Movimento harmônico. Prof. Juliano G. Iossaqui. Londrina, 2017

Transcrição

1 Vibrações Movimento harmônico Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina, 2017 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

2 Objetivos 1 Movimento harmônico Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

3 Representação vetorial Movimento periódico: se o movimento for repetido a intervalo de tempo iguais. Como exemplo, considere uma partícula cujo deslocamento é descrito por Então, a velocidade é dada por e a aceleração é dada por x = A sen ωt ẋ = ωa cos ωt ẍ = ω 2 A sen ωt = ω 2 x Tal movimento, com a aceleração proporcional ao deslocamento e dirigida à posição média é denominado como movimento harmônico simples. Outro exemplo de movimento harmônico simples é x = A cos ωt. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

4 Representação vetorial P O θ = ωt Movimento harmônico pode ser representado por meio de um vetor OP de magnitude A que gira a uma velocidade angular constante ω. A projeção do vetor OP sobre o eixo vertical é dada por y = A sen ωt e sua projeção sobre o eixo horizontal é dada por x = A cos ωt Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

5 Representação por número complexos y b X = a+ib = Ae iθ O θ a x Qualquer vetor X no plano xy pode ser representado com um número complexo X = a+ib, com i = 1 onde a e b são denominados as partes real e imaginária do vetor X. O vetor X também pode ser representado como X = A cos θ + ia sen θ com A = a 2 + b 2 e θ = arctg(b/a). Outra forma de representar o vetor X é X = A e iθ Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

6 Álgebra de números complexos Números complexos podem ser representados sem usar notação vetorial como z = a+ib Seja dois números complexos z 1 = a 1 + ib 1 = A 1 e iθ1, com A 1 = a1 2 + b2 1 e θ 1 = arctg(b 1 /a 1 ) z 2 = a 2 + ib 2 = A 2 e iθ2, com A 2 = a2 2 + b2 2 e θ 2 = arctg(b 2 /a 2 ) A soma e a diferença de z 1 e z 2 podem ser calculada como z 1 + z 2 = A 1 e iθ1 +A 2 e iθ2 = (a 1 + a 2 )+i(b 1 + b 2 ) z 1 z 2 = A 1 e iθ1 A 2 e iθ2 = (a 1 a 2 )+i(b 1 b 2 ) Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

7 Álgebra de números complexos Exercício 1 Determine o produto dos números complexos z 1 = 1+2i e z 2 = 3 4i e expresse o resultado na forma A e iθ. Exercício 2 Determine o quociente z 1 /z 2 dos números complexos z 1 = 1+2i e z 2 = 3 4i e expresse o resultado na forma A e iθ. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

8 Operações com funções harmônicas Considere o vetor X escrito da seguinte forma X = A e iωt onde ω é a frequência de rotação. A derivada de X em relação ao tempo é dada por X = iωa e iωt = iω X derivando novamente tem-se X = (iω) 2 A e iωt = ω 2 X Dessa forma, o movimento harmônico pode ser representado por deslocamento = Re[A e iωt ] = A cos ωt velocidade = Re[iωA e iωt ] = ωa cos(ωt + 90 o ) aceleração = Re[ ω 2 A e iωt ] = ω 2 A cos(ωt o ) Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

9 Operações com funções harmônicas Exercício 3 Um acelerômetro montado na estrutura de um edifício indica que ele está vibrando harmonicamente a 15cps, com uma aceleração máxima de 0,5g. Determine a amplitude e a velocidade máxima da estrutura do edifício. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

10 Operações com funções harmônicas Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente. Se Re[ X 1 ] = A 1 cos ωt e Re[ X 2 ] = A 2 cos(ωt + θ), então a magnitude de X é A = (A 1 + A 2 cos θ) 2 +(A 2 sen θ) 2 e o ângulo α é ( ) A2 sen θ α = arctg A 1 + A 2 cos θ Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

11 Definições e terminologia Ciclo é o conjunto de estados sucessivos que se repetem periodicamente. Amplitude é o máximo deslocamento de um corpo vibratório em relação à sua posição de equiĺıbrio. Período de oscilação (τ) é a duração de um ciclo. Frequência de oscilação (f ) é o número de ciclos por unidade de tempo: f = 1 τ Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

12 Definições e terminologia Considere dois movimentos vibratórios denotados por x 1 = A 1 sen ωt x 2 = A 2 sen(ωt + φ) Os movimentos são denominados síncronos porque têm a mesma frequência ω. Diz-se que os dois movimentos têm uma diferença de fase φ. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

13 Definições e terminologia Frequência natural é a frequência com que um corpo tende a oscilar quando não sofre ação de forças externas (aplicadas ou amortecimento). Batimentos ocorre quando dois movimentos harmônicos de frequências próximas uma da outra são somados. Por exemplo, se x 1 = X cos ωt x 2 = X cos(ω + δ)t onde δ é uma quantidade pequena, a soma desses movimento resulta em ( ) [( δ x = x 1 + x 2 = 2X cos 2 t cos ω + δ ) ] t 2 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14

14 Definições e terminologia Exercício 4 Uma máquina está sujeita a dois movimentos harmônicos, e o movimento resultante apresentado na tela de um osciloscópio é mostrado na figura. Determine as amplitudes e frequências dos dois movimentos. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, / 14