Sumário: Tensões de Cauchy. Tensões de Piolla Kirchhoff.

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Tensões de Cauchy. Tensões de Piolla Kirchhoff. Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças entre as grandes deformações e as pequenas deformações no contexto da análise de tensões.

2 Forças Superficiais e Forças de Volume Há dois tipos fundamentais de forças a actuarem num sólido, as forças superficiais (forças por unidade de superfície) e as forças de volume (forças por unidade de volume).

3 Tensão Na superfície do sólido V* existem forças superficiais que t n* traduzem a acção de uma parte do sólido sobre a outra. Na superfície considere-se uma área elementar, da*, na vizinhança do ponto P*. A normal à área elementar é designada por S* n* e o vector das forças de interacção na área elementar da* é designado por, força por unidade de superfície. A força total actuante na área elementar da* é designada por t n* da* e não tem necessariamente a direcção da normal à área elementar da*.

4 Lâmina Considere-se uma lâmina do sólido, a qual pode ser considerada obtida seccionando um sólido por dois planos paralelos. A espessura da lamina é considerada pequena quando comparada com as outras dimensões da lamina e é designada por e sendo a dimensão no plano da ordem de grandeza de L,L>>e. 4

5 Lâmina de um sólido de Volume V* 5

6 Equilíbrio de Forças na Lâmina A faceta superior da lamina tem uma normal designada por n* e está sujeita a um campo de forças superficiais designado por t n* e a faceta inferior da lamina tem uma normal designada por n* e está sujeita a um campo de forças superficiais designado por t n*. As áreas totais das facetas superior e inferior são designadas por Ω * e as áreas elementares por dω *. O contorno da lâmina é designado por Γ *e está sujeito a forças designadas por t Γ*. A força de massa por unidade de volume é designada por B*, sendo a força de massa por unidade de área designada por db*. As forças que actuam na lâmina devem estar em equilíbrio estático e consequentemente et + t d Ω * + t d Ω * + eb* d Ω * = 0 Γ* Γ* Ω* n* Ω* n* Ω* 6

7 Teorema Recíproco de Cauchy Considerando que a espessura da lâmina tende para zero, e 0, as forças e t Γ * e e B* tornam-se muito pequenas quando comparadas com as forças t n* e t n* ( ) n* n* t + t d Ω * = 0 Ω * t = t n* n* 7

8 Tetraedro de Cauchy 8

9 Áreas das Faces do Tetraedro e Volume do Tetraedro Os comprimentos dos lados do tetraedro ao longo dos eixos são designados por L*, L* e L* e as áreas das faces contidas nos planos coordenados são designados por A*, A* e A* e têm normais e*, e* e e* como se representa na referida figura. Este tetraedro pode considerar-se obtido a partir de um sólido tridimensional por intercepção com o sólido de três planos de referência e de um plano oblíquo que intercepta os planos de referência segundo AB, BC e AC. A* = L* L* A* = L* L* e A* = L* L* V* = L* L* L* 6 9

10 Equilíbrio Estático A* n* = AB AC = L* L* L* L* e* e* e* e* ( ) ( ) n* A* n* n* = A* e* + A* e* + A* e* com A* = n*. e* A* ( ) i i n* As forças que actuam no tetraedro da figura devem estar em equilíbrio de acordo com a Lei de Newton, no caso de se designar por FM a força de massa, a equação vectorial de equilíbrio estático é: A* t + A* t + A* t + A* t + FM = 0 n* n* 0

11 Equilíbrio Estático Quando se considerar L*, L* e L* 0, o termo que corresponde à força FM tende para zero A* t + A* t + A* t + A* t = 0 n* n* A* t = A* t A* t A* t n* n* ( ) ( ) ( ) A* t = n*e*. t A* n*e*. t A* n*e*. t A*n* n* n* n* n* [. ] [. ] [. ] t = n*e* t + n*e* t + n*e* t n* e* e* e* (.e * ) i t = n* t ou [ ] i i n* i e* i = t n* = n*. e* t i e* = t e* e* i n*

12 Tensor das Tensões de Cauchy [ ] i i t n* = n*. e* t i e* = t e* e* i n* tn* = n* com = t e* i e* i tensor das tensões de Cauchy As componentes do tensor das tensões de Cauchy, s, tem componentes: = e*. e* = e* t e* e* = e* t k ij i j i e* k j i e* k = j

13 Tensor das Tensões de Cauchy

14 Exemplo. O estado de tensão num ponto é = p I, onde p é um escalar. Mostre que não existe tensão de corte em nenhum plano que passe no referido ponto. A normal a um plano que passa pelo ponto é n*, então o vector tensão no referido ponto t n* é: tn* = n* = pin* = p consequentemente a tensão t n* tem a direcção da normal ao plano. Um estado de tensão com estas características é um estado de tensão hidrostático. 4

15 Exemplo. No sistem a de eixos O x* x* x*, o tensor das tensões num certo ponto tem com ponentes M P a a) D eterm ine o vector tensão e a grandeza da tensão norm al no referido ponto e no plano paralelo ao plano b) Se for x * + x * + x * 6 = 0 e* = + + ( e* e* e* ) ' ' e e* = ( e* e* ) determ ine a tensão '. 5

16 Solução Solução: a) O plano x* + x* + x* 6 = 0 tem um versor da normal n* que é: O vector das tensões é: n* = {,, } T ou t n* = n = 0 0 = 0 tn* = [ e* + e* + e* ] MPa 6

17 Solução A grandeza da tensão normal é = n*. tn* = n*. n* ou seja: = 9 9 ( ) = MPa b) Para determinar as componentes da tensão, considere-se a equação.5, ' ' = e*. e ou seja = [ ] 0 0 MPa =

18 Componentes Normal e Tangencial t = + τ n* n* m* = n*. t = n*. n* n* τ m* = n* n* τ= n* n* m* = τ ( n* n* ) 8

19 Estados simples de Tensão = p I = [ e* e* ] [ e* e* e* e* ] =τ + 9

20 VALORES PRINCIPAIS DO TENSOR DAS TENSÕES O Lagrangeano L n*, µ = n*. n* µ n*. n* ( ) ( ) A derivada em ordem a µ é irrelevante uma vez que conduz à restrição e a derivada em ordem a n* conduz ao sistema de equações: n* = µ n* 0

21 Exemplo.4 Considere um estado de tensão num ponto tal que: 0 e determine a) Os valores principais e as respectivas direcções. b) A tensão de corte máxima

22 Solução a) A equação característica é: µ Consequente [ ( ) ( )] µ + µ + + = 0 = µ = + + ( ) + 4 = µ = + ( ) + 4 ( ) = µ = Para obter as direcções principais considera-se o sistema de equações µδ n* = 0 ij ij j 0

23 Solução com µ = ou µ =, este sistema de equação é: ( ) µ n* + n* = 0 ( ) n* + µ n* = 0 µ n* = 0 n* = 0 Nas outras equações fazendo µ n* = obtém se n* =. O vector, µ, 0 não é unitário, e tem dimensão + ( µ ) consequentemente o versor da direcção correspondente é: + ( µ ), µ, 0 com µ = ou.

24 Equações de Equilíbrio O sólido está sujeito a forças superficiais tn* ( x* ) e as forças de massa Bx*, ( ) para que o sólido esteja em equilíbrio é necessário que t ( x* ) da* + B ( x* ) dv* = 0 S* n* V* S n* da + B* ( x* ) dv = 0 V Tendo em conta o teorema da divergência, n * d A* = div S v * para um campo tensorial a equação anterior toma a forma ( ) ( ) div d V* + B* x* d V* = div + B* d V* = 0 V* V* V* dv * * 4

25 Equações de Equilíbrio Equação de Equilíbrio de Forças div + B* = 0 ij, j + B* i = 0 O equilíbrio de momento angular implica que seja: r t da* + r B* dv* = 0 s* n* v* onde r ( x *) representa o vector OP * sendo O a origem do sistema de eixos e P* o ponto cujo vector de posição é x*. 5

26 Equações de Equilíbrio O integral de superfície pode ser convertido num integral de volume considerando um campo vectorial h e calculando o produto escalar ( r n *)h. e integrando ao longo da superfície, ou seja: T ( r n *). hd A* = ( h r). n * d A* = ( h r). n * d A* = s* v* s* T [ ( h r) ] = div dv * * T ou seja atendendo a que div [ ] v v = v div +. v, ( h r) = ( h r) + ( h r) T div d V *. div : d V* V* v* ( h r) ( B* ) ( h r). div + dv* + : dv* = 0 v* V* 6

27 Equações de Equilíbrio h r. div+ B* dv* + : h r dv* = 0 ( ) ( ) ( ) v* V* Tendo em conta a equação de equilíbrio de forças div + B = 0, o º termo da equação anterior é nulo e a equação de equilíbrio de momento T ( h r) dv * = tr ( h r) [ ] dv * = h. [ e * * ] : j e j dv * = v* v* V* 0 e * e * j j = 0 Ou seja ( ) e + ( ) e * + ( ) e * 0 * = 7

28 Resultados Relevantes Fórmula de Cauchy t n* = n * t n * =ij n * j e * i div + B* = 0 Equações de Equilíbrio ij, j + B* i e* i = 0 ( ) = T = ij ji 8

29 º Tensor de Piolla-Kirchhoff t da = t n n* da* 9

30 º Tensor de Piolla-Kirchhoff Fórmula de Cauchy t n* = n * t n *da * = JF t J = det F n da = t n n* da* T n da da= t da * = n *da * = JF n* Relação entre áreas na configuração inicial e deformada T nda t n = P n P = J F T º Tensor de Piolla-Kirchhoff 0

31 Equações de Equilíbrio Fórmulas Relevantes Configuração Inicial Equações de Equilíbrio na Configuração Inicial + t ( x) da B( x) dv 0 P.ndA B( x) = A n V dv= + 0 A V V divpdv+ B V ( x) dv= ( divp+ B) dv= 0 V Fórmula de Cauchy tn = P n t P Equações de Equilíbrio = n e n ij j i ( ) div P + B = 0 Pij, j + Bi ei = 0 PF T = FP T P ij F kj = F ij P kj

32 º Tensor de Piola-Kirchhoff A fim de relacionar as tensões de Cauchy com o º tensor de Piola - Kirchhoff, considere-se a grandeza trabalho virtual, tal que W = Σ : δ EdV = : δe* dv* i V V* onde representa o tensor de Cauchy, δ E * é o incremento linear da deformação de Almansi ou Euler, Σ é o tensor de Piola Kirchhoff e δe é o incremento da deformação de Green.

33 º Tensor de Piola-Kirchhoff W = Σ: δ EdV = : δe* dv* i V V* dv* = J dv = det F dv W = : δ E* dv* = J: δ E* dv = τ: δ E* dv = : δedv i V* V V V Tendo em conta que T - δ * = δ E F EF T - W i = J: δ E* dv= J : δ dv = : dv V F E v F δe portanto = J. F Σ F T Σ T = J F F