MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
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- Dalila Santarém
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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV CENCATURA EM ENGENHARA CV TEORA DE ESTRUTURAS MÉTODO DOS DESOCAMENTOS m m 0,00 rad 0 kn 0 knm 0 kn 0 knm 1 1 kn 0 0 kn 10 kn/m ESTRUTURA CONTÍNUA SABE AVM TEES
2 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES EXERCÍCO PROPOSTO Considere a estrutura representada na figura, realizada em betão com E GPa e em que todas as barras têm secção 0,0 m x 0,0 m. m m 0,00 rad 0 kn 0 knm 0 kn 0 knm 1 1 kn 0 0 kn m 1 m m 10 kn/m 6 m Responda às alíneas aplicando o Método dos Deslocamentos. a) Determine os deslocamentos dos nós da estrutura; b) Determine as reações nos apoios; c) Trace os diagramas de esforços da estrutura. versão 0 1/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
3 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES RESOUÇÃO MATRZ DE RGDEZ EEMENTAR SSTEMA DE EXOS OCA [ K ] EA 0 0 1E 0 6E 0 EA E 6E 0 EA 0 0 6E 0 1E E 0 6E 6E E EA 0 0 6E 1E 0 E 0 6E 6E E MATRZ DE TRANSFORMAÇÃO cos α sen α sen α cos α [ T ] cos α sen α sen α cos α MATRZ DE TRANSFORMAÇÃO TRANSPOSTA cos α - sen α sen α cos α [ T ] T cos α - sen α sen α cos α MATRZ DE RGDEZ EEMENTAR SSTEMA DE EXOS GOBA T [ K ] [ T ] [ K ] [ T ] G versão 0 /19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
4 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES AÍNEA a) GRAUS DE BERDADE DA ESTRUTURA (SSTEMA GOBA) MATRZ DE RGDEZ OCA, MATRZ DE TRANSFORMAÇÃO E MATRZ DE RGDEZ GOBA BARRA 1 Nós 1 - Graus de liberdade (sistema global): Δ1, Δ, Δ - Δ, Δ, Δ6 E x10 6 kpa b 0. m A 0.1 m cos α 1 α 0 º m h 0. m m sin α K T K 1 G K versão 0 /19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
5 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES BARRA Nós - Graus de liberdade (sistema global): Δ, Δ, Δ6 - Δ7, Δ8, Δ9 E x10 6 kpa b 0. m A 0.1 m cos α 0 α -90 º m h 0. m m sin α K , , , , ,67, , ,67 T , , , , , , ,67, , , , , T K T G K T ,67 0, , , , , , , , , ,67 0, BARRA Nós - Graus de liberdade (sistema global): Δ7, Δ8, Δ9 - Δ10, Δ11, Δ1 E x10 6 kpa b 0. m A 0.1 m cos α α -1, º m h 0. m m sin α , , ,89-0, K ,09, ,09, 0,7-0, , 81,9 0 -, 11 9, T -7 1, , ,89-0, ,09 -, 0 190,09 -, ,7-0,89 0 0, 119,70 0 -, 81, , ,0 8, , ,0 8, , ,79-770, , ,79-770,8 T K T G K T 9 8,1-770,8 81,9-8,1 770,8 11 9, , ,0-8, , ,0-8, , ,79 770, , ,79 770,8 1 8,1-770,8 11 9,70-8,1 770,8 81,9 versão 0 /19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
6 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES VETOR DE SOCTAÇÃO Solicitação aplicada nos nós (sistema global) Nó Solicitação aplicada nas barras Forças equivalentes nodais F Global TT. Focal BARRA 1 Nós 1 - Graus de liberdade - sistema local: Δ1, Δ, Δ - Δ, Δ, Δ6 Graus de liberdade - sistema global: ΔG1, ΔG, ΔG - ΔG, ΔG, ΔG6 SSTEMA DE EXOS OCA SSTEMA DE EXOS GOBA 6 G G G G G1 1 G P Y - 0 kn F //esq 0 Py.b -0 F esq ( + a) ( + ) -1,08 kn P F M-esq F //dir 0. a.b y Py. a , knm F dir ( + b) ( + ) -,9 kn P F M-dir. a.b y -0 8,8 knm P Y - 0 kn F -EN - OCA F 1 0 F -1,08 F -19, F 0 F -,9 F 6 8,8 m 0 kn m , knm 1,08 kn m 1 1,9 kn 8,8 knm versão 0 /19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
7 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES M Z -0 knm F //esq 0 6 M F esq Z a.b 6 (-0),76 kn.b F M-esq M Z b -0 6, knm F //dir 0 F dir F M-dir 6 MZ a.b 6 (-0),76 kn M. a Z a -0, knm M Z - 0 knm F -EN - OCA F 1 0 F,76 F 6, F 0 F -,76 F 6, m 0 knm m 1 1 6, knm,76 kn m 1 1,76 kn, knm P Y -0 kn + M Z -0 knm Barra 1 - Nós 1 - F -EN - OCA F -EN - OCA F F 1 0 F -1,08 +,76 F -8, F -19, + 6, F -1,8 F F 0 F -,9,76 F -1,68 F 6 8,8 +, F 6 1, É fácil relacionar o sistema de eixos local com o global: Δ1 ΔG1 Δ ΔG Δ ΔG Δ ΔG Δ ΔG Δ6 ΔG6 Barra 1 - Nós 1 - F G-EN - GOBA F 1 0 F -8, F -1,8 F 0 F -1,68 F 6 1, versão 0 6/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
8 TEORA DE ESTRUTURAS BARRA Nós - DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES Graus de liberdade - sistema local: Δ1, Δ, Δ - Δ, Δ, Δ6 Graus de liberdade - sistema global: ΔG1, ΔG, ΔG - ΔG, ΔG, ΔG6 SSTEMA DE EXOS OCA SSTEMA DE EXOS GOBA 1 6 m Força 0kN 8 6 o Py 0 sen 0 kn o Px 0 cos 0 kn 9 7 ( à barra) (// à barra) 1 m 0 0 cos0 0 sen0 0 kn F //esq 0 P Y 0 sen 0 kn Py.b o 0sen 0 1 F esq ( + a) ( + ),96 kn P F M-esq F //dir 0. a.b y Py. a o 0sen0 1 o 0sen0, knm F dir ( + b) ( + 1) 7,07 kn P F M-dir. a.b y o 0sen0 1, knm, knm,96 kn P Y 0 sen 0 kn F -EN - OCA m 1 m 0 sen0 m 7,07 kn F 1 0 F,96 F, F 0 F 7,07 F 6 -,, knm versão 0 7/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
9 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES P X 0 cos 0 kn F //esq F esq 0 F M-esq 0 F //dir F dir 0 F M-dir 0 P.b o x 0cos 0 1,77 P. a o x 0cos 0 11,70 kn kn,77 kn P X 0 cos 0 kn F -EN - OCA m 1 m m 0 cos0 11,70 kn F 1,77 F 0 F 0 F 11,70 F 0 F 6 0 P Y 0 cos 0 kn + P X 0 cos 0 kn Barra - Nós - F -EN - OCA F -EN - OCA F 1 0 +,77 F 1,77 F, F,96 F, + 0 F, F ,70 F 11,70 F 7, F 7,07 F 6 -, + 0 F 6 -, É fácil relacionar o sistema de eixos local com o global: Δ1 - ΔG ΔG Δ Δ ΔG ΔG - Δ1 Δ ΔG6 ΔG6 Δ Δ - ΔG8 ΔG7 Δ Δ ΔG7 ΔG8 - Δ Δ6 ΔG9 ΔG9 Δ6 Barra - Nós - F G-EN - GOBA F,96 F -,77 F 6, F 7 7,07 F 8-11,70 F 9 -, versão 0 8/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
10 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES BARRA Nós - Graus de liberdade - sistema local: Δ1, Δ, Δ - Δ, Δ, Δ6 Graus de liberdade - sistema global: ΔG7, ΔG8, ΔG9 - ΔG10, ΔG11, ΔG1 6 SSTEMA DE EXOS OCA 1 11 SSTEMA DE EXOS GOBA m α m 10 cos α kn/m α 6 m 10 kn/m m 10 sen α kn/m α Comprimento da barra: 6,708 m α arctg 6 α o 6,6 cos α 0,89 sen α 0,7 10 cos α 8,9 kn/m 10 sen α,71 kn/m versão 0 9/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
11 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES p Y -10 cos α kn/m F //esq 0 p y. 10cos α F esq 0 kn F M-esq F //dir 0 p. y 10cos α ( ) 1 1 p y. 10cos α F dir 0 kn F M-dir p. y 10cos α ( ) 1 1,10 knm,10 knm m α m,10 knm 0 kn 10 cos α kn/m,10 knm 0 kn p Y -10 cos α kn/m F -EN - OCA F 1 0 F 0 F,10 F 0 F 0 F 6 -,10 p X -10 sen α kn/m F //esq F esq 0 F M-esq 0 F //dir F dir 0 F M-dir 0 p x. p x. 10sen α 10sen α 1 kn 1 kn p X -10 sen α kn/m F -EN - OCA F 1 1 F 0 F 0 F 1 F 0 F m α m 1 kn 10 sen α kn/m 1 kn versão 0 10/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
12 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES p Y -10 cos α kn/m + p X -10 cos α kn/m Barra - Nós - F -EN - OCA F -EN - OCA F F 1 1 F F 0 F, F,10 F F 1 F F 0 F 6 -, F 6 -,10 F T Global T. Focal Barra - Nós - F G-EN T T * F -EN F G-EN - GOBA 7 F7-0,89 0, F7 0 kn 8 F8-0,7-0, F8 -,10 kn 9 F ,10 9 F9,10 knm 10 F ,89 0, F10 0 kn 11 F ,7-0, F11 -,10 kn 1 F ,10 1 F1 -,10 knm Vetor solicitação - sistema de eixos global , - 8, - 1,8-1, ,96 7, ,68 -,77-87, [ F G ] ,0 +,, 6 7 7, , ,70 +,10 -, , +,10 9, ,10 -, ,10 -,10 1 versão 0 11/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
13 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES Vetor das reações sistema de eixos global [ ] R G 1 R1 R R R10 11 R Vetor dos deslocamentos sistema de eixos global [ G ] ,00 Δ Δ 6 Δ6 7 Δ7 8 Δ8 9 Δ Δ1 MATRZ DE RGDEZ GOBA DA ESTRUTURA [ K ] Est. [ ] [ F ] [ R ] G G G + G K K F * + i F i K F K FF F F F R F 0 [ K ]. [ ] + [ K ]. [ ] [ F ] [ ] [ K ]. [ ] + [ K ]. [ ] [ F ] + [ R ] F i i F FF F F F F i Na página seguinte estão representados o sistema [ K ] Est G. [ G ] [ FG ] + [ RG ] na forma inicial, com os graus de liberdade ordenados de forma crescente do 1 ao 1, e na forma rearranjada, separando graus de liberdade sem restrições de deslocamento (livres):,, 6, 7, 8, 9 e 1 e graus de liberdade com restrições de deslocamento (fixos): 1,,, 10 e 11. versão 0 1/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
14 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES KG - Estrutura * ΔG FG + RG R , R ,00-1,8 R , , , , , , , , , , , , , , ,0-81, , ,0 8, , , ,79-770, , ,79-770, , , ,67-81, - 770, ,7-8,1 770,8 11 9, , , ,0-8, , ,0-8, R , ,79 770, , ,79 770, ,10 11 R ,1-770,8 11 9,70-8,1 770,8 81, , KG - Estrutura * ΔG FG + RG , , , , , , , , , , , , , , ,0-81, 8, , , , , ,79-770,8-770, , , , , ,67-81, - 770, ,7 11 9, ,1 770, , ,1-770,8 11 9,70 81, ,1 770, , R , R ,00-1,8 R , ,0-8,1-8, , , R , ,79 770,8 770, , , ,10 11 R11 versão 0 1/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
15 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES Δi + ΔF F K K F E-0 m -.77E-0 m E-0 rad E-0 m E-0 m 9.891E-0 rad E-0 rad Δi + ΔF F F + R F KF K FF E R E R E R E R E R 11 R1-1.9 kn R kn 9.891E E-0 R knm R kn R kn versão 0 1/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
16 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES Deslocamentos dos nós da estrutura ,000 x 10 - rad,071 x 10 - m -,78 x 10 - m 6 8,90 x 10 - rad 7 1,161 x 10 - m 8 -,76 x 10 - m 9,89 x 10 - rad ,66 x 10 - rad AÍNEA b) Reacções nos apoios R1 H1-1,9 kn R V1 81,71 kn R M1 178,66 knm R10 H 89,9 kn R11 V 9,11 kn 1,9 kn 178,66 knm 81,71 kn 89,9 kn 9,11 kn versão 0 1/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
17 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES AÍNEA c) Esforços nas barras [ F ] [ K ]. [ ] [ F ] [ ] [ T ]. [ ] G -EN [ F ] [ K ]. [ T ]. [ ] [ F ] G -EN BARRA 1 Nós 1 - Δ1 ΔG1 Δ ΔG Δ ΔG Δ ΔG Δ ΔG Δ6 ΔG ,000 x 10 -,071 x ,78 x 10-8,90 x 10 - F K * - F -EN F F , F ,000 x ,8 F ,071 x 10-0 F ,78 x ,68 F ,90 x , Barra 1 - Nós 1 - F - OCA F 1 F F F F F 6-1,9 kn 81,71 kn 178,66 Nm 1,9 kn -1,71 kn 167,891 Nm 178,66 knm 1,9 kn 81,71 kn kn 0 knm 1 1 m m 6 1,71 kn 167,891 knm 1,9 kn versão 0 16/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
18 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES BARRA Nós - Δ1 - ΔG Δ - ΔG Δ ΔG6 Δ - ΔG8 Δ - ΔG7 Δ6 ΔG9,78 x 10 -,071 x 10-8,90 x 10 -,76 x 10-1,161 x 10 -,891 x 10 - F K * Δ - F-EN F ,78E-0 1,77 F , , , ,67,071E-0,96 F ,67, , ,67 8,90E-0, F ,76E-0 11,70 F , , , ,67 1,161E-0 7,07 F , , ,67, 6,891E-0 6 -, 8,79 kn Barra - Nós - F - OCA F 1 F F F F F 6 8,79 kn -99,9 kn -197,891 Nm -6,09 kn 89,9 kn -89,8 Nm 1 6 m 1 m 197,891 knm 99,9 kn 0 sen0 0 cos0 89,9 kn 89,8 knm 6,09 kn versão 0 17/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
19 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES BARRA Nós - F K * T * Δ G - F -EN F 1 7 1, , ,89-0, ,161E F ,09, ,09, 0,7-0, ,76E-0 0 F 0, 81,9 0 -, 11 9, ,891E-0,10 F -7 1, , ,89-0, F ,09 -, ,09 -, ,7-0, F 6 0, 11 9,70 0 -, 81, ,66E-0 6 -,10 1 Barra - Nós - F - OCA F 1 F 91,67 kn -16,610 kn 6 16,610 kn 89,8 knm 91,67 kn F F F F 6 89,8 Nm -11,67 kn -,90 kn 0 Nm,90 kn 10 kn/m m 11,67 kn 6 m 10 sen α kn/m m 11,67 kn 91,67 kn α +,90 kn 10 cos α kn/m m α 16,610 kn 89,8 knm versão 0 18/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
20 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CV SABE AVM TEES Diagramas de esforços 1,9 + 81,71 + 1,71-6,09-8,79-91, ,67 ESFORÇO AXA (kn) ESFORÇO TRANSVERSO (kn) -178, ,891 6,7 8, ,891 0,87-89, ,9-16,610, m ,8 89,8.81 m + 10,6 MOMENTOS FECTORES (knm) versão 0 19/19 Método dos Deslocamentos Est. cont.-
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