RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Transcrição

1 CAPÍTUO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Terceira Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Jr. Tensão e Deformação Carregamento Aial Capítulo 2 Tensão e Deformacão: Carregamento Aial Introdução Deformação Específica Normal no carregamento Aial 2. - Diagrama de Tensão Deformação ei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico vs. Plástico Deformação de barras sob Cargas Aiais Problemas Estaticamente Indeterminados Problemas Envolvendo Variação da Temperatura Coeficiente de Poisson Generaliação da ei de Hooke Dilatação Volumétrica: Módulo de Elasticidade de Volume Deformação de Cisalhamento Relação entre E, ν e G 2.14 Materiais Compósitos 2.15 Princípio de Saint-Venant 2.16 Concentração de Tensão 2-2

2 2.1 - Introdução As deformações em uma estrutura ou membro estrutural são causadas pela aplicação de cargas. Por meio da análise dessas deformações pode-se também determinar as tensões. Considerar estruturas como corpos deformáveis permite a determinação de forças e reações que são estaticamente indeterminadas. Determinação da distribuição de tensões dentro de um membro também requer considerações de deformações no membro. No Cap. 2, as deformações de um membro estrutural sob carregamento aial são de interesse Deformação Específica Normal no carregamento Aial δ deslocamento deformação normal P σ = = tensão A δ = = deformação normal 2P σ = = 2 A δ = P A P σ = A 2δ δ = = 2 2-4

3 Eemplo 2.1 É aplicada uma carga aial em uma barra de comprimento = 0,600 m. Sabendo que o deslocamento aial é δ = 0,15 mm e que a área da seção transversal é constante, determinar a deformação aial na barra. 0,15 mm 0,15 10 m δ = = = 600 mm 0,600 m m/m = = 250µ Diagrama de Tensão Deformação Corresponde a uma curva que caracteria as propriedades do material e que não depende das dimensões da amostra do material É traçada por meio do ensaio de tração em uma amostra do material Por meio das características obtidas pelos diagramas, dividimos o material em: materiais dúcteis aço estrutural e outros metais; materiais frágeis ferro fundido, vidro, pedra. 2-6

4 2. - Diagrama de Tensão Deformação Ensaio de tração Diagrama de Tensão Deformação Materiais Dúcteis escoamento à temperaturas normais 2-8

5 2. - Diagrama de Tensão Deformação Materiais Dúcteis escoamento à temperaturas normais Estricção - Quando o carregamento atinge um certo valor máimo, o diâmetro do corpo de prova começa a diminuir. Após ter começado a estricção, um carregamento menor é suficiente para manter o corpo de prova se deformando até romper Diagrama de Tensão Deformação Materiais Dúcteis - Alumínio e muitos outros Início do escoamento não é caracteriado pelo trecho horiontal (patamar de escoamento). Tensão de escoamento obtida pela deformação específica de 0,2%. 2-10

6 2. - Diagrama de Tensão Deformação Materiais Dúcteis Ductibilidade (alongamento percentual) 100 r 0 0 Sendo: 0 comprimento inicial do corpo de prova; e r comprimento final (comprimento no instante de ruptura) Diagrama de Tensão Deformação Materiais Frágeis A ruptura ocorre sem mudança sensível no modo de deformação. 2-12

7 2.4 - ei de Hooke: Módulo de Elasticidade No trecho reto do diagrama, a tensão é diretamente proporcional à deformação específica σ = E E módulo de Young ou módulo de elasticidade limite de proporcionalidade Maior valor da tensão para o qual a lei de Hooke é válida Comportamento Elástico vs. Plástico Se a deformação desaparece quando a tensão (carga) é removida, o material é dito ter comportamento elástico. A maior tensão para o qual isto ocorre é chamada de limite elástico. Quando a deformação não retorna a ero depois da carga ser removida, o material é dito ter comportamento plástico. 2-14

8 2.6 - Deformação de barras sob Cargas Aiais Da lei de Hooke: σ σ = E = = E P AE Da definição de deformação: δ = Equacionando e resolvendo para o deslocamento, P δ = AE Com variações no carregamento, área da seção transversal ou propriedades do material Pi δ i = A E i i i 2-15 Eemplo 2.01 Determine a deformação da barra de aço mostrada sob as cargas dadas. SOUÇÃO: 1. Divide a barra em componentes nos pontos de aplicação das cargas e mudanças de área; E = psi D = 1,07 in. d = 0,618 in 2. Faça uma análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas;. Encontre o deslocamento total da barra. 2-16

9 SOUÇÃO: Divide a barra em três componentes: 1 A 1 = = A 2 2 = 12 in. = 0.9 in 2 A = 16 in. = 0.in 2 Análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas, 1 P P 2 P = = = 0 10 lb lb lb Calculando o deslocamento total, P i 1 i P1 1 P2 2 P δ = = + + i Ai Ei E A1 A2 A ( ) 75, 9 10 in ( ) ( ) = ,9 0, , = δ = 75, 9 10 in 2-17 Eemplo 2.2 A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD. A haste AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem área da seção transversal igual a 500 mm 2. A haste CD é de aço (E = 200 GPa) e área de 600 mm 2. Para a força de 0 kn mostrada, determine o deslocamento (a) do ponto B; (b) do ponto D; (c) do ponto E. 2-18

10 2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados Estruturas nas quais as forças internas e as reações não possam ser determinadas usando apenas as equações da estática são ditas ser estaticamente indeterminadas. Uma estrutura será estaticamente indeterminada sempre que possua mais apoios do que são necessários para manter seu equilíbrio Eemplo 2. A barra AB tem seção transversal de área constante e é presa a suportes fios em A e B. Uma força P é, então, aplicada verticalmente para baio no ponto C. Determinar as tensões nas partes AC e BC da barra bem como as reações de apoio. 2-20

11 2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados Método da superposição: Reações redundantes são substituídas por cargas (forças) desconhecidas que, juntamente com as demais cargas aplicadas, devem produir deformações (ou deslocamentos) compatíveis. Deslocamentos devidos às cargas reais e às reações redundantes são determinados separadamente e, então, adicionados ou superpostos. δ = δ + δ R = Eemplo 2.4 Determine as reações em A e B para a barra de aço e carregamento mostrado, assumindo que a barra é presa a dois apoios fios. SOUÇÃO: Considere a reação em B como redundante, retire o apoio neste ponto, e resolva para o deslocamento em B devido às cargas aplicadas, sem a restrição redundante. Depois, resolva para o deslocamento em B devido a reação redundante em B. Os deslocamentos devido às cargas e devido à reação redundante devem ser compatíveis, ou seja, a soma de ambos deve ser ero. Resolva para a reação em A devido às cargas aplicadas e a reação encontrada em B. 2-22

12 SOUÇÃO: Deslocamento em B devido às cargas aplicadas sem a restrição redundante, P = 0 P = P = N P = N A = A = m A = A = m = = = = 0,150 m P i i 1, δ = = A E E i = 1 i i 9 Deslocamento em B devido à restrição redundante, P = P = R = = 0,00 m 1 2 B A = m A = m δ P 2 i i R = = i= 1 Ai Ei ( 1,95 10 ) E R B 2-2 Sabendo que os deslocamentos são compatíveis, δ = δ + δ = 0 ( 1,95 10 ) 9 1, RB δ = = 0 E E R = N = 577 kn B R Reação em A devido às cargas e a reação em B + F = 0 R 00 kn 600kN + 577kN = 0 y A R R R A A B = 2kN = 2kN = 577 kn 2-24

13 2.8 - Problemas Envolvendo Variação da Temperatura A mudança de temperatura resulta numa mudança no comprimento ou deformação térmica. Não eistirá uma tensão associada com a deformação térmica a menos que o alongamento da barra seja limitado pelos apoios (anteparos). Tratando o apoio adicional como redundante e aplicando o princípio da superposição. T ( ) δ = α T δ = α = coef. de dilatação térmica P P AE α é uma constante característica do material cuja unidade é ( o C) -1 ( por graus Celsius) ou ( o F) Problemas Envolvendo Variação da Temperatura Tratando o apoio adicional como redundante e aplicando o princípio da superposição. T ( ) δ = α T δ = α = coef. de dilatação térmica P P AE A deformação térmica e a deformação da força redundante devem ser compatíveis. δ = δ + δ = 0 T P α ( T ) = 0 AE P ( ) P = AEα T P σ = = Eα A ( T ) 2-26

14 Eemplo 2.5 A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fios quando a temperatura é de +25 o C. Determine as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de -50 o C. Dados: E = 200 GPa e α = / o C Eemplo 2.6 Considere que a barra CDE seja rígida. O cilindro de latão BD tem área da seção transversal igual a 70, m 2 e o parafuso AC tem área de m 2. A estrutura é montada sem nenhum aperto à temperatura T = 20 o C. Determine a tensão no cilindro BD quando sua temperatura é aumentada para 50 o C. Dados: Parafuso de aço com E = 200 GPa e α = / o C. Cilindro de latão com E = 105 GPa e α = 18, / o C. 2-28

15 2.9 - Coeficiente de Poisson Para uma barra delgada homogênea, carregada aialmente: σ = σ y = σ = 0 E O alongamento por uma força P (direção ) é acompanhado por uma contração em qualquer direção transversal. Assumindo que o material é isotrópico (propriedades não dependem da direção), y = 0 Coeficiente de Poisson é definido como deformação específica transversal y ν = = = deformação específica longitudinal 2-29 Eemplo 2.7 A barra mostrada é de material homogêneo e isotrópico. Sob a ação da carga aial de 12 kn, o comprimento da barra aumenta em 00 µm e seu diâmetro se redu em 2,4 µm. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. 2-0

16 Generaliação da ei de Hooke Para um elemento sujeito a um carregamento multiaial, os componentes de deformação normal resultantes dos componentes de tensão podem ser determinados do princípio da superposição. 1) deformação está linearmente relacionada à tensão 2) deformações são pequenas Com essas restrições: σ νσ y νσ = + E E E νσ σ y νσ y = + E E E νσ νσ y σ = + E E E 2-1 Eemplo 2.8 Um bloco de aço foi submetido à pressão uniforme P em todas as faces. A aresta AB contraiu de 24 µm. Determine: (a) a variação do comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão P aplicada nas faces. Dados: E = 200 GPa e ν = 0,

17 Dilatação Volumétrica: Módulo de Elast. de Volume Com relação ao estado sem tensão, a mudança no volume é e = ( 1 )( 1 )( 1 ) y + = + + y ν = + y + = ( σ + σ y + σ ) E = dilatação volumétrica (mudança no volume por unidade de volume) Para um elemento sujeito à pressão hidrostática uniforme, ( 1 2ν) P e = P = E k E k = = módulo de elast. volume 1 2ν ( ) Sujeito a uma pressão uniforme, a dilatação deve ser negativa, portanto 0 <ν < Eemplo 2.9 Determine a variação de volume do bloco de aço sob pressão hidrostática P = 180 MPa. Dados: E = 200 GPa e ν = 0,

18 Deformação de Cisalhamento Um cubo elementar sujeito a tensões de cisalhamento se deformará como um paralelepípedo oblíquo (ou rombóide). A deformação de cisalhamento correspondente é quantificada em termos da mudança no ângulo entre os lados, τ = y ( ) f γ O pequeno ângulo γ y (deformação de cisalhamento, epressa em radianos) define a distorção do cubo. y Deformação de Cisalhamento Um diagrama da tensão cisalhamento vs. deformação de cisalhamento é semelhante ao diagrama da tensão normal vs. deformação normal. Para pequenas deformações, τ = Gγ τ = Gγ τ = Gγ y y y onde G é o módulo de rigide ou módulo de cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal. Esta epressão é conhecida como a lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento. y 2-6

19 Deformação de Cisalhamento Para materiais homogêneos e isotrópico, a lei de Hooke na forma generaliada é: e σ νσ y νσ = + E E E νσ σ y νσ y = + E E E νσ νσ y σ = + E E E τ y τ y τ γ y = ; γ y = ; γ = G G G 2-7 Eemplo 2.10 Um bloco retangular é feito de material com G = 600 MPa. O bloco é colocado entre duas chapas horiontais rígidas. A chapa inferior é fia, enquanto a chapa superior é sujeita a uma força horiontal P. Sabendo que a chapa superior se move 0,8 mm sob a ação da força P, determine: (a) a deformação de cisalhamento média no bloco; (b) a força P necessária que atua na chapa superior. 2-8

20 SOUÇÃO: (a) Determine a deformação angular média ou a deformação de cisalhamento do bloco γ y tanγ = γ y y 0,8mm 40mm = 0,020 rad (b) Aplique a lei de Hooke para a tensão de cisalhamento e deformação para encontrar a tensão de cisalhamento correspondente. τ y ( )( ) = Gγ = 600 MPa 0,020 rad = 12 MPa y Use a definição de tensão de cisalhamento para encontrar a força P. y ( )( )( ) P = τ A = = Pa 0,160 m 0,050 m N P = 96kN Relação entre E, ν e G Uma barra delgada carregada por uma força aial P apresenta alongamento na direção aial e contração nas direções transversas. Um elemento cúbico orientado como na figura (a) se deformará em um paralelepípedo retangular. A carga aial produ apenas deformação normal. Se um cubo elementar é orientado como na figura (b), a face mostrada na figura se transforma em um losango. A carga aial também produ uma deformação de cisalhamento, além da normal. As constantes E, ν e G se relacionam como: E G = 2 1+ ν ( ) 2-40

21 Eemplo 2.11 Um círculo de diâmetro d = 20 mm é desenhado em uma chapa de alumínio com espessura t = 20 mm. Forças agindo no plano da chapa causam tensões normais σ = 84 MPa e σ = 140 MPa. Para E = 70 GPa e ν = 1/, determine as variações que ocorrem: a) No comprimento do diâmetro AB, b) No comprimento do diâmetro CD, c) Na espessura da chapa, e d) No volume da chapa SOUÇÃO: Aplicando a lei de Hooke generaliada para encontrar as três componentes da deformação normal: σ νσ y νσ = + E E E = = m/m νσ σ y νσ y = + E E E 6 = m/m νσ νσ y σ = + E E E = m/m Deslocamentos: δ = = + CD AB d d ( m/m )( 20 mm ) 6 ( m/m)( 20 mm) δ = = + t t y δ AB δ CD = + 6 ( m/m)( 20 mm) δ = = δ t 122,6 10 mm = mm = 21, 10 mm Variação do volume: e = + + = y = ( ) ( ) V = ev = V = mm

22 Princípio de Saint-Venant Cargas transmitidas por placas rígidas resultam em uma distribuição uniforme de tensão e deformação. Cargas concentradas resultam em grandes valores de tensão na viinhança do ponto de aplicação da carga. A distribuição de tensões e deformações torna-se uniforme em uma distância relativamente pequena dos pontos de aplicação das cargas. Princípio de Saint-Venant: a distribuição de tensão pode ser adotada independente do modo de aplicação do carregamento, eceto na viinhança do ponto de aplicação da carga. 2-4 Materiais Compósitos Materiais compósitos são formados de lâminas de fibras de grafite, vidro ou polímeros incrustados em uma resina matri. Tensões normais e deformações são relacionadas à lei de Hooke, mas com módulo de elasticidade dependente da direção, σ σ y σ E = E y = E = As contrações transversais são relacionadas pelos valores dos coeficientes de Poisson dependentes da direção, ou seja, ν y y y = ν = Materias com as propriedades mecânicas dependentes da direção são conhecidos como anisotrópicos. 2-44

23 Concentração de tensão: Furo Descontinuidades na seção transversal podem resultar em altas tensões localiadas ou concentradas. K σ = σ ma ave 2-45 Concentração de tensão: Filete (cantos arredondados) 2-46

24 Eemplo 2.12 Determine a maior carga aial P que pode ser seguramente suportada por uma barra plana de aço consistindo de duas porções, ambas com 10 mm de espessura, e respectivamente com 40 e 60 mm largura, conectadas por filetes de raio r = 8 mm. Assuma que a tensão normal admissível seja de 165 MPa SOUÇÃO: Determine as raões geométricas e encontre o fator de concentração de tensão pela Fig. 2.64b. D 60 mm r 8 mm = = 1,50 = = 0, 20 d 40 mm d 40 mm K = 1,82 Encontre a tensão normal média admissível usando a tensão normal admissível do material e o fator de concentração de tensão. σma 165 MPa σ med = = = 90,7 MPa K 1,82 Aplique a definição da tensão normal para encontrar a carga admissível. P = Aσ = 40 mm 10 mm 90,7 MPa med = 6, 10 N ( )( )( ) P = 6,kN 2-48