ANÁLISE DE ESTRUTURAS I Ano lectivo de 2018/2019 1º Semestre L/2 L/2 L. E, h, ν uniformes. Figura 1 Figura 2

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1 Eercício 1 - Introdução à análise de lajes ANÁISE DE ESTRUTURAS I Ano lectivo de 018/019 1º Semestre Problema 1 (4 de Fevereiro de 003) Considere as lajes finas representadas nas figuras 1 e. / / E, h, ν uniformes / / Figura 1 Figura a) Defina as condições de admissibilidade cinemática da laje representada na figura 1. b) Indique uma solução cinematicamente admissível para um assentamento no pilar dessa laje. c) Defina as condições de admissibilidade estática da laje representada na figura, para uma carga uniforme q = 1 kn/m. d) Indique uma solução estaticamente admissível para a mesma laje quando a carga q = 1 kn/m é aplicada apenas no quarto 0 e 0. e) Verifique se a solução da alínea d) é a solução eacta. Problema (3 de Novembro de 005, adaptado) Considere a laje fina e de espessura constante representada na figura 3. q = 1 kn/m E uniforme (kpa) ν = 0 Figura 3 a) Indique uma solução compatível e trace a deformada correspondente. b) Indique uma solução equilibrada e trace os diagramas de esforços correspondentes.

2 Problema 3 (7 de Fevereiro de 006) Considere que as lajes finas representadas nas figuras 4 e 5 têm E, h, ν uniformes. 3,0 m 3,0 m Figura 4 Figura 5 a) Para um campo de momentos m = m = 0, m = 1, calcule e represente graficamente as forças em cada um dos três cantos da laje da figura 4. b) Se a laje da figura 4 estiver encastrada em todos os bordos, o campo de momentos anterior pode corresponder a uma deformada compatível? c) Determine uma solução compatível para a laje da figura 5. d) Determine um campo de momentos que equilibre uma carga de 1 kn/m em toda a laje da figura 5. Problema 4 (13 de Janeiro de 007) Considere a laje fina, homogénea e isótropa (E e ν constantes) e de espessura constante representada na figura 6, sujeita à carga uniforme aí indicada: a) Defina as condições de admissibilidade estática; b) Defina as condições de admissibilidade cinemática; c) Verifique se a solução m = m = 0, m = ½ é estaticamente admissível; d) Verifique se a solução w = k sen(½π) sen(½π) é cinematicamente admissível; e) Determine e represente a reacção no bordo = 4 e a força no canto (,) = (6,4) para a distribuição de esforços dada na alínea c). Figura 6

3 Problema 5 (10 de Novembro de versão inicial) Considere a laje fina, homogénea e isótropa (E e ν constantes) e de espessura constante representada na figura 7, sujeita a uma carga uniforme com intensidade q: a) Defina as condições de admissibilidade estática; b) Defina as condições de admissibilidade cinemática; 1 c) Mostre que m = q ( ), m = υ m e m = 0 é a solução eacta do problema. 8 ( q = knm ; = m; υ = 0.) Figura 7 Problema 6 (10 de Novembro de 007) Considere a laje fina, homogénea e isótropa e de espessura constante representada na figura 8 (E = const., h = const., ν = 0,15), sujeita a uma carga uniforme com intensidade q = 1kN/m : a) Defina as condições de admissibilidade estática; b) Defina as condições de admissibilidade cinemática; c) Verifique que a solução 1 m = ( 8 4 )( ), m = m = 0 3 é equilibrada mas que não corresponde à solução eacta; d) Calcule o esforço transverso efectivo no bordo AB. Figura 8 e) Admitindo que as etremidades dos apoios se encontram ligadas a pilares, determine o valor do esforço aial em todos esses pilares. A 4m B

4 Problema 7 (7 de Abril de 009) A laje fina, homogénea, isótropa (E constante) e de espessura constante representada na Figura 9 está sujeita a uma carga uniforme q. Determine uma boa estimativa para as componentes do tensor de momentos (m, m, m ) no centro da laje para duas hipóteses de cálculo: a) υ=0; b) υ=0,15. Justifique as respostas. 5 Figura 9 Problema 8 (4 de Abril de 010) Considere a laje fina, homogénea, isótropa e de espessura constante representada na Figura 10 ( E = const., h = const., ν = 0 ), sujeita a uma carga uniforme com intensidade q = 1,0 kn m : k a) Mostre que o campo de deslocamentos compatível w(, ) ( ) ( ) solução eacta; = não é a b) Mostre que o campo de esforços equilibrado m (, ) = m (, ) = 0 e m (, ) = não corresponde à solução eacta; c) Para o campo de deslocamentos indicado na alínea a), calcule os deslocamentos u e u z no h ponto (,, z ) = (,, ). 4 4 D r = 0,5 1 Figura 10 Figura 11 Problema 9 (4 de Abril de 010) Considere a laje fina, homogénea, isótropa e de espessura constante representada na Figura 11 ( E = const., h = const., ν = 0, ), sujeita a uma carga uniforme com intensidade q = 1,0 kn m : a) Determine uma solução cinematicamente admissível; b) Mostre que o campo de esforços m (, ) m (, ) 0 é estaticamente admissível. = = e m (, ) 1 ( 1 )( 1 ) = + não

5 Problema 10 (8 de Abril de 011, adaptado) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 1. a) Indique as condições de admissibilidade estática e determine uma solução equilibrada para o carregamento q = / (kn/m ); b) Indique as condições de admissibilidade cinemática e determine uma solução compatível 3 quando o deslocamento imposto no bordo = é w(, ) = a ( ) (m). E, h uniformes ν = 0, Figura 1 Problema 11 (13 de Abril de 01, adaptado) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 13, sujeita a uma força R = 3, kn no ponto (0, ). a) Mostre que o campo de deslocamentos compatível w = ( + ) ( D f ) não é a solução eacta; b) Mostre que o campo de esforços equilibrado m m = 0 e m = 1, 6 knm/m não é a = solução eacta; c) Para a solução da alínea anterior, calcule as componentes do tensor das tensões no ponto (,, z) = (/, /, h/). E, h uniformes ν = 0, Figura 13

6 Problema 1 (13 de Abril de 01) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 14, sujeita a uma carga r = 1 kn/m em =. a) Indique as condições de admissibilidade estática e determine a epressão analítica de uma solução equilibrada; b) Indique as condições de admissibilidade cinemática e determine uma solução compatível w, 0 = sen π (m). quando, para além da carga, eiste o deslocamento imposto ( ) ( ( )) E, h uniformes ν = 0, Figura 14 Problema 13 (3 de Abril de 014) A laje representada na Figura 15 é fina (h = const.), homogénea e isótropa (E = const., ν 0): a) Defina as condições de admissibilidade cinemática 3 e mostre que a solução w(, ) = k é compatível; b) Trace a deformada ao longo das secções = e = e determine as curvaturas no centro da laje; c) Determine o carregamento, no domínio e na fronteira, para que o campo de momentos (knm/m) m = m = 0 e m = ( + ) seja uma solução equilibrada; 4 4 m Figura 15 d) Determine e represente graficamente as reacções correspondentes no bordo = 0 para 0 4 ; e) Mostre que a solução da alínea a) não corresponde ao campo de momentos da alínea c). Problema 14 (7 de Junho de 015) A laje representada na Figura 16 representa a simplificação de simetria de uma laje parcialmente sujeita a uma carga uniforme: a) Defina as condições de admissibilidade cinemática e determine uma solução compatível; b) Defina as condições de admissibilidade estática e determine uma solução equilibrada; c) Mostre que essa solução satisfaz as condições de equilíbrio ao longo da secção = m. Figura 16 4m (q = 0) q = 1kN/m