MECÂNICA APLICADA II. Enunciados Exames 2003/2004. Enunciados Exames 2004/2005. Resolução dos exames 2004/2005

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA II Engenharia Civil 2º ANO Enunciados Exames 2003/2004 Enunciados Exames 2004/2005 Resolução dos exames 2004/2005 Ano lectivo 2005/2006

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3 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil A 1ª Chamada de Mecânica Aplicada II Data: 20/1/2005 Duração: 60 min. Sem Consulta Nome: Nº Exercício 1 (50%) Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes. Por cada resposta errada será descontado 30% do valor de uma resposta certa. 1 Num meio contínuo as forças, as tensões e as deformações são funções discretas no domínio do corpo. 2 Um material isotrópico é um material que apresenta comportamento idêntico em todos os pontos. 3 Um exemplo de forças de superfície é as forças de inércia. 4 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende da orientação do sistema de eixos mas a sua descrição depende. 5 As componentes ij do tensor das tensões representam as tensões actuantes nas facetas perpendiculares ao eixo i na direcção j. 6 A fórmula de Cauchy permite obter o vector tensão numa faceta genérica conhecendo-se o tensor das tensões. 7 Se numa faceta genérica o vector tensão é perpendicular a essa faceta, então trata-se de uma faceta octaédrica. 8 O tensor das tensões é uma matriz simétrica para garantir o equilíbrio de translação na vizinhança do ponto. 9 Na superfície da parede de um reservatório esférico de parede fina que contenha um fluido sobre pressão, o estado de tensão instalado é esférico (ou hidrostático). 10 Se a deformação é homogénea no corpo, segmentos de recta paralelos mantém-se paralelos após deformação. 11 As componentes de deformação uvw,, representam as componentes do tensor das extensões. 12 Quando na vizinhança de um ponto, as extensões são muito pequenas relativamente à unidade ( ε << 1), é válida a hipótese das pequenas deformações. 13 Os elementos da diagonal do tensor das extensões ( ε ii ) representam variações angulares entre segmentos inicialmente perpendiculares. 14 Os extensómetros eléctricos são utilizados para medir directamente semi-distorções na vizinhança de um ponto.

4 1ª Chamada de Mecânica Aplicada II Data: 20/1/2005 A 15 Um sólido sob um estado plano de deformação deforma-se apenas nesse plano. 16 Numa barra submetida a um estado de tensão uniaxial uniforme, as extensões transversais são independentes das extensões longitudinais. 17 Num corpo elástico, actuado por forças exteriores, se não houver dissipação de energia, o trabalho realizado pelas forças exteriores é igual à variação da energia de deformação armazenada. 18 Num ensaio de tracção uniaxial de um aço macio, a tensão limite de elasticidade é superior à tensão limite de proporcionalidade. 19 Num material dúctil não há extensões residuais. 20 A rotura de um metal por fadiga é dúctil.

5 1ª Chamada de Mecânica Aplicada II Data: 20/1/2005 A Exercício 2 (15%) Justifique sucintamente as respostas às perguntas 2, 6, 14, e 19 do exercício anterior.

6 1ª Chamada de Mecânica Aplicada II Data: 20/1/2005 A Exercício 3 (10%) Calcule a variação de volume de um cubo de aço com arestas de 150 mm no caso de este se encontrar submerso a uma profundidade h = 315m. (Nota: considere a pressão hidrostática igual a γ w hw) w Dados: - aço: E = 210GPa, ν = 0.30, 3 - peso volúmico da água: γ = 10kN m. w (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos)

7 1ª Chamada de Mecânica Aplicada II Data: 20/1/2005 A Exercício 4 (10%) O corpo representado na figura, com comportamento elástico linear, está sujeito a uma tracção tendo ficado com a configuração deformada representada. Considerando todas as dimensões em metros, determine o valor do comprimento L e da tracção. (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos) Dados: E = 100 MPa; ν = 0.20 Configuração inicial 2.00 Configuração Deformada L

8 1ª Chamada de Mecânica Aplicada II Data: 20/1/2005 A Exercício 5 (15%) Considere uma barra prismática, constituída por três materiais isotrópicos distintos (material 1, 2 e 3), solidariamente associados longitudinalmente, sob cargas exteriores (ver figura). Admita que os materiais têm idêntica secção transversal e que o estado de tensão instalado é uniforme. (As juntas de ligação permitem deformações verticais) R R F Mat. 1 Mat. 2 Mat. 3 F R L1 L2 R L3 Estabeleça a expressão que permite determinar o comprimento final da barra, em função das forças F e R.

9 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada 2 Exame 1ª Chamada Data: 20/01/2005 Duração: 1h 30min. Sem Consulta Problema 1 ( 3.0 valores ) Considere o seguinte estado plano de tensão do qual se conhecem as componentes de tensão normais em 3 direcções. y 3 80º x 30º 2 1 = 0 MPa 2 N 1 N = MPa = 44.18MPa 3 N a) (2.0 val.) Determine o tensor das tensões referido ao sistema de eixos [ xy., ] NOTA: Se não resolveu a alínea anterior considere 11 = 40 MPa, 12 = 20 MPa e 22 = 10 MPa. b) (1.0 val.) Defina as componentes do vector normal a uma faceta onde τ = 10 MPa. Problema 2 ( 2.0 valores ) De um estado plano de tensão sabe-se que numa determinada faceta as componentes de tensão valem: y 10 MPa x 4 MPa Sabendo que a tensão tangencial máxima vale 8 MPa e que a normal à referida faceta faz um ângulo inferior a 45º com a tensão principal máxima, determine o valor das tensões principais.

10 Por favor responda a esta pergunta numa folha de exame separada Problema 3 ( 5.0 valores ) Sobre uma placa de aço, sujeita a um estado plano de tensão no plano [ xy,, ] foi posicionada uma roseta de extensómetros conforme a figura. Foram medidas as seguintes extensões nas direcções indicadas: y ε = 1250E 6 a 60º c ε = 1250E 6 b ε = 500E 6 c b 60º a 60º x Características do material da placa E = 210GPa ν = 0.25 a) (2.0 val.) Determine as direcções principais. b) (1.0 val.) Calcule o valor da extensão linear, na direcção z perpendicular ao plano [ xy., ] A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro de um ângulo de 30º como mostra a figura: y I = 400 MPa I = 100 MPa II 30º x = 50 MPa III II c) (2.0 val.) Considerando a actuação simultânea das duas solicitações determine e oriente as tensões principais do estado de tensão resultante.

11 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão Problema 1 a) (igual ao problema I.16 das aulas práticas 2004/2005) São conhecidas as tensões normais em 3 direcções definidas. É pedido o tensor das tensões. Como relacionar tensão normal τ N, direcção e tensor das tensões? n 1º Passo - Determinação do vector tensão ( n) actuante numa faceta n Conhecido o tensor das tensões num determinado referencial e o versor da direcção pretendida, é possível obter o vector tensão actuante nessa faceta através da equação de Cauchy (Sebenta, Cap.I, pág. 17): ( n) = n 2º Passo Determinação da tensão normal τ N A tensão normal τ N é a componente do vector tensão ( n) na direcção da normal n à faceta. Para a determinar basta projectar o vector tensão ao longo da direcção n (Sebenta, Cap.I, pág. 17-A): N ( n ) = n (produto escalar de dois vectores) 3 2 y 80º 30º 1 Direcção 1 Versor da direcção 1 ( n1 x) ( n y) cos <, n1 = cos < 1, cos0º 1 n1 = = cos90º 0 x Vector tensão 1 = n = 0 ( n1 ) = 12 ( n1 ) 11 Tensão normal 1 N ( n1 ) 11 1 = n1 = 0= = Direcção 2 Versor da direcção 2 n 2 ( n2 x) ( n y) cos <, = cos < 2, Vector tensão = n = ( n2 ) Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

12 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão n 2 cos30º = = cos60º Tensão normal = ( n2 ) 12 2 ( n2 ) 12 N = n = = (equação 1) Direcção 3 Versor da direcção 3 Vector tensão n 3 n 3 ( n3 x) ( n y) cos <, = cos < 3, cos110º = = cos20º Tensão normal = n = ( n3 ) = ( n3 ) ( n3 ) 12 N = n3 = = (equação 2) Através das equações 1 e 2, cria-se um sistema de equações lineares: 12.5= = = = 50 MPa Problema 1 b) Não se conhece a faceta onde τ = 10 MPa. É necessário determiná-la através do círculo de Mohr. τ Centro= = = 25 MPa C A θ N ( ) 2 2 Centro Raio= ( ) 2 2 Raio= = 25 MPa 10 2θ = arcsen θ = 11.8º 25 Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

13 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão Para determinar as componentes do vector normal a esta faceta esse vector forma com os eixos: y A, é necessário conhecer os ângulos que x 11.8º n A ( na x) ( n y) cos <, cos = = = cos < A, cos Problema 2 Sabe-se que a tensão tangencial máxima vale 8 MPa, e que se trata de um estado plano de tensão, logo o Raio do círculo de Mohr que representa este estado de tensão vale 8 MPa. τ 10 N Pode-se representar a faceta conhecida num diagrama de Mohr: -4 Não se conhece o valor de 22 nem a posição do centro do círculo de Mohr deste estado plano de tensão, mas sabe-se que a normal a esta faceta faz um ângulo inferior a 45º com a tensão principal máxima. Hipótese 1 Hipótese 2 τ τ C 1 I N 2θ < 90º 1 C 2θ > 90º I N Na hipótese 1 o ângulo formado entre a normal a esta faceta e a tensão principal máxima é inferior a 45º, logo esta é a hipótese correcta. ( ) ( ) ( ) Raio = 11 Centro = 10 C + 4 C = 3.07 MPa I III = C+ R= MPa II = 0 = C R= 4.93MPa Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

14 Problema 3 a) Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão Antes de determinar as direcções principais é necessário conhecer os elementos do tensor das extensões. Conhecem-se três extensões lineares em três direcções distintas, e através delas é possível determinar as componentes do tensor das extensões. (Sebenta, Cap. II, pág. 94) y 60º c y 150º b 60º x c b a 60º a 30º 30º x A extensão linear medida no extensómetro b é a extensão linear de segmentos paralelos ao eixo y, logo: ε22 = ε b = 1250E 6 As extensões medidas nos extensómetros a e c podem ser utilizadas para determinar as restantes componentes do tensor das extensões através de um sistema de equações lineares: 433 εij ( i j) II 2 2 εa = 1250= ε11 cos (30) + 2 ε12 sen(30) cos(30) + ε22 sen (30) 2 2 εc = 500= ε11 cos (150) + 2 ε12 sen(150) cos(150) + ε22 sen (150) = 0.75 ε ε ε11 = 750E 6 500= 0.75 ε ε ε12 = 433E 6 C 2θ I ε ii ε11+ ε Centro = = = ( ) 2 2 ε Centro ε Raio= ( ) 2 2 Raio = = θ = 180 arctan θ = 60º 250 II y I 60º x Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

15 Problema 3 b) Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão A placa de aço encontra-se submetida a um estado plano de tensão em [ xy, ], logo o tensor das tensões terá o seguinte aspecto: [ xyz,, ] = A extensão linear na direcção z, perpendicular ao plano [ xy, ], é a extensão linear ε 33. Para relacionar ε 33 com 33 é necessário recorrer à Lei de Hooke. = λ e+ 2Gε ( ) 0= E 6+ ε ε ε33 = 666.7E e= ε + ε + ε = ε = 2000E 6+ ε ν E λ = = MPa ( 1+ ν) ( 1 2 ν) E G = = MPa 2 1 ( + ν ) Problema 3 c) Solicitação 1 Determinação do tensor das tensões no referencial [ xyz,, ] = λ e+ 2Gε = E E 6= 238MPa = λ e+ 2Gε = E E 6= 322 MPa = 0 = 2 G ε = E 6= 73MPa = = 2 G ε = Solicitação 1 - [ xyz,, ] = MPa Solicitação 2 Determinação do tensor das tensões no referencial [ xyz,, ] O tensor das tensões da segunda solicitação é apresentado nos eixos principais. É necessário conhecer este tensor das tensões no referencial [ xyz,, ] para se poder somar com a solicitação 1. y I 60º x II Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

16 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão 12 τ º I + II Centro= = = 250 MPa 2 2 ( ) Raio = I + II C I N Raio= 150 MPa 11 = C R cos60º = 175 MPa 12 = R sen60º = 130 MPa 22 = C+ R cos60º = 325MPa Solicitação Determinação das tensões principais 203 τ = + = = MPa xyz xyz xyz [,, ] [,, ] [,, ] II C 2θ I N Centro= = = 530 MPa 2 2 ( ) 2 2 Centro Raio= ( ) 2 2 Raio= = 234 MPa θ = 180 arctan θ = 60º 117 II y 60º I x I II = C+ R= 764MPa = C R= 296 MPa III = 50 MPa Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 1ª Chamada

17 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil 2ª Chamada de Mecânica Aplicada II Parte Teórica Data: 1/2/2005 Duração: 60 min. Sem consulta e sem calculadora A Nome: Nº Exercício 1 (50%) Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes. Por cada resposta errada será descontado 30% do valor de uma resposta certa. 1 Os métodos de análise da Mecânica dos Sólidos são válidos para materiais com propriedades ideais como as seguintes: materiais deformáveis, contínuos, homogéneos e isotrópicos. 2 As forças de superfície são forças que exercem a sua acção sobre todo o elemento de volume do sólido. 3 O estado de tensão instalado num ponto exprime-se por uma grandeza tensorial. 4 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado depende do ponto e não depende da orientação do sistema de eixos. 5 A matriz tensor das tensões é uma matriz anti-simétrica. 6 As direcções principais de tensão definem as facetas onde actuam vectores tensão com a componente tangencial máxima. 7 Existe um determinado estado de tensão em que o elipsóide de Lamé se reduz a uma esfera. 8 As curvas Isostáticas definem as direcções onde em cada ponto ocorrem as tensões normais máximas e mínimas. 9 Considere um corpo sujeito a um estado plano de deformação em que o campo de deslocamentos é definido 2 pelas seguintes funções u = C1 x+ C2 y 3 v = C3 x + C4 y. Trata-se de uma deformação homogénea. 10 Se a deformação é homogénea no corpo, o ângulo formado entre dois segmentos de recta concorrentes altera-se após deformação. 11 Em utilizações correntes de engenharia, os materiais sólidos (madeira, aço, betão, etc.) exibem extensões suficientemente grandes para não serem consideradas infinitesimais. 12 Os elementos da diagonal do tensor das extensões ( ε ii ) representam variações angulares entre segmentos inicialmente perpendiculares. 13 Num estado de deformação na vizinhança de um ponto, as raízes da equação característica de deformação representam as extensões principais.

18 2ª Chamada de Mecânica Aplicada II Parte Teórica Data: 1/2/2005 A 14 Para caracterizar o estado plano de deformação num ponto, basta instalar dois extensómetros em direcções perpendiculares. 15 O modelo de comportamento elástico linear pressupõe que há uma relação de proporcionalidade entre a tensão e a velocidade de deformação. 16 Um sólido sob um estado plano de tensão deforma-se apenas nesse plano de tensão. 17 Um material dúctil apresenta deformações plásticas pronunciadas, geralmente muito superior à deformação elástica, antes de entrar em rotura. 18 Se num ensaio de tracção uniaxial de um aço macio se ultrapassar a tensão limite de proporcionalidade, a deformação é recuperável. 19 Num material frágil as extensões plásticas são praticamente nulas. 20 Uma deformação por fluência é uma deformação instantânea.

19 2ª Chamada de Mecânica Aplicada II Parte Teórica Data: 1/2/2005 A Exercício 2 (15%) Justifique sucintamente as respostas às perguntas 3, 12, 14 e 20 do exercício anterior.

20 2ª Chamada de Mecânica Aplicada II Parte Teórica Data: 1/2/2005 A Exercício 3 (10%) O tanque de ar comprimido indicado é fabricado a partir de uma chapa de 6 mm de espessura e soldada ao longo de uma hélice que forma um ângulo β = 30º com a horizontal. Sabendo que a tensão normal admissível no cordão de soldadura é 75 MPa, determine a máxima pressão interna a que o tanque pode ser submetido. pr t 1 = ; 2 = (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos) pr 2t

21 2ª Chamada de Mecânica Aplicada II Parte Teórica Data: 1/2/2005 A Exercício 4 (10%) Considere uma barra prismática, de secção transversal A, sob um estado de tensão de tracção uniforme. 2 n F P α 1 F Mostre que, independentemente da orientação da faceta, o vector tensão está dirigido segundo o eixo da peça.

22 2ª Chamada de Mecânica Aplicada II Parte Teórica Data: 1/2/2005 A Exercício 5 (15%) Represente graficamente os seguintes estados de tensão planos. > 1 2

23 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada 2 Exame 2ª Chamada Data: 01/02/2005 Duração: 1h 30min. Sem Consulta Problema 1 ( 3.5 valores ) Considere o estado de tensão representado na figura: x 3 [Mpa] x B x 1 x 2 x 1 A 30º C a) (0.5 val.) Determine o tensor das tensões referido ao sistema de eixos [,, ] x x x D x 2 b) (1.5 val.) Determine graficamente o tensor das tensões referido ao sistema de eixos principais de tensão. c) (0.5 val.) Determine a tensão normal actuante na faceta ABCD. d) (1.0 val.) Represente um elemento de volume tridimensional com as tensões que o actuam orientado segundo os eixos ' ' ' x1, x 2, x 3 sentido horário em torno do eixo x 3. que se obtém de [,, ] x x x por rotação de 40º no Problema 2 ( 2.0 valores ) Considere o estado plano de tensão no ponto P definido no referencial [,, ] tensor: Sabendo que : = 40 b a c [ MPa] - os valores das tensões principais são 80 e 20 MPa, - a, b e c são positivos Determine os valores das constantes a, b e c. Ox x pelo seguinte 1 2

24 Problema 3 ( 4.5 valores ) A placa representada na figura foi sujeita a um campo de deformações plano e homogéneo, tendo ficado com a configuração deformada representada. Essa placa é constituída por um material com comportamento elástico linear com as seguintes características E = 30GPa, ν = 0.3. y y b m m b m m a a 40º x 40º x Configuração inicial Configuração Deformada a) (2.0 val.) Determine o tensor das extensões referido ao sistema de eixos [ xyz.,, ] b) (0.5 val.) Determine o valor de zz do estado de tensão que provoca a deformação indicada. Devido a uma 2ª solicitação mediram-se as seguintes extensões nas direcções indicadas: y ε = 2E 3 a b c 45º ε b = 0 ε = 1E 3 c a x c) (2.0 val.) Considerando a actuação simultânea das duas solicitações, determine e oriente as tensões principais do estado de tensão resultante.

25 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão Problema 1 a) x 1 x 2 x 3 [,, ] = Problema 1 b) Uma vez que τ12 = τ21 = τ32 = τ23 = 0, a direcção x 2 é principal, logo 20 MPa é uma tensão principal. Será necessário determinar as duas tensões principais desconhecidas, e estas ocorrem no plano formado pelos eixos x 1 e x 3 (porque x 2 é uma direcção principal). Recorrendo ao círculo de Mohr: [ x, x ] = τ 1 2θ ε11+ ε Centro= = = 10 MPa 2 2 ( ) 2 2 ε Centro ε Raio= II 5 C 15 I N ( ) 2 2 Raio= = 25.5 MPa θ = 180 arctan θ = 50.65º 5 III I = C+ R= 35.5MPa II = 20MPa = C R= 15.5MPa II X 3 I 50.65º x 1 Problema 1 c) x 3 O versor da faceta ABCD é paralelo ao plano formado pelos eixos x 2 e x 3. A x 1 30º B C 90º D x 2 ( n ABCD ) ( nabcd x1 ) ( ABCD 2 ) ( n x ) cos <, cos90º 0 nabcd = cos < n, x = cos60º = 0.5 cos < ABCD, 3 cos30º ( n) = n ABCD = 10 N = n= MPa Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 2ª Chamada

26 Problema 1 d) ' x 1 40º x 1 Verificações a ser feitas: Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão x x ' Simetria do tensor das tensões OK! cos A = cos cos - 1º Invariante = = 40 MPa OK! ' x 2 x 2 ' ' ' ( n ^ n ) cos( n ^ n ) cos( n ^ n ) ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n1 ^ n2 cos n2 ^ n2 cos n3 ^ n2 ' ' ' n ^ n cos n ^ n cos n ^ n 1 cos40 cos50 cos90 A = cos130 cos40 cos90 cos90 cos90 cos T ' = A A= x [Mpa] x 1 x 2 Problema 2 +a τ 1 I + II Centro = = = II C I N Raio = = a + 10 = R a= 28.3MPa -a 2 Problema 3 a) É apresentada a configuração inicial e deformada de uma placa rectangular. Nota-se na configuração deformada que os segmentos inicialmente rectos se mantêm rectos, isto é, a placa não sofre distorção. Se não existe distorção entre as direcções a e b, estas são direcções principais. Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 2ª Chamada

27 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão Direcção a L L final = 5 m L = = 0.002m = 5.002m inicial Direcção b L L inicial final = 2 m L = = 0.006m = 1.994m ε a = = 4E 4 ε b = = 30E ε = 4E 4 ε = 0 ε = 30E 4 I II III Determinação do tensor das tensões no referencial [ xyz,, ] 1 ε ij εaa + εbb 4 30 Centro = = = º ( ) 2 2 ε Centro ε Raio= b C 4 a ε ii ( ) 2 2 Raio = 4 ( 13) + 0 = 17 ε11 = C+ R cos80º = 10E 4 ε12 = R sen80º = 16.7E 4 ε 22 = C R cos80º = 16E 4 Problema 3 b) = λ e+ 2Gε zz zz ( ) zz = E zz = 45MPa e= ε11 + ε22 + ε33 = 10E 4 16E 4= 26E 4 ν E λ = = MPa ( 1+ ν) ( 1 2 ν) E G = = 11538MPa 2 1 ( + ν ) Problema 3 c) Antes de determinar as direcções principais é necessário conhecer os elementos do tensor das extensões. Conhecem-se três extensões lineares em três direcções distintas, e através delas é possível determinar as componentes do tensor das extensões. (Sebenta, Cap. II, pág. 94) Solicitação 2 - Determinação do tensor das extensões no referencial [ xyz,, ] y b a c 135º x ε ij A extensão linear medida no extensómetro b é a extensão linear de segmentos paralelos ao eixo y, logo: ε22 = ε b = 0 A extensão linear medida no extensómetro a é a extensão linear de segmentos paralelos ao eixo x, logo: ε11 = ε a = 2E 3 Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 2ª Chamada

28 Instituto Politécnico de Bragança - Escola Superior de Tecnologia e Gestão A extensão medida no extensómetro c pode ser utilizada para determinar a componente ε 12 do tensor das extensões através da seguinte fórmula: 2 2 εc = 1E 3= ε11 cos (135) + 2 ε12 sen(135) cos(135) + ε22 sen (135) ( ) 1E 3= 2E ε ε = Solicitação Determinação das extensões principais ε ε [ ] = [ ] +,,,, [,, ] = = ( E 4 xyz xyz xyz ) ε ij ε11+ ε Centro = = = II -16 C 10 2θ 10 I ε ii ( ) 2 2 ε Centro ε Raio= ( ) 2 2 Raio = 10 ( 3) = 21.2 II 2 y I θ = arctan θ = 26º 13 ε I = C+ R = 18.2E 4 ε II = 0 ε III = C R = 24.2E 4 26º x Solicitação Determinação das tensões principais = λ e+ 2Gε = ( 6E 4) (18.2E 4) = 31.6MPa I 22 = λ e= 10.4 MPa I = λ e+ 2Gε = ( 6E 4) ( 24.2E 4) = 66.2MPa III I Mecânica Aplicada 2 - Resolução do Exame da 2ª Chamada

29 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil A Recurso de Mecânica Aplicada II Data: 23/2/2005 Duração: 60 min. Sem Consulta Nome: Nº Exercício 1 (50%) Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes. Por cada resposta errada será descontado 30% do valor de uma resposta certa. 1 O estado de tensão instalado num ponto fica completamente definido se forem conhecidas as tensões em três planos mutuamente ortogonais. 2 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende do ponto considerado mas unicamente da orientação do sistema de eixos. 3 A fórmula de Cauchy permite obter directamente o tensor das tensões em sistemas de eixos diferentes. 4 As tensões principais correspondem aos valores próprios da matriz tensor das tensões. 5 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, as direcções principais de tensão não dependem do ponto considerado. 6 Se numa faceta genérica o vector tensão é perpendicular a essa faceta, então trata-se de uma faceta octaédrica. 7 No estudo do estado de tensão a mudança do sistema de eixos não altera a descrição do estado de tensão principal. 8 As três raízes da equação característica correspondem aos três invariantes do tensor das tensões. 9 As deformações homogéneas num ponto pressupõem a ausência de distorções na vizinhança do ponto. 10 Se um segmento de recta sofrer uma extensão ε = , o seu comprimento diminui. 11 As grandezas ε xx, εyy, ε zz são suficientes para definir a forma e as dimensões de um paralelepípedo rectângulo elementar após deformação homogénea. 12 Quando na vizinhança de um ponto, as extensões são muito pequenas relativamente à unidade ( ε ij << 1) existe rotação de corpo rígido., não 13 Para existirem deformações homogéneas na vizinhança de um ponto, não têm de existir deformações homogéneas no corpo.

30 Recurso de Mecânica Aplicada II Data: 23/2/2005 A 14 A semi-distorção ε xy representa metade da variação de ângulo entre direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y. 15 A Lei de Hooke estipula que a extensão é directamente proporcional à tensão que a provoca. 16 O coeficiente de Poisson representa a relação entre a extensão longitudinal e as extensões angulares. 17 As distorções entre as direcções principais de tensão são máximas. 18 Um exemplo de material frágil é o aço macio. 19 Num ensaio de tracção uniaxial de um material frágil, a tensão última é superior à tensão de rotura. 20 Uma deformação por fluência é parcialmente recuperável.

31 Recurso de Mecânica Aplicada II Data: 23/2/2005 A Exercício 2 (20%) Justifique sucintamente as respostas às perguntas 1, 6, 16 e 19 do exercício anterior.

32 Recurso de Mecânica Aplicada II Data: 23/2/2005 A Exercício 3 (10%) Considere as seguintes propriedades mecânicas de três materiais: Material A: E = 200 GPa ν = 0.5 Material B: E = 200 GPa ν = 0.1 Material C: E = 100 GPa ν = 0.3 Admitindo que os três materiais estão sujeitos a uma tracção uniaxial indique, justificando, qual sofre a maior extensão longitudinal, e qual sofre a menor extensão transversal (em valor absoluto).

33 Recurso de Mecânica Aplicada II Data: 23/2/2005 A Exercício 4 (10%) A cisterna de aço representada encontra-se sujeita a uma pressão interna e tem 750 mm de diâmetro interior, e a sua parede tem 10 mm de espessura. O cordão de soldadura faz um ângulo de 50º com o eixo longitudinal da cisterna conforme indicado na figura. Sabendo que a tensão tangencial admissível no cordão de soldadura é 50 MPa, determine a máxima pressão interna a que a cisterna pode ser submetida. pr t 1 = ; 2 = (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos) pr 2t

34 Recurso de Mecânica Aplicada II Data: 23/2/2005 A Exercício 5 (10%) Esboce o comportamento reológico dos seguintes modelos físicos: Comportamento elástico linear Comportamento elástico não linear Comportamento elástico perfeitamente plástico Comportamento plástico

35 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada 2 Exame Recurso Data: 23/02/2005 Duração: 2 horas Sem Consulta Problema 1 ( 4.0 valores ) Devido a uma determinada solicitação (solicitação 1), está instalado um estado plano de tensão na vizinhança de um ponto de um corpo. Deste estado de tensão conhecem-se a tensão na faceta a e a tensão normal na faceta b, de acordo com a figura seguinte. y 36.87º τ (b) N (b) Faceta b Faceta a (a) 36.87º Tensões nas facetas a e b: Faceta a: (a) = 37.5 MPa Faceta b: N (b) = 58 MPa (tensão normal) τ (b) =? x a) (1.5 val.) Determine o tensor das tensões referido ao sistema de eixos [x, y]. b) (0.5 val.) Determine o valor da tensão tangencial τ (b), referente à faceta b. Nota: Se não resolveu a alínea a) considere, para as alíneas c) e d), o seguinte tensor de tensões, no referencial [x, y]: [ MPa] ( xy, ) = c) (1.0 val.) Determine graficamente e oriente as tensões principais no plano [x, y]. d) (1.0 val.) Devido a uma 2ª solicitação, foi instalado um estado de tensão caracterizado pelo seguinte tensor de tensões, no referencial [x, y, z]: ( x, y, z) = [ MPa] (nota: z é o eixo perpendicular ao plano [x, y] ) Determine o valor da tensão tangencial máxima tendo em conta a actuação simultânea das duas solicitações.

36 Problema 2 ( 2.5 valores ) Considere a seguinte faceta no plano [ x, y ] de um estado de tensão num corpo de material isotrópico e submetido a um estado de deformação em que ε z = 0. y 12.5º I Dado E = 30 GPa e ν = 0.20 determine o tensor das extensões principais [MPa] x Problema 3 ( 3.5 valores ) A placa representada na figura (a), com ν=0.2 e E=200 GPa, é sujeita a um campo de deformações homogéneo plano ficando com a forma indicada na figura (b). Considere todas as unidades em metros. Determine: (0.001;1.002) D C B (1.001;0.002) A (a) (b) a) (1.0 val.) As componentes do tensor das deformações infinitesimais. b) (0.5 val.) As coordenadas do vertice D na configuração deformada. NOTA: Se não resolveu as alíneas anteriores considere: ε 11 = 0.001, ε 12 = e ε 22 = c) (0.5 val.) A extensão sofrida pela fibra T que faz inicialmente um ângulo de 50º no sentido horário com o eixo x 1. d) (1.0 val.) Determine graficamente as direcções entre as quais não existem variações angulares. e) (0.5 val.) As componentes do tensor das tensões.

37 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 17/11/2004 Duração: 45 min. Sem Consulta Nome: Nº Exercício 1 (50%) Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes. Por cada resposta errada será descontado metade do valor de uma resposta certa. 1 Os métodos de análise da Mecânica dos Sólidos são válidos para materiais com propriedades ideais como as seguintes: materiais indeformáveis, contínuos, homogéneos e isotrópicos. 2 Num meio contínuo as forças, as tensões e as deformações são funções discreta. 3 Um material isotrópico é um material que apresenta comportamento idêntico em todos os pontos. 4 As forças de superfície são forças que exercem a sua acção sobre todo o elemento de volume do sólido. 5 O estado de tensão instalado num ponto fica completamente definido se forem conhecidas as tensões em três planos mutuamente ortogonais. 6 O estado de tensão instalado num ponto fica completamente definido se forem conhecidas nove componentes do tensor das tensões, seis normais e três tangenciais. 7 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende do ponto considerado mas unicamente da orientação do sistema de eixos. 8 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, o estado de tensão instalado não depende da orientação do sistema de eixos mas a sua descrição depende. 9 As componentes direcção j. ij do tensor das tensões representam as tensões actuantes nas facetas paralelas ao eixo i, segundo a 10 A fórmula de Cauchy permite obter o tensor das tensões em sistemas de eixos diferentes a partir de um sistema de eixos determinado. 11 A fórmula de Cauchy permite obter o vector tensão numa faceta genérica conhecendo-se o tensor das tensões. 12 As tensões principais correspondem aos vectores próprios da matriz tensor das tensões. 13 As direcções principais de tensão definem as facetas onde actuam vectores tensão com a componente tangencial máxima. 14 Num corpo em equilíbrio sob a acção de forças de superfície, as direcções principais de tensão não dependem do ponto considerado. 15 Existe um determinado estado de tensão em que o elipsóide de Lamé se reduz a uma esfera. 16 Se numa faceta genérica o vector tensão é perpendicular a essa faceta, então trata-se de uma faceta octaédrica. 17 O tensor das tensões é uma matriz simétrica porque é necessário garantir o equilíbrio de translação na vizinhança do ponto.

38 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 17/11/2004 Duração: 45 min. Sem Consulta 18 No estudo do estado de tensão a mudança do sistema de eixos altera a descrição do estado de tensão principal. 19 As três raízes da equação característica correspondem aos três invariantes do tensor das tensões. 20 As curvas Isostáticas definem em cada ponto as direcções onde ocorrem as tensões normais máximas e mínimas. Exercício 2 (10%) Represente num elemento de volume o seguinte estado de tensão: [ 1, 2, 3] = x x x

39 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 17/11/2004 Duração: 45 min. Sem Consulta Exercício 3 (20%) Justifique sucintamente as respostas às perguntas 12, 16 e 19 do exercício 1.

40 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 17/11/2004 Duração: 45 min. Sem Consulta Exercício 4 (20%) Determine e oriente as tensões principais do seguinte estado plano de tensão (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos): [ x1, x2, x3] =

41 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 15/12/2004 Duração: 45 min. Sem Consulta Nome: Nº Exercício 1 (50%) Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações seguintes. Por cada resposta errada será descontado 30% do valor de uma resposta certa. 1 Considere um corpo sujeito a um estado plano de deformação em que o campo de deslocamentos é definido pelas seguintes funções u = C1 x y v = C2 x + y. Trata-se de uma deformação homogénea. 2 As deformações homogéneas num ponto pressupõem a ausência de distorções na vizinhança do ponto. 3 Se a deformação é homogénea no corpo, segmentos de recta paralelos mantém-se paralelos após deformação. 4 Se um segmento de recta sofrer uma extensão ε = , o seu comprimento aumenta. 5 As componentes de deformação uvw,, representam as componentes do tensor das extensões. 6 Em utilizações correntes de engenharia, os materiais sólidos (madeira, aço, betão, etc.) exibem extensões suficientemente grandes para não serem consideradas infinitesimais As grandezas ε xx, εyy, ε zz são suficientes para definir a forma e as dimensões de um paralelepípedo rectângulo elementar após deformação homogénea. Quando na vizinhança de um ponto, as extensões são muito pequenas relativamente à unidade ( ij 1) não existe rotação de corpo rígido. ε <<, Os elementos da diagonal do tensor das extensões ( ε ii ) representam variações angulares entre segmentos inicialmente perpendiculares. 10 Para existirem deformações homogéneas na vizinhança de um ponto, têm de existir deformações homogéneas no corpo. 11 A semi-distorção ε xy representa a redução de ângulo entre direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y. 12 Num estado de deformação na vizinhança de um ponto, as raízes da equação característica de deformação representam as direcções principais de deformação.

42 Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 15/12/ Para caracterizar o estado plano de deformação num ponto, basta instalar dois extensómetros em direcções perpendiculares. 14 Os extensómetros eléctricos são utilizados para medir directamente semi-distorções na vizinhança de um ponto. 15 A Lei de Hooke estipula que a extensão é inversamente proporcional à tensão que a provoca. 16 O modelo de comportamento elástico linear pressupõe que há uma relação de proporcionalidade entre a tensão e a velocidade de deformação. 17 Um sólido sob um estado plano de tensão deforma-se apenas nesse plano de tensão. 18 O coeficiente de Poisson representa a relação entre a extensão longitudinal e as extensões angulares. 19 Numa barra submetida a um estado de tensão uniaxial uniforme, as extensões transversais são independentes das extensões longitudinais. 20 As distorções entre as direcções principais de tensão são máximas.

43 Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 15/12/2004 Exercício 2 (10%) O corpo representado na figura, com comportamento elástico linear, está sujeito a uma tracção = 10 MPa tendo ficado com a configuração deformada representada. Considerando todas as dimensões em metro, determine o valor do módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson do material. Configuração inicial Configuração Deformada

44 Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 15/12/2004 Exercício 3 (20%) Justifique sucintamente as respostas às perguntas 5, 7, 11 e 15 do exercício 1.

45 Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 15/12/2004 Exercício 4 (10%) A figura representa um provete de rocha que vai ser submetido a um ensaio triaxial para determinação da sua resistência sendo p a pressão lateral a aplicar ao provete. Admitindo que o estado de tensão é uniforme, escreva a expressão que lhe permite determinar o comprimento final na direcção y do provete. y L p p x z :

46 Mini-Teste de Mecânica Aplicada II Data: 15/12/2004 Exercício 5 (10%) Determine e oriente as extensões principais do seguinte estado plano de deformação (apresente apenas as expressões que lhe permitem determinar os valores pedidos): ε [ x, x, x ] =

47 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada II - Parte teórica Data: 19/01/2004 Duração: 30 min. Sem Consulta Nome: Nº Parte 1 Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções disponíveis. Consideram-se certas (0.8 valores) apenas as respostas com todas as opções correctamente classificadas. 1 Num sólido sob forças exteriores, o estado de tensão num ponto caracteriza-se com o conhecimento: a) dos vectores de tensão actuantes em quaisquer facetas ortogonais na vizinhança do ponto b) dos vectores de tensão actuantes em facetas principais na vizinhança do ponto c) dos vectores de tensão actuantes em quaisquer facetas (conhecidas) na vizinhança do ponto 2 As tensões principais caracterizam-se por: a) vectores paralelos às respectivas direcções principais b) vectores ortogonais às respectivas direcções principais c) vectores que actuam tangencialmente às facetas principais 3 As direcções principais definem-se analiticamente através de vectores. Para as caracterizar é fundamental o conhecimento: a) da direcção e do sentido dos vectores b) apenas a direcção dos vectores c) apenas do módulo dos vectores 4 As deformações homogéneas num ponto pressupõem: a) a ausência de distorções na vizinhança do ponto b) um campo de deslocamentos linear na vizinhança do ponto c) deformações homogéneas no corpo 5 Os extensómetros elétricos são utilizados para medir directamente: a) tensões tangenciais em determinadas direcções na vizinhança de um ponto b) extensões lineares na vizinhança de um ponto c) distorções na vizinhança de um ponto 6 A cedência dos materiais dúcteis, segundo os critérios estudados, está associada à: a) componente isotrópica do tensor das tensões b) componente tangencial do tensor das tensões c) tensão principal máxima instalada no sólido Parte 2 (3.2 valores) Responda no verso do enunciado. Considere uma barra prismática, constituída por dois materiais isotrópicos distintos (material 1 e 2), solidariamente associados longitudinalmente, sob cargas exteriores (ver figura). Admita que os materiais têm idêntica secção transversal e que o estado de tensão instalado é uniforme. Estabeleça a expressão que permite determinar o comprimento final da barra, em função das forças F e R. Bom Trabalho!

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49 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada II Exame 1ª Chamada Data: 19/01/2004 Duração: 1h 30min. Sem Consulta Problema 1 ( 6.5 valores ) Considere o seguinte campo de tensões: [MPa] = x x 10 = x = x 13 = 23 = 0 = Para o ponto com coordenadas x = 1 1, x = 1 2 e x = 3 3. a) Represente num elemento cúbico elementar as tensões actuantes nesse ponto. ( 1.5 valores ) b) Calcule as tensões principais. ( 3.0 valores ) c) Determine a orientação de uma faceta no plano X 1, X 2 onde ocorre a relação N = 1 τ. ( 2.0 valores ) Problema 2 ( 3.5 valores ) Considere a seguinte faceta de um estado plano de tensão: y 10 5 I x [MPa] Sabendo que o ângulo que a normal a esta faceta faz com a direcção principal máxima é de 30º no sentido anti-horário. Determine as tensões principais.

50 Problema 3 ( 10.0 valores ) A placa quadrada ABCD transformou-se no losango A B C D após ter sido submetida a um campo de deformações homogéneo e plano (ver figura abaixo). Características do material da placa: E = 30 GPa? = 0,2 a) Sabendo que π 3 θ = Justifique. (1.5 valores) rad, determine as componentes do tensor das deformações. NOTA: se não conseguir resolver a alínea a) considere o seguinte tensor das deformações nas alíneas seguintes: ε = A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro do ângulo de 30ºcomo mostra a figura: ' 11 ' 22 ' 12 ' 33 = 400MPa = 400MPa = 200MPa Sabendo que a este estado de tensão corresponde um estado plano de deformação em que a deformação nula ocorre segundo a direcção 3, determine: b) O valor de s 33. (2.0 valores) =? Nas questões seguintes considere a actuação simultânea das duas solicitações. c) Qual o valor das extensões principais no plano [0, X1, X2]? (4.5 valores) d) Qual a orientação das facetas em que a distorção é máxima? (2.0 valores)

51 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada II - Parte teórica Data: 3/02/2004 Duração: 30 min. Sem Consulta Nome: Nº Parte 1 Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções disponíveis. Consideram-se certas (0.8 valores) apenas as respostas com todas as opções correctamente classificadas. 1 De uma forma genérica, para um sólido sob forças exteriores, o tensor das tensões representa: a) a tensão numa faceta de orientação conhecida b) o estado de tensão num ponto c) o estado de tensão no sólido 2 As direcções principais de tensão: a) definem as facetas onde actuam vectores tensão com a componente normal nula b) definem os únicos sistemas de eixos de referência nos quais se pode descrever o estado de tensão c) definem a orientação das facetas com valores extremos das tensões tangenciais 3 Um sólido submetido a um estado de deformação uniaxial implica: a) duas extensões principais não-nulas b) um estado de tensão triaxial c) um estado de tensão simples 4 Considere um segmento de comprimento inicial dl o, antes de deformado, e comprimento final dl. A relação e = (dl-dl o )/dl o, designa-se por: a) distorção b) extensão angular c) extensão linear uniforme d) rotação infinitésimal do segmento dl o 5 Suponha uma barra prismática constituída por um material isotrópico, com E?0 e?=0.5, sob um estado de compressão simples na direcção longitudinal. Nestas condições pode afirmar-se que: a) as extensões longitudinais são independentes do coeficiente de Poisson b) a componente isotrópica do tensor das extensões é nula c) as extensões transversais dependem das extensões longitudinais 6 As leis constitutivas dos materiais são: a) as relações entre as suas constantes elásticas b) as leis que definem as superfícies de cedência (ou de rotura) dos materiais c) as relações entre as tensões e as extensões Parte 2 (3.20 valores) Responda no verso. Considere a placa representada na figura em equilíbrio sob a tensão aplicada nas extremidades.

52 a) Estabeleça a relação entre as tensões a e b. b) Represente qualitativamente as isostáticas de tensão na placa. c) Assinale qualitativamente as direcções principais no ponto A. Bom Trabalho!

53 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada II Exame 2ª Chamada Data: 03/02/2004 Duração: 1h 30min. Sem Consulta Problema 1 ( 4.0 valores ) Considere o seguinte estado plano e uniforme de tensão: a 1 x2 τ 3 1 x1 a) Determine o valor de a. Justifique. ( 0.5 valores ) a [MPa] b) Determine o tensor das tensões segundo os eixos [O,x 1,x 2 ]. ( 2.0 valores ) (caso não tenha resolvido a alínea anterior considere 22 = 5.5MPa ) c) Calcule as tensões e direcções principais. ( 1.5 valores ) Problema 2 ( 2.0 valores ) Considere a seguinte faceta de um estado plano de tensão: y 5 10 x [MPa] Sabendo que: - a tensão tangencial máxima é igual ao dobro da tensão tangencial actuante na faceta referida. - a tensão normal na faceta onde actua max τ é maior que 10 MPa. Determine as tensões principais.

54 Por Favor responda SEPARADAMENTE a este exercício Problema 3 ( 6.0 valores ) No ponto A da superfície de um corpo isotrópico (E = 30 GPa;? = 0,2) onde se observa um estado plano de deformação colocaram-se extensómetros com a orientação indicada na figura abaixo. Para uma determinada solicitação mediram-se as seguintes extensões. Solicitação 1 e b = 50x10-6 e c = -100x10-6 e d = 50x10-6 a) Que valor deveria ser lido no extensómetro a? ( 1.2 valores ) b) Determine o tensor das tensões associado a este estado de deformação. ( 1.8 valores ) Uma outra solicitação provoca, no mesmo ponto A, um outro estado plano de deformação onde se conhecem as seguintes extensões (medidas nos extensómetros da figura anterior): Solicitação 2 e a = 100x10-6 e b = 200x10-6 e c = -40x10-6 c) Determine as tensões principais e respectivas orientações para a actuação simultânea das duas solicitações. ( 3.0 valores ) Bom Trabalho.

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61 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada II - Parte teórica (Época de recurso) Data: 21/02/2004 Duração: 30 min. Sem Consulta Nome: Nº Parte 1 Responda classificando com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções disponíveis. Consideram-se certas (0.8 valores) apenas as respostas com todas as opções correctamente classificadas. 1 O tensor das tensões é uma matriz simétrica. Porquê? a) porque as facetas tanto podem ser positivas como negativas b) para garantir o equilíbrio de translação da vizinhança do ponto c) para garantir o equilíbrio de rotação da vizinhança do ponto 2 No estudo do estado de tensão, a mudança do sistema de eixos (transformação ortogonal): a) altera a descrição do estado de tensão b) altera as facetas de referência para descrição do estado de tensão c) altera as direcções principais de tensão 3 As relações deformação-deslocamento podem descrever-se através da relação: ε Em que condições é razoável utilizar esta relação? a) quando as deformações dos sólidos são homogéneas b) na hipótese dos pequenos deslocamentos c) apenas no estudo de estados planos de deformação 4 A distorção,? xy, num ponto representa: a) a rotação infinitesimal do ponto no plano x-y b) a variação de ângulo entre as direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y c) o ângulo interno entre as direcções inicialmente paralelas aos eixos x e y 5 Um sólido isotrópico submetido a um qualquer estado plano de tensão: a) encontra-se num estado plano de deformação b) tem duas das tensões principais iguais c) tem as três extensões principais iguais ij 1 u = 2 x i j u + x i j. 6 As teorias para verificação da segurança à cedência (ou à rotura) dos sólidos, recorrem a uma tensão equivalente ou tensão de comparação. Este parâmetro representa: a) uma estimativa da tensão de cedência (ou de rotura) do material b) uma combinação das tensões instaladas, em facetas na vizinhança do ponto, comparável com a tensão de cedência do material c) a tensão principal máxima instalada no sólido Parte 2 (3.20 valores) Responda no verso. Numa placa sob estado plano e uniforme de deformação, conhecem-se duas extensões principais (e I =1E-3 e e II =0.5E-3). Se desenharmos sobre a placa uma circunferência com 2 cm de raio, esta transforma-se, em consequência da deformação sofrida pela placa, numa elipse. Nestas condições estime os semi-eixos da elipse. Que pode concluir relativamente às direcções principais de deformação? Bom Trabalho!

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63 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Curso de Engenharia Civil Exame de Mecânica Aplicada II Exame Recurso Data: 21/02/2004 Duração: 1h 30min. Sem Consulta Problema 1 ( 3.0 valores ) Considere o seguinte estado plano e uniforme de tensão: x2 100 MPa x1 a) Sabendo que = MPa, calcule as restantes componentes do tensor das tensões. (1.0 valor) Nota: se não resolveu a alínea anterior, considere = MPa e 150MPa 12 =. b) Determine graficamente as tensões principais e as direcções principais. (1.0 valor) c) Defina as componentes dos vectores normal às facetas onde τ = +100MPa. (1.0 valor) Problema 2 ( 3.0 valores ) Sabendo que : - num estado plano de tensão existem duas facetas que se encontram submetidas ao corte puro, - nessas facetas τ = 5MPa, - essas facetas fazem entre si um ângulo de 20º, - o centro do círculo de Mohr que representa este estado plano de tensão encontra-se na parte positiva do eixo das abcissas. Determine as tensões principais.

64 Problema 3 ( 6.0 valores ) Devido a uma solicitação introduz-se na placa representada na figura o seguinte campo de tensões: s 11 =2.x 1.x 2 MPa s 12 =-x 1 2.x 2 MPa s 22 = x 1 2.x 2 MPa s 13 = s 23 = s 33 = 0 (x 1 e x 2 em cm) (dimensões em cm) E = 30 GPa? = 0,2 a) Determine o valor da tensão tangencial máxima que ocorre no ponto P (de coordenadas x 1 =2 cm e x 2 =1 cm), no plano [1,2]? ( 0.6 valores ) Devido a uma 2ª solicitação mediram-se no ponto P as seguintes extensões segundo as direcções a, b e c indicadas na figura. e a = 16 x 10-6 ; e b = 9 x 10-6 ; e c = 17 x 10-6 ; Sabe-se que ao estado de deformação indicado corresponde um estado plano de tensão (a tensão principal nula é segundo a direcção 3). Considere, para a resolução das alíneas seguintes, a acção simultânea das duas solicitações. b) Determine o valor de e 33. ( 2.4 valores ) c) Determine as tensões principais e respectivas orientações.( 1.5 valores ) d) Determine o valor da distorção máxima no plano [1,2]. Em que direcção ocorre? ( 1.5 valores ) Bom Trabalho.