MECÂNICA APLICADA II

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1 Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA II Engenharia Civil º ANO EXERCICIOS PRÁTICOS Ano lectivo 005/006

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3 Ano lectivo: 005/006.º semestre MECÂNICA APLICADA II I - Teoria do estado de tensão I. - Uma barra, com a secção quadrada de 4040 mm, está submetida a uma força de tracção de 6 kn, conforme se representa na figura. Junta colada Secção mm Nestas condições determine: a) a orientação α a dar a uma junta de colagem de forma a que a tensão normal não eceda N/mm. b) qual a tensão tangencial correspondente? I. - O estado de tensão num ponto referido a um referencial [,, ] das tensões: é dado pelo seguinte tensor [MPa] a) Represente um elemento de volume no ponto, orientado segundo os eios, com as tensões que o actuam. b) Calcule as tensões principais e as direcções principais (sua orientação em relação aos eios [,, ] ). 3 c) Calcule a tensão normal e a tensão tangencial numa faceta cuja normal fa ângulos de 45º e 60º, respectivamente, com os eios e. d) Represente um elemento de volume tridimensional com as tensões que o actuam orientado segundo os eios em torno do eio.,, 3 que se obtém de [,, 3] por rotação de 30º no sentido directo Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

4 Ano lectivo: 005/006.º semestre I.3 - O tensor das tensões obtido num dado ponto de um corpo tem as seguintes componentes, epressas em N/mm [N/mm ] 0 0 a) Determine a componente de modo que possa eistir uma faceta, em torno do ponto, relativamente à qual seja nulo o vector de tensão. b) Determinar as componentes do vector normal unitário à referida faceta. c) Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão no ponto considerado. I.4 - Considere o estado de tensão no ponto P definido no referencial [,, ] tensor: Sabendo que: 90 a 0 a b [ MPa] pelo seguinte 3 - O valor da maior tensão principal é 0 MPa e ocorre numa faceta caracteriada pelo versor normal n ( 0,0,) ; % - O valor de a e de b são positivos; - O valor da tensão tangencial máima no plano definido por [, ] é 39 MPa; a) Determine os valores das constantes a e b. b) Qual o valor das tensões principais? c) Determine o versor da normal a uma faceta em que a tensão normal vale 80 MPa. d) Determine as componentes do vector tensão que actua na faceta definida pelo versor n % (,, n3 ) 3 3. Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

5 Ano lectivo: 005/006.º semestre I.5 - Um cubo elementar destacado dum corpo, submetido a uma solicitação eterior, actuam as tensões indicadas no esquema: 3 30 [Mpa] Determine: a) O tensor das tensões referido ao sistema de eios [, ]. b) O tensor das tensões referido ao sistema de eios principais de tensão b.) analiticamente b.) graficamente c) A orientação das normais às facetas onde actuam as tensões principais. d) As componentes da tensão numa faceta igualmente inclinada sobre as três faces do cubo, a qual intersecta o cubo segundo as rectas a tracejado. (Sol.: N 6.7 MPa; τ 33.0 MPa) e) As componentes isotrópica e tangencial do tensor das tensões. Qual destas componentes é responsável pela variação de forma do corpo. Justifique. I.6 - Num ponto de uma estrutura conhecem-se as seguintes condições relativamente ao estado de tensão nas três facetas do elemento triangular infinitesimal representado na figura. A tensão normal na faceta AB é nula. τ A tensão tangencial na faceta BC é nula e a tensão normal vale 0 N/mm com o sentido indicado. τ Sabendo que se trata de um estado plano de tensão, determine: a) O tensor das tensões referido ao sistema de eios [, ]. b) O tensor das tensões referido ao sistema de eios principais de tensão. Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos 3

6 τ INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA Ano lectivo: 005/006.º semestre c) Represente um elemento orientado segundo os eios principais com as tensões que o actuam. d) Determine o versor da normal a uma das facetas em que a tensão tangencial é de N/mm. I.7 - Num ponto de uma superficie de uma placa verifica-se devido à actuação independente de duas solicitações (solicitação e solicitação ), os estados de tensão planos indicados na figura. τ τ τ a) Qual a raão física que permite concluir que as tensões τ, assinaladas na figura, tanto na solicitação como na solicitação, são iguais a 30 N/mm? Justifique matematicamente a resposta. b) Calcule as tensões normais e tangenciais máimas que se geram no ponto da placa em questão devido à actuação simultânea das duas solicitações, indicando a orientação das facetas em que tais tensões ocorrem. I.8 Determine em cada uma das alíneas seguintes as direcções principais dos estados de tensão resultantes da sobreposição dos estados planos indicados : I.9 - Resolva as alíneas do problema I. recorrendo ao círculo de Mohr. 4 Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

7 Ano lectivo: 005/006.º semestre I.0 - Numa chapa de aço que constitui a parede de uma caldeira (estado plano de tensão) verificouse num determinado ponto o seguinte estado de tensão: 40 N/mm ; -0 N/mm ; 80 N/mm a) Qual o valor da tensão principal máima? (R: 88.3 N/mm ) b) Qual a máima tensão tangencial a que pode ficar submetida uma faceta genérica centrada no ponto? Qual a tensão correspondente? (R: τ má 8.3 N/mm ; (n) 66.3 N/mm ) I. - Um tubo oco de material isótropo está submetido simultaneamente, a uma tracção longitudinal e a uma torção. As tensões produidas por estes esforços nas facetas transversais () e longitudinais () de um ponto na parede eterior do tubo são as seguintes : 60 N/mm -0 N/mm 0 N/mm Determine a orientação das facetas submetidas à tracção pura. I. - Determine e oriente as tensões principais dos estados planos de tensão indicados, conhecidas as componentes de tensão normais em três direcções: 60 N/mm -0 N/mm 3 0 N/mm a) α β 45º b) α β 60º I.3 - Determine e oriente as tensões principais do estado plano de tensão indicado, conhecidas as componentes da tensão actuante em duas direcções. Faceta : MPa α 60º θ 5.º τ N α Faceta : N MPa τ 3.66 MPa α 30º α θ Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos 5

8 Ano lectivo: 005/006.º semestre I.4 - A figura representa um provete da rocha de fundação duma barragem, o qual vai ser submetido a um ensaio triaial para determinação da sua resistência. A pressão lateral a aplicar ao provete é de p 0 N/mm. Admita que o estado de tensão no provete é uniforme. a) Determine a máima tensão de compressão aial que pode ser aplicada ao provete de forma que a tensão tangencial máima não eceda 0 N/mm. Em que faceta(s) se verifica esta tensão. b) Calcule a tensão normal e tangencial numa faceta octaédrica, nas condições da alínea a). c) Mostre que a tensão normal em qualquer faceta perpendicular ao plano é independente de e é igual à pressão lateral. 6 Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

9 Ano lectivo: 005/006.º semestre II- Teoria do estado de deformação II. - Um elemento rectangular ABCD deforma-se ficando com a forma A B C D como se indica na figura. Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos determine: a) As componentes da deformação,,. b) A etensão da diagonal AC em função das componentes ij. II. - Num ponto de um corpo deformado determinaram-se no plano [OXY] as seguintes componentes de deformação : a) Traçe o círculo de Mohr correspondente a este estado de deformação e determine as etensões principais e a sua orientação. b) Quais as orientações em que é nula a etensão e qual o valor da distorção. II.3 - Um estado de deformação na viinhança de um ponto P é caracteriado por: I II 0-4 III Determine: a) A etensão na direcção definida pelo vector a ( 0., 0.3, 0.5) b) Os invariantes de deformação. c) A etensão volumétrica eata e na hipótese dos pequenos deslocamentos. %. Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos 7

10 Ano lectivo: 005/006.º semestre II.4 - No interior do maciço de amarração de uma ponte colocou-se a roseta espacial de etensómetros esquematiada na figura. Sabe-se que a direcção em que está colocado o etensómetro 3 é uma direcção principal de deformação. As medidas registadas nos etensómetros foram: a) Determine os valores das etensões principais. b) Determine o valor da etensão no plano I-II numa direcção que fa com a parte positiva do eio I um ângulo de 30º no sentido dos ponteiros do relógio. c) Qual a distorção máima no plano I-II e entre que direcções se verifica? II.5 - A placa representada na figura (ν0., E00 GPa) está sujeita ao seguinte estado homogéneo de deformação a) Qual o comprimento do lado AC após a deformação? b) Qual o comprimento do lado DC após a deformação? c) Determine as direcções entre as quais não eistem variações angulares. Para essas direcções qual o valor das etensões. 8 Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

11 Ano lectivo: 005/006.º semestre II.6 - A placa de dimensões representada na figura (a) é sujeita a um campo de deformações homogéneo ficando com a forma indicada na fig. (b). (0.00;.00) (.00;0.00) Determine: a) As componentes do tensor das deformações infinitésimais ij. b) A distorção entre as fibras A e B, inicialmente ortogonais, após a deformação. II.7 - A placa de aço (ν0.3, E00 GPa) esquematiada na figura está sujeita a um estado de deformação homogéneo plano. As variações de comprimento sofridas pelas arestas AB, AC e AD são: ΔL AB (40 - ) mm, ΔL AC ( 30 - ) mm e ΔL AD (80 - ) mm. a) Determine o tensor das etensões no ponto A. b) Em que direcção da placa se regista a máima etensão? Qual o valor dessa etensão? Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos 9

12 Ano lectivo: 005/006.º semestre II.8 - No interior de uma estrutura submetida a um estado de deformação plano (no plano -) está colocada uma roseta de etensómetros conforme indicado na figura, tendo-se medido as seguintes etensões: a b c d 00-6 a) Verifique se eiste erro nas medições efectuadas. Justifique. b) Considerando correctas as medições efectuadas nos etensómetros a, b e c, determine o valor da etensão máima que se verifica em torno do ponto P. Qual a direcção em que ocorre? 0 Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

13 Ano lectivo: 005/006.º semestre III- Relações constitutivas para materiais elásticos lineares. Lei de Hooke. III. - Uma placa de aço (E0 GPa, ν0.30), solicitada no seu plano, está submetida ao seguinte estado plano de tensões: 9 MPa -49 MPa 56 MPa Calcule o valor das deformações principais e a orientação das respectivas fibras: a) analiticamente; b) graficamente. (Solução: I 65E-6; II -60E-6; III -485E-6) III. - Devido a uma determinada solicitação instala-se numa barragem de gravidade um estado de deformação plano (no plano transversal -) de que se conhecem as seguintes componentes do campo de deslocamentos (em centímetros): u. u (,). 0 u. 6 ( E 6 GPa; ν 0.0 ) a) Determine os valores das tensões principais no ponto ( 0 cm; 0 cm) e a orientação das facetas onde actuam. Oriente as tensões principais nas facetas onde actuam. b) Devido a uma solicitação mediram-se, junto ao ponto P (no plano -), etensões em 3 direcções faendo ângulos de 45º, 90º e 35º com a direcção, como se ilustra na figura. Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

14 Ano lectivo: 005/006.º semestre 00E-6 50E E-6 Determine, quando actuarem simultaneamente as duas solicitações, a orientação das direcções entre as quais se observa a máima distorção. III.3 - A circunferência de Mohr da figura representa o estado de tensão no plano X-Y num corpo constituído por um material isotrópico e submetido a um estado plano de deformação em que Z 0. Considerando para características do material, E 30 GPa e υ 0.3, determine: a) O tensor das tensões principais; b) O tensor das etensões principais. Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

15 Ano lectivo: 005/006.º semestre III.4 - A placa quadrada ABCD transformou-se no losango A B C D após ter sido submetida a um campo de deformações homogéneo e plano (ver figura abaio). Características do material da placa: E 30 GPa υ 0, π a) Sabendo que θ rad, determine as componentes do tensor das deformações. A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das tensões referidas a um outro sistema de eios rodado relativamente ao primeiro do ângulo de 30º como mostra a figura: MPa 400MPa 00MPa Sabendo que a este estado de tensão corresponde um estado plano de deformação em que a deformação nula ocorre segundo a direcção 3, determine:? b) O valor de 33. Nas questões seguintes considere a actuação simultânea das duas solicitações. c) Qual o valor das etensões principais no plano [, ]? d) Qual a orientação das facetas em que a distorção é máima? Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos 3

16 Ano lectivo: 005/006.º semestre IV- Critérios de segurança. Critérios de cedência e critérios de rotura. IV. Considere, num ponto de uma peça de aço macio (Fe360), instalado o seguinte estado de tensão: [MPa] Admita que a tensão limite de elasticidade (ou tensão de cedência) é ced 35 MPa. a) Utiliando um critério de cedência, apropriado ao material, averigue a sua segurança relativamente à cedência. Justifique a resposta. IV. O estado plano de tensão representado na figura ocorre num ponto crítico dum pilar de aço Fe360 ( ced 35 Mpa) de um edificio. a) Determinar o factor de segurança relativamente à cedência usando: a.) o critério de Tresca a.) o critério de Von-Mises b) Represente gráficamente a superficie de cedência, em ambos os casos, e represente aí o ponto correspondente ao estado de tensão. Compare os resultados. 4 Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos

17 Ano lectivo: 005/006.º semestre IV.3 Na secção crítica de uma viga metálica (Fe360, ced 35 MPa ), submetida a um carregamento uniforme p (kn/m), determinaram-se os seguintes campos de tensões: 33 [kn/m ] 300 τ p τ T [kn/m ] p τ V [kn/m ] 30.8 p 30.8 p Determine o máimo valor da carga p que pode ser aplicada à viga de modo que a tensão de cedência não seja ultrapassada. Utilie o critério de Von-Mises. Mecânica Aplicada II Eercícios Práticos 5

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19 Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA II Engenharia Civil º ANO APONTAMENTOS PARA AS AULAS PRÁTICAS Ano lectivo 005/006

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21 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança CAPÍTULO Teoria do Estado de Tensão Tensor das tensões:,, 33 TENSÕES NORMAIS ij, i j TENSÕES TANGENCIAIS Convenção de sinais: Tensões em determinada faceta são positivas se orientadas para a parte positiva dos eios coordenados. Equação fundamental da análise de tensões (Fórmula de Cauch): ( n) r ( n) r ( n) j ijni n n % % r ( n ) - vector tensão na faceta identificada pela normal n r ; n r - tensor das tensões; - co-senos directores da normal à faceta; ( n ) 3 n ( n) 3 n ( n) n 3 ij componentes do tensor das tensões; i eio normal à faceta em que actua a componente de tensão; j direcção segundo a qual actua a componente de tensão; Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil

22 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança Tensões e direcções principais - Via Analítica: As componentes principais do tensor das tensões (tensões principais) são os valores próprios da matri do tensor e as direcções principais obtêm-se dos correspondentes vectors próprios. Da resolução da equação característica do tensor: ou 3 I δ ij I obtêm-se as 3 raíes (tensões principais): em que: I ij 0 I,, II III I > II > III Invariantes da equação característica: I (traço ou ºinvariante ou invariante linear) I (º invariante ou invariante quadrático) 3 33 I (3º invariante ou invariante cúbico) NOTA: um invariante é uma grandea que não depende do sistema de eios, isto é, não varia perante uma mudança de coordenadas. O sistema homogéneo de equações lineares: ( δ ) n 0 ij ij i Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil

23 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança fornecerá, para I, II e III, os vectores definem os eios principais de tensão. r ( I ) r ( II ) r, ( III ) que n n e n Mudança do sistema de eios: A T A A matri de transformação (mudança de eios); cos A cos cos ( n ^ n ) cos( n ^ n ) cos( n ^ n ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ^ n cos n ^ n cos n ^ n 3 n ^ n cos n ^ n cos n ^ n 3 Outras epressões importantes: ( n ) n N τ N ( n ) τ má I III Circunferência de Mohr: - Estado Plano de Tensão:, referido aos eios X e X. Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil 3

24 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança Determinação das tensões principais: ) Marca-se num diagrama N, τ o ponto representativo do eio X, que é o ponto de coordenadas e ( marcado com o verdadeiro sinal). O ponto representativo do eio X seria marcado com com o sinal trocado. ) Define-se a posição do centro C da circunferência através da epressão: OC e fa-se passar uma circunferência de centro em C pelo ponto representativo do eio X. 3) As tensões principais correspondem aos valores etremos das tens~es normais, isto é, correspondem aos pontos em que a circunferência de Mohr intersepta o eio das tensões normais. I OC R II OC R NOTA: Nestas epressões para o cálculo das tensões principais é necessário ter cuidado com os sinais! O ângulo θ que os eios principais X I e X II estão rodados relativamente aos eios X e X é metade do ângulo formado por [CX] e o eio N, e o sentido de rotação na circunferência é o oposto ao real. Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil 4

25 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil 5

26 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança CAPÍTULO Teoria do Estado de Deformação Vector Deslocamento: Admitindo deformações homogéneas, o vector deslocamento é uma função linear de e. ( u(, ) ; v( ) ) d,,sólido contínuo e homogéneo d u v (, ) (, ) A D B C E F Etensão: AB ΔAB AB A B AB ( ) AB Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil 6

27 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança Componentes de deformação: Elementos do tensor das deformações. [ O, X, Y ] du d dv,, d du d dv d DISTORÇÃO: γ Etensão numa direcção d:. cos α..cosα. senα sen α. d Etensão volumétrica: Valor eacto:..... v Na hipótese de pequenos deslocamentos: V V V 0 I v 0 Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil 7

28 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil 8 CAPÍTULO 3 Relações constitutivas: Lei de Hooke generaliada Relações deformação tensão: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] θ ν ν θ ν ν θ ν ν E E E em que: θ G G G Relações tensão - deformação: G e G e G e λ λ λ em que: ( ) ( ) ( ) ν ν ν ν λ E G e e λ - constante de Lamé G G G

29 Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança I ( n ) j ( n ) n ij i n I 3 I I ( I ) n 0 3 I 3 33 ij ij i I A T A cos A cos cos ( n ^ n ) cos( n ^ n ) cos( n3 ^ n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ^ n cos n ^ n cos n3 ^ n n ^n cos n ^n cos n ^ n (, ) (, ) u A B C d v D E F V V V AB AB AB. cos α..cosα. senα. sen α d 0 I v 0 ij du du i j dj d i E E E [( ν ) ν θ ] [( ν ) ν θ ] [( ν ) ν θ ] em que: θ G G G λ e G λ e G λ e G em que : e λ ( ν) ( ν) E G ν E ( ν ) G G G O FORMULÁRIO SERÁ FORNECIDO NO DIA DO EXAME! Eemplo do Formulário para Eames de Mecânica Aplicada II º Ano de Eng. Civil