LEIS CONSTITUTIVAS 4.1 INTRODUÇÃO

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1 LEIS CONSTITUTIVAS 4. INTRODUÇÃO As tensões foram estabelecidas como grandezas quantificadoras dos esforços transmitidas de ponto para ponto num sólido sujeito a acções exteriores e foram utilizadas no estabelecimento das condições de equilíbrio num ponto de um sólido no espaço tridimensional. A geometria da deformação foi estudada e foram introduzidas quantidades susceptíveis de quantificar as mudanças de geometria que ocorrem no processo de deformação. As grandezas quantificadoras da acção e da deformação, respectivamente, tensões e deformações relacionam-se através de leis, as chamadas leis constitutivas. O modo como se relacionam entre si estas grandezas pode dizer-se que depende do material ou classe do material. Em geral pode agrupar-se o comportamento dos materiais em modelos constitutivos que incluem um ou mais comportamentos como os que são referidos em Elasticidade, Plasticidade, Viscoelasticidade, Viscoplasticidade e outros. O modelo elástico do comportamento do sólido tem sido o mais utilizado nos cálculos de previsão de comportamento de sólidos de vários materiais. Os comportamentos elásticos distinguem-se dos comportamentos ditos não elásticos e por vezes referidos como comportamentos não-lineares, pelo facto dos comportamentos elásticos estarem associados à retoma da forma inicial do sólido no processo de descarga. O efeito de estados de deformação anterior e o efeito do tempo é contemplado através de leis constitutivas ditas plásticas, viscoplásticas, elastoplásticas, etc.. Quando os materiais têm comportamentos deste tipo, comportamentos em geral não-lineares, durante o

2 processo de descarga o material não retoma o estado inicial. O efeito do tempo por si só também se manifesta em materiais elásticos e neste caso o comportamento do material é dito viscoelástico. O comportamento elástico também pode ser linear e não-linear, os materiais cujo comportamento é linear elástico durante o processo de carregamento são tidos por mais fiáveis em termos estruturais. Robert Hooke (678), é referido como percursor da Teoria da Elasticidade estabelecida com base na existência de linearidade na relação entre as tensões e deformações, mas foi em 807 que apareceu Thomas Young e estabeleceu o famoso módulo de proporcionalidade entre tensões e deformações, conhecido por módulo de Young. 4. COMPORTAMENTO LINEAR-ELÁSTICO Na Teoria da Elasticidade Linear os ensaios mais simples que se podem efectuar são em modelos uniaxiais a partir dos quais se estabelece uma relação entre tensões e deformações, como se representa na figura 4.. A relação entre tensões e deformações para cargas não muito elevadas é em geral linear ou linearisável para a maioria dos materiais utilizados em estruturas sendo, as deformações durante parte do carregamento também consideradas lineares. P σ = P A A C P = Figura 4.: Ensaio uniaxial. Atendendo à curva representada na figura 4. a relação entre a grandeza σ e a grandeza é linear:

3 σ = C (4.) Esta relação válida para o problema uniaxial pode ser generalizada para sólidos tridimensionais. No caso de se admitir a existência de uma função energia de deformação w () a partir da qual se pode calcular a tensão, σ, por diferenciação da energia de deformação em relação à deformação, ou seja: w σ = σ () Integrando σ () do estado inicial até ao estado final, obtém-se: () d = w () d = w ( ) w ( ) (4 (4.3) Nestas condições a mudança no estado de tensão entre e é só função da energia de deformação dos dois estados e não é função do percurso entre eles. Um material assim definido é dito hiperelástico. No caso do problema uniaxial, sendo C o módulo de proporcionalidade entre σ e, a energia de deformação pode ser facilmente obtida atendendo às equações 4. e 4., ou seja: () w C d = d (4.4) donde: () w C d = d (4.5) 0 0 ou seja: w () = C O conceito de energia de deformação w() é facilmente generalizável para sólidos tridimensionais. No caso de se tratar de pequenas deformações, isto é em condições tais que não é possível distinguir as quantidades de deformação lineares e não-lineares, ou seja não há distinção entre a deformação e a deformação de Lagrange E. Nestas condições também não se distinguem as tensões de Cauchy e de Piola-Kirchhoff. Designando por w ( E ) a função energia de deformação, a tensão σ pode ser definida do seguinte modo: 3

4 w w σ = = e* i e* j (4.6 onde é o tensor das deformações e e* i e e* j são os vectores base e σ é o tensor das tensões. O tensor de elasticidade C obtém-se por diferenciação de σ em rodem a, ou seja: σ = = w C (4.7) O tensor de elasticidade C obtém-se por diferenciação de um tensor de ª ordem e é portanto um tensor de 4ª ordem que pode ser estabelecido em termos das suas componentes numa base de tensores de 4ª ordem, ou seja: C = C k e* i e* j e* k e* (4.8) Este tensor tem 8 componentes e é um tensor que opera no tensor das deformações por forma a permitir a obtenção do tensor das tensões. As 8 componentes do tensor da Elasticidade não são todas independentes entre si. Note-se que o produto do tensor C pelo tensor envolve o produto tensorial entre um tensor de 4ª ordem e um tensor de ª ordem, ou seja: σ = C [ ] = C k e* i e* j e* k e* mm e* m e* n (4.9) = C k k e* i e* j = σ e* i e* j A relação entre as componentes do tensor das tensões e as componentes do tensor das deformações é: σ = C (4.0) k k sendo C σ w k = = k k A energia de deformação pode ser calculada em termos das componentes do tensor das deformações e do tensor de elasticidade do seguinte modo: [ ] e* e* e* e* e* e* = e*. e* e*. e* e* e* = i j k m n k m n i j =δkm δ n e* i e* j 4

5 w ( ) = C k k (4.) O facto dos tensores das deformações e tensões serem simétricos implica que o número de componentes independentes do tensor da Elasticidade seja reduzido de 8 para 6 x 6 = 36. Como a diferenciação da energia de deformação em relação às componentes ou k é equivalente, o tensor de Elasticidade é simétrico em relação a e k, sendo portanto somente o número de termos independentes. O material apresenta muitas vezes direcções preferenciais do comportamento, ou isotrópicas, de acordo com o tipo de isotrópias existentes o número de constantes pode ser reduzido. No caso de um material completamente isotrópico, material isotrópico, o número de constantes é reduzido e igual a, como se pode facilmente verificar. 4.3 LEI CONSTITUTIVA PARA UM MATERIAL ISOTROPICO No caso do material ser isotrópico as suas propriedades não dependem da orientação do sistema de eixos considerado, ou seja por outras palavras, e Tensor de Elasticidade, C, é invariante no que respeita a mudança de eixos coordenados. No caso da função tensorial energia de deformação depender somente dos invariantes do tensor das deformações, então a Lei Constitutiva resultante tem um tensor das Constantes Elásticas que é também invariante. A função energia de deformação é: = ( 3 ) W W I, I, I (4.) onde I, I e I são: I são os invariantes do tensor das deformações, os quais 3 = tr = ii I ( ) = ( tr ) tr = ii jj (4.3) I = det = e e 6 3 k imn i jm kn No caso de se pretender uma lei constitutiva linear a função W () deve ser uma função quadrática do tensor das deformações, tendo em conta a equação 4.. A função W ( ) deve depender somente de I e I ( ), não pode depender de I 3 uma 5

6 vez que este tensor é cúbico, nestas condições a função energia de deformação pode ser escrita com a seguinte forma: = + W a I a I (4.4) onde a e a são constantes do material. Diferenciando 4.4 em ordem ao tensor das deformações podem obter-se as componentes do tensor das tensões σ, ou seja: W I I a I σ = = + a (4.5) A derivada do º invariante das deformações em ordem às componentes de deformação pode ser calculada como sendo I kk = = δ δ = δ ki mj (4.6) e a derivada do º invariante das deformações em ordem às componentes de deformação é: I = kk k k =δki δkj δki δ j k =δ Tendo em conta as equações 4.6 e 4.7 a equação 4.5 toma a seguinte forma: (4.7) σ = a I δ + a I δ E = (4.7) ( ) = a + a I δ a Designando as constantes a + a por λ e a por µ a equação 4.7 pode ser escrita com a seguinte forma em rotação tensorial e por índices, σ =λ tr I + µ (4.8) σ = λ mm δ + µ As constantes λ e µ são usualmente referidas como constantes de Lamé. A equação 4.8 pode ser resolvida em ordem a obtendo-se a equação seguinte para a relação entre deformações e tensões λ = σ δ + σ µ 3λ+ µ mm µ A função energia de deformação 4.4 pode ser reescrita como a seguinte forma: (4.9) 6

7 W = ( λ + µ ) I µ I ( ) = λ ii jj + µ (4.0) k A partir da qual pode calcular-se o Tensor de Elasticidade, C, ou seja: [ δ δ + δ δ ] = λ δ δk + µ ik j i C (4.) jk Estas são as componentes do tensor de 4ª ordem que estabelece a relação entre tensões e deformações satisfazendo as condições de simetria anteriormente referidas MATERIAL DE KIRCHHOFF No caso de se considerarem deformações finitas podem considerar-se diversas leis constitutivas pelo facto de existirem muitos tensores das tensões e muitas medidas das deformações. A situação mais simples ocorre quando se considera a generalização de Kirchhoff para a lei constitutiva de elasticidade linear. Em muitas aplicações de engenharia ocorrem pequenas deformações e elevadas rotações, nestas condições o efeito das grandes deformações resulta sobretudo das rotações (problemas de flexão de componentes laminares). Para este tipo de problemas as leis constitutivas mais frequentes resultam duma generalização das leis consideradas em elasticidade linear, substituindo o tensor das tensões, σ, pelo º tensor das tensões de Piolla Kirchhoff e substituindo o tensor das deformações lineares pelo tensor das deformações de Green-Lagrange, sendo o material assim obtido designado por material de Kirchhoff e a lei constitutiva é: Σ = C E ou Σ = C : E (4.) k k onde C é um tensor de 4ª ordem de constantes elásticas e pode representar materiais anisotrópicos e isotrópicos. A relação constitutiva 4. é em tudo análoga à relação considerada para o comportamento com pequenas deformações e as considerações efectuadas respeitantes ao número de constantes elásticas, à energia de deformação e ao modo de obtenção das constantes elásticas ainda é válido, substituindo o tensor das tensões, σ, pelo º tensor das tensões de Piolla Kirchhoff, Σ e substituindo o tensor das deformações lineares,, pelo tensor das deformações de Green-Lagrange, E. 7

8 4.5 CONSTANTES ELÁSTICAS As constantes elásticas são em geral determinadas através de ensaios simples e há de acordo com o tipo de ensaios um número superior a dois de constantes elásticas de possível cálculo que permitem a escrita da Lei Constitutiva 4.8 com várias formas conforme as constantes consideradas. Considere-se um sólido sujeito a uma pressão hidrostática ( σ = p I ), o sólido por acção da pressão sofre uma variação de volume que pode ser quantificada em termos da deformação. De acordo com.59, o volume final do sólido, V*, é relacionável com o volume inicial, V, do sólido através do determinante do gradiente de deformação, F, ou seja, V* = det F V. O determinante de F é por sua vez calculável em termos do tensor das deformações de Green e do tensor das deformações de Lagrange, E, isto é: ( C) = det ( I E) det F = det + (4.3) Tendo em conta a equação.59 e a equação 4.3 pode definir-se o cociente entre o volume final e o volume inicial como sendo V * V = V + V V ( I E) = det + (4.4) O termo dentro da raiz pode ser calculado a partir dos invariantes das deformações de Lagrange, ou seja: [ E] = + I ( E) + 4 I ( E) 8 ( E) det + + (4.5) I I3 onde, I ( E), ( E) I são o º, º e 3º invariantes do tensor das deformações de E I3 Lagrange. No caso de se tratar de pequenas deformações pode afirmar-se que I ( E) ( E) I >> >>, uma vez que o º invariante é uma função linear do tensor E I3 E, o º invariante é uma função quadrática do tensor E e o 3º invariante é uma função cúbica do tensor de E. Em condições tais que se possam considerar pequenas deformações, o [ + ] + que + I + I det I E I. É possível demonstrar usando séries de Taylor E. Recorrendo a este resultado pode afirmar-se que 8

9 V tr (4.6) V Esta quantidade é designada por dilatação e pode representar-se por e, sendo facilmente calculada experimentalmente. Considerando as equações constitutivas é possível calcular o traço do tensor das tensões que é: σ = λ δ + µ = 3λ + µ = 3K (4.7) kk mm kk kk kk kk A constante K = λ + 3 µ é designada por módulo de compressibilidade volumétrica. O cálculo desta constante pode ser feito considerando um ensaio em que se considera o sólido sujeito a uma pressão hidrostática, p, sendo o tensor das tensões correspondentes σ = p I, e sendo σ kk = 3 p. Medindo a variação de volume produzida no sólido pela pressão hidrostática e conhecido o volume inicial é possível calcular o valor de e. Nestas condições o modulo de compressibilidade volumétrica pode ser calculado a partir do cociente p/e. O modulo de compressibilidade volumétrica é uma força por unidade de superfície. O tensor das tensões desvio é definido como sendo σ' = σ tr σ I de tal 3 como que tr σ' = 0. O cálculo das componentes do tensor das tensões desvio é feito considerando as componentes do tensor das tensões e é: ' σ = σ σmm δ = µ kk δ 3 3 ' O tensor das deformações desvio é 3( tr ) (4.8) ' = I de tal modo que tre = 0. Fazendo uso da equação 4.6, as equações constitutivas podem ser escritas com a forma: σ = K + µ ' e I (4.9) A relação inversa é facilmente obtida e é: p = I + σ ' (4.30) k µ onde p = tr ( σ) e σ' = σ p I. 3 Um ensaio frequente para efeitos de cálculo de K e µ é um ensaio triaxial como se representa na figura 4.. Neste ensaio uma tensão σ é aplicada ao cilindro na direcção 9

10 axial e ao longo de todo o contorno do cilindro, em geral uma tensão de compressão e uma pressão axial σ também usualmente de compressão é aplicada nos extremos do cilindro. σ σ σ σ Figura 4.: Teste triaxial. O tensor das tensões tem a forma: [ ] [ ] σ=σ e* e* +σ e* e* + e* e* (4.3) A pressão é então p = ( + ) σ σ e o tensor das tensões desvio é: σ ' = ( σ σ)[ 3e* e* I] (4.3) 3 De modo análogo a mudança de volume é e = ( + ) e a deformação desvio é: ' = ( )[ 3e* e* I] (4.33) 3 onde e são a deformação axial e circunferencial respectivamente. Com este teste pode calcular-se k e µ, sendo k = p/e e µ = ( σ σ ) ( ) /. As constantes elásticas mais usuais são o chamado modulo de Young e o coeficiente de Poisson. O cálculo destas constantes é feito recorrendo a um ensaio uniaxial de tracção. Este ensaio fornece directamente o modulo de Young. Na figura 4.3 ilustra-se de forma qualitativa a informação que se obtém de um ensaio à tracção. 0

11 P σ P Figura 4.3: Ensaio uniaxial. Um estado de tensão uniaxial, em que a tensão seja aplicada seja σ segundo o eixo dos x, pode ser representado pelo tensor = [ e* e* ] σ σ, o qual tem componentes: σ = σ ; σ = σ33 = σ = σ3 = σ3 = 0 As equações constitutivas conduzem às equações seguintes: [ ] σ =λ + µ = λ+ µ +λ + =σ kk 33 [ ] σ =λ + µ = λ+ µ +λ + = 0 (4.34) kk 33 [ ] σ =λ + µ = λ+ µ +λ + = 0 33 kk As duas últimas equações fornecem relações entre 33 e e e, ou seja: λ = = ( λ+µ ) 33 No caso do ensaio uniaxial media-se = e substituindo este valor na equação 4.34 obtinha-se uma relação entre a tensão uniaxial aplicada σ e a deformação, ou seja: ( 3 ) µ λ+ µ σ= = C (4.35) λ+µ onde ( 3λ + µ ) µ C = é o módulo de Young e pode ser directamente calculado num λ + µ ensaio uniaxial como sendo C = σ/. O modulo de Young ou modulo de Elasticidade tem unidades f /.

12 O coeficiente de Poisson ν é definido como sendo: λ λ + µ 33 ν= = = (4.36) As equações constitutivas podem ser escritas em função do modulo de Young e do coeficiente de Poisson como sendo: Cν C σ = ( tr) I + +ν ν +ν Cν C σ = δ + ( +ν)( ν ) ( + ν) kk (4.37) Outras constantes elásticas podem ser consideradas e as equações constitutivas escritas com outras formas mas é de facto o módulo de Young e o coeficiente de Poisson que são de uso mais frequente EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA GRANDES DEFORMAÇÕES No estabelecimento das equações constitutivas não foi feita distinção entre as deformações ou tensões, esta situação só é possível quando as deformações são consideradas pequenas. No caso das deformações não poderem ser consideradas pequenas há necessidade de distinguir entre tensores de Cauchy e de Piola-Kirchhoff e o estabelecimento de equações constitutivas torna-se complexo. Uma vez que ao considerar-se grandes deformações se torna necessário distinguir a configuração inicial da configuração deformada, é adequado pensar que se devem relacionar os tensores das deformações com os tensores das tensões referidos a uma mesma configuração. Não será portanto adequado relacionar as tensões de Cauchy com as deformações de Lagrange ou as tensões de Piola- Kirchhoff com as deformações de Euler. A fim de resolver esta questão é conveniente recorrer ao conceito termodinâmico de conservação de energia, no entanto isto está longe das nossas preocupações neste momento e por isso vamos apenas considerar que é possível mostrar que o tensor das tensões de Piola-Kirchhoff, P, se relaciona com o gradiente da deformação F através da energia ψ ( X, F) como sendo: P =ρ ψ o F (4.38)

13 onde ρ o é a densidade do material na configuração de referência. O gradiente de deformação F contém informação acerca das variações de comprimento dos elementos que podem ser considerados no sólido e também informação acerca dos movimentos de corpo rígido. Tendo em conta que as leis constitutivas não devem ser afectadas por movimentos de corpo rígido, a dependência entre a energia ψ e o gradiente de deformação F, deve ser da forma F T F T ou seja ψ ( X, F F) ψ ( X, C) = onde C é o tensor das deformações de Green. O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff pode ser calculado a partie da energia ψ, como sendo: Σ = ρ onde Σ = F o ψ C P. (4.39) A equação 4.39 é facilmente demonstrável, tendo em conta as características dos tensores envolvidos, ou seja: Σ = ψ F P F = F ψ C = ρo ρo (4.40) F C F ψ ρ ρ ψ o F F = o C C Nestas condições parece adequado relacionar o segundo torsor das tensões de Piola-Kirchhoff com o tensor das deformações de Green e em condições de isotropia pode admitir-se uma relação de forma: Σ = ϕ I + ϕ C + ϕ C (4.4) 3 onde ϕ ϕ ϕ 3, e são funções dos invariantes, I ( C), ( C) I. C I3 Um exemplo de equação constitutiva para grandes deformações é a que se obtém considerando o material de Money-Rivlin, para o qual se admite uma função da energia com a forma: ψ ( C ) = a ( I ( C) 3) + b ( I ( C) 3) onde e ( C) I são o º e º invariante das deformações de Green, e a e b são C I constantes do material. 3

14 PROBLEMAS PROPOSTOS 4. As equações constitutivas para um sólido isotrópico tridimensional cujo material possa ser considerado linear elástico podem escrever-se com a seguinte forma: σ =λ kk δ + µ onde os subescritos i, j e k tomam valores de a 3. Determine as equações constitutivas para um estado plano de tensão, tal que σ33 = σ3 = σ3 = 0 e determine as novas constantes λ e µ de tal modo que as equações constitutivas tomem a forma: I σ αβ =λγγδ αβ + µ αβ onde α, β e γ tomam valores de e.. Mostre que o tensor das constantes elásticas para um material isotrópico [ ] C k = λδ δ k + µ δ ik δ j + δ i δ jk é invariante em relação à transformação de coordenadas uma vez que os tensores das constantes elásticas em dois sistemas de eixos distintos se relacionam entre si através da relação: sendo Q = gi. e* j ou gi = Qe* j Cαβγ δ = Ck Qαi Qβj Qγ k Qδ 3. Considere um sólido isotrópico constituído por um material linear elástico cujas constantes de Lamé são designados por λ e µ sujeito ao campo de deslocamentos seguinte: ( x) = β x e x e u + e admita que o tensor das deformações lineares (pequenas deformações) é adequado para caracterizar o estado de deformação. Determine as forças de massa necessárias para efeitos de equilíbrio. 4

15 4. Considere uma placa rectangular de espessura inicial 0. cm, sendo o modulo de Young do material C =,4 x 0 7 Pa e o coeficiente de Poisson ν = A placa está sujeita a um estado de tensão uniforme como se representa na figura. A espessura da placa muda com a aplicação das tracções. Calcule o valor da espessura da placa após a deformação. 0 KPa 0 MPa 0 MPa 0 MPa 5. Mostre que: [ + E] = + I ( E) + 4 I ( E) 8 ( E) det + I I3 6. Considere uma viga de comprimento, o eixo da viga tem a direcção x 3, a secção recta é no plano x x e o segundo momento de área da secção é igual a I. A viga está sujeita a momentos (M) iguais nos extremos sendo a flexão em relação ao eixo cujo segundo momento de área é I. A viga é feita dum material elástico cujo modulo de Young é C e cujo coeficiente de Poisson é ν. O campo de deslocamentos na viga é dado pela expressão u M I ( x) ( x + ν x ν x ) e + ν x x e x e = 3 x3 3 C Admita que o momento aplicado M é suficientemente pequeno em relação a CI de tal modo que os deslocamentos sejam bastante pequenos e: a) Calcule o tensor das deformações; b) Calcule o tensor das tensões; c) Mostre que o tensor das tensões obtido é um tensor admissível. 7. Mostre que se o tensor das constantes elásticas for [ ] C k = λδ δ k + µ δ ik δ j + δ i δ jk a expressão σ = Ck k é equivalente às equações constitutivas 5

16 δ =λ mm δ + µ 6