemplo, a etensão toma o papel da etensão na direcção transversal relativamente à tensão considerada, e por isso a contribuição à componente entra via efeito de Poisson como /. Análogamente para aplicação de pode se concluir que a contribuição à etensão é /. m resumo: e análogamente para restantes etensões. No ensaio de corte concluiu se que G e análogamente para restantes planos coordenados. stas duas relações permitem concluir que matri de fleibilidade de um material isotrópico podese escrever na forma:

10 D D 0 0 D 2 m que os blocos 0 são blocos 33 de eros e os restantes blocos são definidos como D e D G 0 0 Neste caso a matri de rigide tem a forma semelhante. 0 0 C 0 C, C 0 C2 2, C2 G Chama se à atenção que no caso de componentes de corte e distorções, em cada plano coordenado, cada componente de tensão de corte está ligada à sua correspondente componente de distorção, no entanto, relativamente às componentes normais e etensões isso não se verifica. Tensão normal na direcção do eio coordenado 0 provoca etensões em todas as três direcções e vice versa. Foi dito anteriormente que para descrição de um material isotrópico seriam precisas apenas duas constantes, no entanto as relações em cima usam três. Pode se comprovar que para assegurar a isotropia, ou seja, propriedades iguais em todas as direcções, o módulo de corte tem que ter a forma G 2 sta equação chama se também, condição de isotropia (necessária e suficiente). A dependência do módulo do volume nas outras constantes, nomeadamente no módulo de Young e no número de Poisson pode ser comprovada da forma seguinte: somam se as primeiras 3 equações constitutivas a soma dá

11 m m m, ou seja m V 32 comparando com V m 3m K pode se concluir que K 32 Posteriormente comprovar se á que os módulos têm que ser positivos. Resumindo, das relações que se obtiveram K 32 e G 2 pode se concluir que o número de Poisson tem que verificar os limites seguintes / 2 Recorda se que o valor /2 foi atribuído aos materiais que não alteariam o seu volume após da colocação da carga, ou seja materiais incompressíveis. Agora pode se verificar que o módulo de volume destes materiais tende para infinito, o que comprova que não se verifica alteração de volume após da aplicação de carga. Os valores negativos do número de Poisson, significam que aplicando a carga de tracção numa direcção, as dimensões quer longitudinal (na direcção da carga) quer transversais (nas direcções perpendiculares à direcção de carga) aumentam. Um eemplo deste material mostra se na figura seguinte, este material é composto pelas barras rotuladas. É fácil de imaginar, que aplicando a carga na direcção horiontal a forma da figura que se chama favos de mel invertidos, passa a ter a forma de favos de mel, ou seja vai aumentar na direcção vertical.

12 Figura emplo do material de número Poisson negativo No entanto os materiais que se usam na prática de um engenheiro civil têm o número de Poisson positivo, metais à volta de 0,3 e betões à volta de 0,2. 6. stados planos Muitas vees é possível simplificar a análise e redui la para duas dimensões. Isso acontece quando, nem forma, nem propriedades do material do meio contínuo, nem o carregamento depende de uma direcção, a que se pode atribuir o eio coordenado 0, por eemplo. Infelimente não é possível nestes casos simplesmente reduir as componentes de tensão e de deformação, e tem que se distinguir dos casos: tensão plana e deformação plana. 6. Tensão plana Os eemplos em que a componente de tensão na direcção do eio coordenado 0 é nula ou pode ser assumida como nula, correspondem aos estados de tensão plana. Isso acontece por eemplo em componentes estruturais de espessura fina ou nas superfícies de componentes. Resumindo, como nada depende do 0, as componentes de tensão 0. Quando ainda é possível admitir que 0, as componentes de tensão não nulas, estão contidas somente no plano coordenado 0. Neste caso é vantajoso escrever as relações constitutivas que usam a matri de fleibilidade e tirar outras conclusões para simplificações. / / / / / / / / / / G / G / G A forma em cima permite concluir que a matri de fleibilidade poderá ser reduida e a relação constitutiva simplificada a

13 / / 0 / / / G em que / / 0 red D / / / G foi obtida cortando linhas e colunas 3,4,5. Verifica se ainda que 0, mas tem que ser diferente de ero, para não violar as relações constitutivas. Assim No entanto as relações constitutivas com a matri de rigide, não se podem obter pela redução da matri de rigide, mas pela inversa da matri de fleibilidade reduida, ou seja d / d / 0 red D d / d / G em que d representa inverso de terminante do primeiro bloco de descrição por blocos tem se: D red, ou seja 2 2 /. Na 2 e G Assim pode se simplificar a relação para deformação, ou seja e eprimi la usando outras componentes de 2 Chama se à atenção que a forma em cima representa um invariante. 6.2 Deformação plana Os eemplos em que a componente de deformação na direcção do eio coordenado 0 é nula ou pode ser assumida como nula, correspondem aos estados de deformação plana. Isso acontece por eemplo em componentes estruturais de espessura grossa (barragens) em é praticamente

14 impossível detectar variações desta espessura grossa. Resumindo, como nada depende do 0, as componentes de deformação 0. Quando ainda é possível admitir que 0, as componentes de deformação não nulas estão contidas somente no plano coordenado 0. Neste caso, é vantajoso escrever as relações constitutivas que usam a matri de rigide e tirar outras conclusões para simplificações G G G A forma em cima permite concluir que a matri de rigide poderá ser reduida e a relação constitutiva simplificada a G em que red C 2, red C 2 G, C 0 0 red red C red C 2 foi obtida cortando linhas e colunas 3,4,5. Verifica se ainda que 0, mas tem que ser diferente de ero, para não violar as relações constitutivas. Assim 2 No entanto, as relações constitutivas com a matri de fleibilidade não se podem obter pela redução da matri de fleibilidade, mas pela inversa da matri de rigide reduida, ou seja

15 red C 0 red C red 0 C 2 em que: e red C / G 2 2 red C 2 2 Assim, pode se simplificar a relação para e eprimi la usando outras componentes de tensão, ou seja 2 2 Chama se à atenção que a forma em cima representa um invariante. Como resumo desta parte, tem que se salientar que estados planos não correspondem um ao outro ou seja, quando se verifica o estado de tensão plana ( 0 ), não se verifica o estado da deformação plana, porque 0, e vice versa. Recorda se, que os estados planos foram introduidos principiante com o objectivo de simplificar o problema. Isso não inviabilia a utiliação das equações em 3D, introduindo correctamente as componentes nulas e não nulas. 7. Materiais ortotrópicos Como foi definido anteriormente, materiais ortotrópicos têm 3 direcções de ortogonalidade ao longo das quais as propriedades são diferentes. Além disso, cada plano formado pelas duas direcções de ortogonalidade forma um plano de simetria de propriedades, o que permite descrever o comportamento dos materiais ortotrópicos da maneira muito semelhante como o comportamento dos materiais isotrópicos. A diferença fundamenta se apenas em número de constantes necessárias: eistem 3 módulos de Young, diferentes a cada direcção de ortotropia, eistem 3 módulos de corte, diferentes em cada dos 3 planos de ortotropia e não eiste nenhuma relação entre os módulos de Young e os módulos de corte. Relativamente aos números de Poisson, estes têm que admitir 2 índices, relacionados com a direcção da carga aplicada e a direcção transversal à carga. Define se: j ij i j i

16 ou seja, o primeiro índice corresponde à direcção da carga aplicada e o segundo à direcção transversal. Parece assim que é preciso de definir ainda 6 números de Poisson, porque naturalmente há de esperar que ij ji Usando o mesmo raciocínio com para os materiais isotrópicos, a etensão por eemplo, terá três contribuições, / devido à aplicação de, / devido à aplicação de e / devido à aplicação de. m resumo: e análogamente para outras etensões. As relações entre componentes tangenciais são óbvias. A forma de matri de fleibilidade é muito semelhante à do material isotrópico: D D 0 0 D2 Os dois blocos não nulos têm a forma D e D G 0 0 G 0 0 G Contudo, pode se comprovar que a matri de fleibilidade tem que ser simétrica e por isso a relação ij i ji j redu os números de Poisson a três valores independentes. m resumo, pode se concluir que é preciso de definir 9 constantes de material. É valido ij ji, no entanto eistem 2 caso em que os valores são iguais, trivialmente quando ij 0 e quando i j. A matri de rigide seria demasiado complicada e por isso não se vai mostrar. Os valores de números de Poisson não são limitados pelo valor /2 tal como em materiais isotrópicos, mas tem que se verificar que os determinantes das matries constitutivas são positivos. Isso é de facto mesma condição como em materiais isotrópicos. Os materiais cuja matri constitutiva têm determinante negativo são instáveis, e por isso não se encontram numa posição de equilíbrio.

17 Usando as definições anteriores, torna se óbvio que a relação constitutiva só poderá ser escrita no referencial que coincide com os eios de ortotropia. Tentar eprimir a matri constitutiva num referencial diferente implicava cálculos bastante complicados, pelo que se aconselha alterar as componentes de tensão ou de deformação. É possível que num plano formado pelos 2 eios de ortotropia se verifica isotropia. Para isso ser válido, por eemplo no plano coordenado 0, é preciso que, mas não é suficiente. A condição de isotropia dita que G 2 recorda se que neste caso. A consequência do facto de eistir apenas um referencial em que é possível escrever as relações constitutivas, implica que as direcções principais de tensão e de deformação são diferentes. Neste caso, por eemplo, calcular direcções principais de deformação sabendo componentes de tensão no referencial principal implicava: (i) eprimir componentes de tensão no referencial de ortotropia, (ii) calcular componentes de deformação no referencial de ortotropia usando a matri de fleibilidade, (iii) calcular valores e direcções principais de deformação. Para calcular direcções principais de tensão sabendo componentes de deformação no referencial principal implicava: (i) eprimir componentes de deformação no referencial de ortotropia, (ii) resolver sistema de equações para determinar componentes de tensão no referencial de ortotropia usando a matri de fleibilidade, (iii) calcular valores e direcções principais de tensão. Recorda se que no caso dos materiais isotrópicos as direcções principais coincidem, inclusive a ordem. 8. Outras designações para comportamento mais geral dos meios contínuos No início deste capítulo mostrou se um gráfico típico de ensaio unidimensional. Verificou se que o gráfico nem sempre pode ser representado pela recta, no entanto, desde que não se inclui o que acontece na parte de descarga, não se podem definir outros termos que caracteriam o comportamento de material. Nesta secção, todos os gráficos mostram se em designações versus. No ensaio unidimensional não há dúvida quais são as componentes que se registam no gráfico. Mas no caso de ensaios multiaiais ou para representar um comportamento real, tem que se introduir algumas medidas dos tensores na forma de invariantes, tal como por eemplo a tensão e a deformação de von Mises. Define se: Comportamento elástico: comportamento elástico significa que quer a parte de carga, quer a parte de descarga, segue sempre a mesma recta ou curva no gráfico tensão deformação. Carga, significa que a carga que se colocou no provete está a ser gradualmente removida. Os materiais elásticos não apresentam assim nenhumas deformações permanentes; após a descarga completa

18 o material está livre de deformações. Quando o gráfico corresponde a uma recta, a elasticidade é linear, quando é curva, a elasticidade é não linear. Figura lasticidade linear e não linear Pode se assim concluir que os estados de tensão e de deformação não dependem da história de aplicação de cargas, o que significativamente simplifica as análises. O comportamento não linear é habitualmente representado pela uma curva côncava. Os comportamentos em que é preciso de seguir toda a história dos carregamentos, são em princípio de dois tipos: os que causam deformações permanentes e os que não têm deformações permanentes, mas perdem energia de deformação via atrito interno (amortecimento). Assim, eistem materiais cuja lei constitutiva, se chama se lei reversível com histéresis, em que a palavra reversível significa que após da descarga completa as deformações são nulas e palavra histéresis significa que descarga se efectua pelo caminho diferente e a área formada entre as duas curvas corresponde à perca de energia. Figura A lei reversível com histéresis Comportamento que implica deformações permanentes chama se comportamento elastoplástico. As deformações que não se eliminam após da descarga chamam se deformações plásticas, permanentes ou irreversíveis. Verificou se eperimentalmente que a descarga efectuase pelo caminho linear, no caso da figura em baio é definida pelo declive do módulo de Young inicial, que é o caso bastante comum. A deformação separa se assim em duas partes, a que é possível recuperar (elástica) e a permanente (plástica). O material após da descarga continua a acumular energia que corresponde à área entre as duas curvas.

19 Figura: Comportamento elasto plástico 8. Cedência O patamar de cedência Y (ield stress) designa o nível de tensão que fa separação entre o comportamento reversível e irreversível. Assim define se que desde que as cargas e descargas efectuam se pela relação tensão deformação, mas abaio do patamar de cedência, não há deformações permanentes, consequentemente a história de carregamentos não é importante e os parâmetros que caracteriam o comportamento do material mantém se inalterados. Atingindo a cedência, eistem em princípio 3 possíveis comportamentos. ndurecimento: os limites de cedência seguintes aumentam, ou seja, neste caso o gráfico a partir de patamar de cedência é representado pela curva crescente Plasticidade perfeita: atingindo a cedência a deformação aumenta sem limite, mantendo o nível de tensão, ou seja, neste caso o gráfico a partir de patamar de cedência é representado pela curva horiontal Amolecimento: os limites de cedência seguintes diminuem, ou seja neste caso o gráfico a partir de patamar de cedência é representado pela curva decrescente Figura: Comportamento após cedência Mostrou se eperimentalmente que a maior parte dos materiais têm após cedência comportamento incompressível.

20 8.2 Modelos para o cálculo Nos gráficos anteriores tentou se mostrar que as dependências tensão deformação de um material real raramente têm partes perfeitamente rectas. No entanto, para facilitar as análises costumam se adoptar vários pressupostos. Na designação dos modelos os termos utiliados nos gráficos em baio dividem se em 2 grupos, os que caracteriam a parte até cedência e os que caracteriam o comportamento pós cedência: até cedência: elasto: eiste parte elástica, ou seja parte recta definida pelo módulo de Young inicial do valor finito rígido: módulo de Young tende para infinito, esta parte do gráfico é vertical pós cedência: perfeitamente plástico: gráfico após cedência é representado pela recta horiontal plástico com endurecimento: após da primeira cedência o gráfico continua crescente, com declive menor que inicial Figura: alguns modelos de comportamento usados em análises comuns É importante perceber que após descarga completa o novo carregamento segue o mesmo caminho pelo qual se efectuou descarregamento e depois continua pelo gráfico original. Isso implica que nos comportamentos com endurecimento o patamar de cedência depende da história de carregamentos. Ultrapassando o valor inicial Y,0 o nível de tensão em que começou o descarregamento tomará a função do patamar de cedência novo Y,. m todos os gráficos anteriores a descarga mostrada foi completa. Note se no entanto que é possível descarregar apenas parcialmente antes de começar um carregamento novo. No entanto nada se altera daquilo que foi eplicado anteriormente, apenas a parte da descarga não atingirá o valor nulo de tensão.