ESTÁTICA DO PONTO MATERIAL

Transcrição

1 LICENCIATUA EM ENGENHAIA CIVIL DO PONTO MATEIAL EQUILÍBIO DO PONTO SISTEMAS DE OÇAS EQUIVALENTES EXECÍCIOS POPOSTOS E ESOLVIDOS

2 ICHA DO PONTO MATEIAL EXECÍCIO EXECÍCIO Considere o sistema de forças aplicado num ponto representado na igura e os sistemas de eios (,) das iguras e ( ). a) Substitua o sistema de forças da igura por outro equivalente composto por duas forças com a direcção dos eios (,) da igura. b) Substitua o sistema de forças da igura por outro equivalente composto por duas forças com a direcção dos eios (,) da igura. c) Determine a resultante do sistema de forças representado na igura. d) Caracterize completamente a força que actuando conjuntamente com o sistema representado na igura, conduz ao equilíbrio do ponto. e) Determine a força que actuando conjuntamente com o sistema representado na igura, torna o novo sistema (forças da igura + ) equivalente a uma força horizontal ( ) de 6 kn. f) Considere um sistema constituído por uma força actuando conjuntamente com as forças de 5 kn e 7 kn representadas na igura. - Determine a menor força que conduz a uma resultante com a direcção do eio da igura. - Caracterize a resultante deste novo sistema de forças. igura igura igura ESOLUÇÃO SISTEMAS DE OÇAS EQUIVALENTES Dois sistemas de forças a actuar num ponto dizem-se equivalentes se tiverem a mesma resultante. Se um sistema de forças é equivalente a um sistema de forças Q Q Q Q 8/9 V /9 ICHA esolução E.

3 ICHA DO PONTO MATEIAL EXECÍCIO Alínea a) 5º 5º equivalente 5º 5º 5º 5 sen 5 cos 7 cos85 85º 7 sen85 5º cos sen 5 cos 5 sen 5 5 cos kn 7 7 cos 85 kn - cos kn 5 5 sen kn 5-5 sen kn 7 7 sen 85 kn sen kn 5 5 cos kn Sistemas equivalentes: 5 cos + 7 cos 85 cos + 5 sen 9, kn 5 sen + 7 sen85 + sen + 5 cos,596 kn,6kn 9,kN 8/9 V /9 ICHA esolução E.

4 ICHA DO PONTO MATEIAL EXECÍCIO Alínea b) 65º º equivalente cos6 7 sen6 6º cos5 sen cos 5 kn 7-7 sen 6 kn - cos 5 kn 5-5 cos 5 kn 5 5 cos 5 kn 7 7 cos 6 kn - sen 5 kn 5 5 cos 5 kn Sistemas equivalentes: sen 6 cos5 5 87,6 kn 7 cos6 sen ,87 kn 87,6kN 8,8kN 8/9 V /9 ICHA esolução E.

5 ICHA DO PONTO MATEIAL EXECÍCIO Alínea c) esolução tendo em conta os resultados da alínea a) 9, kn,596 kn esultante: + 9, +,596,6 kn Ângulo β: β arctg,596 arctg 9, 7,9 Ângulo com a horizontal β + 7,9 +,9,6kN,6kN,6kN β 9,kN,9º esolução tendo em conta os resultados da alínea b) 87,6 kn 8,87 kn esultante: + (-87,6) + 8,87,6 kn Ângulo α: α arctg 8,87 arctg 87,6,8 Ângulo com a horizontal α 8-5 -,8,9,6kN,6kN,6kN β 9,kN,9º 8/9 V /9 ICHA esolução E.

6 ICHA DO PONTO MATEIAL EXECÍCIO Alínea d) Um ponto material está em equilíbrio quando a resultante das forças que nele atuam é zero. Condição de equilíbrio de um ponto material: X Y Na alínea anterior foi determinada a força equivalente ao sistema de forças representado na igura. Então a força a somar às representadas na igura para que o ponto esteja em equilíbrio é uma força com igual grandeza e igual direção, mas com sentido contrário a.,6kn,9º 68,8º +,6 kn,6kn Alínea e) -6,6 cos 68,8 cos α 6,6 sen68,8 senα,6kn cos α senα 6,6 cos 68,8,6 sen68,8 68,8º,9º tg α,6 sen68,8 6,6 cos 68,8 α 8,8 6kN α,6 sen68,8, kn senα 8/9 V 5/9 ICHA esolução E.

7 ICHA DO PONTO MATEIAL EXECÍCIO Alínea f) equivalente 6º O vetor é a soma das forças de 5 kn, 7 kn e. deverá começar no início da força de 5 kn e terminar no fim da força. A menor força que permite essa força deverá ser perpendicular à direção de. dir. 6º 6º cos 5sen 7 sen5 cos + 7cos5 sen cos6 sen6 8,85 kn 6,7 kn (ver direções e sentidos na figura acima) 8/9 V 6/9 ICHA esolução E.

8 ICHA EVISÕES EXECÍCIO EXECÍCIO Considere o sistema de forças aplicado num ponto, constituído por,, e, cuja resultante é a força. a) Considerando 5 kn, 5 kn e 5 kn, determine a grandeza e sentido de e. b) Considerando kn, kn e 5 kn, determine a grandeza e sentido de e. c) Considerando kn e 65 kn, determine a grandeza e sentido de e para que a resultante tenha uma grandeza de kn, a direcção indicada na figura e sentido contrário ao indicado na figura. d) Considerando kn, 5 kn, kn e kn, caracterize a força 5 que deverá adicionar ao sistema para que o ponto esteja em equilíbrio Alínea a) ESOLUÇÃO orça Ângulo com a horizontal, arctg,5 6,5 6, orça Ângulo com a horizontal, arctg,5 5 orça Ângulo com a horizontal, arctg,5 75,96 75,96º orça Ângulo com a horizontal orça Ângulo com a horizontal, arctg,5 8,5 8, 8/9 V 7/9 ICHA esolução - E.

9 ICHA EVISÕES EXECÍCIO esultante cos 8,5 sen8,5 cos 6,5 + sen6,5 sen75,96 Considerando 5 kn, 5 kn e 5 kn: 5 5 cos 8,5 sen8,5 cos 6,5 + sen 6,5 5 5 sen 75,96 5 8,98 kn 5,69 kn Alínea b) esultante cos 8,5 sen8,5 cos 6,5 + sen6,5 sen75,96 Considerando kn, kn e 5 kn: cos 8,5 cos 6,5 + 5 sen8,5 sen 6,5 5 sen 75,96,9 kn,595 kn,9 kn,595 kn Nota: O sinal negativo das forças indica que elas terão sentido contrário ao considerado. 8/9 V 8/9 ICHA esolução - E.

10 Alínea c) esultante ICHA EVISÕES EXECÍCIO Considerando com a direcção indicada na figura e sentido contrário ao indicado na figura do enunciado, ou seja, com o sentido indicado na figura abaio: cos 8,5 sen8,5 cos 6,5 + sen 6,5 sen 75,96 kn 8, Considerando kn, 65 kn e kn: cos 8,5 cos 6,5 + sen8,5 sen6,5 sen75, ,595 kn, kn Alínea d) Condição de equilíbrio de um ponto material: esultante cos 6,5 + sen6,5 sen 75, Considerando kn, 5 kn, kn e kn: cos 6,5 + 5 sen 6,5 5 sen75, ,75 kn 8,98 kn (-8,75) + 8,98 Ângulo com a horizontal arctg 5 5,8 kn 8,98 arctg 8,75 6, 5,8 kn 6,º 8,98 kn 8,75 kn 8/9 V 9/9 ICHA esolução - E.