Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 1/11 Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 13ª Aula Duração - 2 Horas Data - 12 de Novemro de 2003 Sumário: Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga com Secção Composta. Eixo Neutro. Momento de Inércia. Ojectivos da Aula: Apreender a forma como se distriuem as tensões Axiais nas Secções Compostas das Vigas por forma a conduirem ao momento resultante na Secção. Resumo do Conteúdo da Aula 1. Exemplo de uma Viga em U. Exemplo 13.1 Considere a viga representada na figura 13. 1, cuja secção em canal tem as dimensões representadas na referida figura. A viga está sujeita a uma carga uniformemente distriuída de intensidade p12kn/m. Determine as tensões longitudinais máximas de compressão e tracção. Investigue o efeito do peso da viga nas tensões longitudinais admitindo que a espessura da secção varia entre 60mm e 80mm.Considere o peso específico igual a 78kN/ m 3.

2 2/11 12kN/m x A B 300mm 6m 12m 600mm RA RB Figura 13.1: Viga em U Simplesmente Apoiada. As reacções de apoio resultantes da carga aplicada são: R R A B 162kN 54kN Os diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores estão representados na figura A posição do centro de gravidade da secção, no caso da secção ter 60mm de espessura, é tal que: (3)mm ( ) A posição do centro de gravidade da secção, no caso da secção ter 80mm de espessura, é tal que: mm ( ) O momento de Inércia no caso de se considerar uma espessura de 60mm é:

3 3/ I (6) (3) I e06 mm O momento de Inércia no caso de se considerar uma espessura de 80mm é: I I e06 mm O momento máximo resultante da carga exterior é 216kN.m A carga uniformemente distriuída resultante do peso da viga, no caso da viga ter 60mm de espessura é: p 78 ( ) kN / m Esforços Transversos 90 A 12kN/m B x 72 Momentos Flectores 216kN.m 54 6m 12m RA RB 21.5kN.m Figura 13.2: Diagramas de Esforços. O momento máximo associado a esta carga uniformemente repartida é: kN.m

4 4/11 A carga uniformemente distriuída resultante do peso da viga, no caso da viga ter 80mm de espessura é: p 78 ( ) kN / m O momento máximo associado a esta carga uniformemente repartida é: kN.m No quadro I representam-se as tensões otidas por uso da fórmula: M x I em cada um dos casos de solicitação. Resumo dos Resultados Caso M. máximo M. de Inércia máximo Tensão máxima 1 216kN.m e-06m (3)m MPa 2 216kN.m e-06m m MPa kN.m e-06m (3)m MPa kN.m e-06m m MPa 1 Só Carga Exterior e Espessura 60mm 2 Só Carga Exterior e Espessura 80mm 3 Carga Exterior mais Peso Próprio e Espessura 60mm 4 Carga Exterior mais Peso Próprio e Espessura 80mm Quadro I: Resumo dos Resultados 2. Flexão de Vigas Constituídas por Vários Materiais As componentes estruturais tipo viga são muitas vees constituídas por mais que um material sendo designadas por vigas não homogéneas. Alguns exemplos de vigas deste tipo são, vigas de madeira reforçadas a aço, vigas constituídas de dois materiais, por exemplo, metálicos, vigas de etão armado e as vigas plásticas reforçadas por firas em geral conhecidas por vigas compósitas. A teoria da flexão de vigas sujeitas a momentos flectores pode ser facilmente adaptada ao estudo de vigas constituídas por dois ou mais materiais Método Directo O caso mais simples que se pode considerar de viga não homogénea é a viga constituída por dois materiais, o material 1 e o material 2, como se representa na figura Considere-se que o módulo de Young do material 1, E 1 é superior ao módulo de Young do material 2, E 2. As tensões x1 e x2 são x1 E1εx E1k e x2 E2εx E2k (13.1)

5 5/11 sendo a distância do ponto ao centro de gravidade. ε max xx 1 xx xx E ε E2ε xx (2) (1) Secção Deformações Tensões Forças Resultantes das Tensões Figura 13. 3: Viga Composta com Dois Materiais Elásticos E1> E2 Sendo x a direcção do eixo da viga, a condição de equilírio de forças na direcção axial implica que seja da + da 0 x1 x2 (13.2) Esta pode ser rescrita utiliando a equação 13.1 com a forma EdA + E da Tendo em conta que a equação anterior toma a forma E da + E da ( EdA + E da) ou E da + EdA E da E da (13.3) onde representa a distância do centro de gravidade relativamente à ase da secção, ou seja indica a posição do centro de gravidade. A equação de equilírio de momentos toma a forma

6 6/ M x1da + x2da k E1 da + E2 da k EI+ ( 1 1 EI 2 2) (13.4) ou seja a curvatura k é M k EI+ EI (13.5) As tensões podem ser calculadas a partir do momento 13.5 e 13.1, usando as fórmulas seguintes M, tendo em conta as equações x1 E1M EI+ EI e x2 E2M EI+ EI (13.6) Estes resultados podem ser generaliados para o caso da Secção ter n materiais distintos cujos módulos de Young são E1... Ei... E n associados às áreas A1... Ai... A n, otendo-se para a coordenada do eixo neutro a equação n Ei i 1 A i n EidA i 1 A i da (13.7) e para as tensões as equações seguintes xj E jm n i 1 EI i i (13.8) como se pode facilmente verificar Método da Secção Equivalente A equação que representa o equilírio de Forças segundo xx e que é EdA + E da pode ser rescrita com a forma, dividindo amos os memros por E 1 da + nda 0 (13.9)

7 7/11 onde n representa o cociente dos módulos de Young E2 E 1. Nestas condições, podemos constatar por análise da equação 13.9 que a posição do eixo neutro não se altera se cada elemento de área da, do material 2, for multiplicado pelo factor n, conservando-se inalterada a distância do elemento de área ao eixo neutro. Por outras palavras pode considerar-se a Secção transversal constituída por duas partes: (a) área 1 com a forma inicial e () área 2 com a largura multiplicada por n. Nestas condições otém-se uma secção equivalente à inicial mas só constituída pelo material 1 e com uma forma distinta da inicial como se representa na figura Fica assim demonstrado n (2) (1) Secção Figura 13.5: Secção Equivalente que para efeitos de cálculo da posição do eixo neutro se pode considerar a Secção Equivalente. As tensões x1 no material 1, podem ser calculadas considerando o momento de inércia da Secção equivalente Ie que é tal que Ie I1+ ni2, ou seja M x1 (13.10) e I As tensões na no material 2 não podem ser calculadas directamente considerando a secção equivalente, como se pode constatar da análise das fórmulas 13.6 e do facto do momento ser M da + da ke da + ke da 2 2 x1 x2 1 1 k( EI 1 1+ E1n I2) e tem de considerar-se a fórmula (13.11)

8 8/11 M I x2 n (13.12) e como se pode facilmente constatar. O método da secção equivalente pode ser generaliado para o caso da Secção ter n materiais. Exemplo 13.2 Considere a viga de secção composta por três materiais distintos, os materiais 1,2,3 como se representa na figura Na face superior da viga está colocado um extensómetro de 4 acordo com o qual a deformação axial na secção A-A e na referida face é -5 10, determine o momento a que a referida secção está sujeita. Módulos de Young dos Materiais E1 70GPa; E2 100GPa; E3 200GPa (2) 60mm (1) 200mm (3) 70mm 120mm Figura 13.6: Secção Mista Resolução Começa-se por determinar a posição do centro de gravidade da Secção. Esse cálculo pode ser feito pelo método directo ou pelo método da Secção equivalente. Procedendo a esse cálculo pelo método directo, é n E da + + i i 1 A EA i 1 EA 2 EA3 n E EA EA EA ida + + i 1 A i ou pelo método da Secção Equivalente 137.4mm

9 9/11 na na A mm n E A1+ n2e2a2+ A3 1 1 sendo E ; E n E E n2 3 3 A tensão correspondente à deformação axial lida é: k x2 x2 E2ε k 192,6 10 k x MPa 3 etc 3- Prolemas Propostos 1- Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 13.7, construída em madeira reforçada por alumínio, como se mostra na figura. A tensão admissível no alumínio é de 90MPa e a tensão admissível na madeira é de 10MPa. O Módulo de Young para o Alumínio é de 70Gpa e o Módulo de Young para a Madeira é de 12 Gpa. Determine o valor máximo que a carga P pode atingir. P P 15mm 220mm 2.5m 3.0m 2.5m 140mm 15mm Figura 13.7: Viga de Madeira Reforçada com Alumínio Resposta: P8.417kN 2- Considere uma viga de secção composta e considere duas composições possíveis para as secções rectangulares representadas na figura A viga está sujeita a momentos

10 10/11 flectores positivos de 100kN.m. As características dos materiais são EAl 70GPa; EAço 210GPa. Determine as tensões longitudinais máximas em cada um dos materiais da viga. Alumínio 100mm 160mm Aço 100mm160mm 100mm 100mm 60mm Figura Considere uma viga cuja secção é simétrica em relação ao eixo dos e é constituída por três materiais com se representa na figura Calcule as tensões máximas à tracção e compressão no caso da secção estar sujeita a um momento flector de 20kN.m que produ flexão no plano Ox. O material 1 tem um Módulo de Young de 24GPa, o material 2 tem um Módulo de Young de 12 GPa e o material 3 tem um Módulo de Young de 50GPa. Material 1 40mm x 20mm 40mm Material 2 20mm 20mm 20mm Material 3 Figura 13.9

11 11/11 4- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Edilier Editora, 1995, páginas Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.