RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

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1 ICENCIUR EM ENGENHRI CIVI RESUMO - FORMUÁRIO GEOMERI DE MSSS GEOMERI ORÇÃO ESDO GER DE ENSÃO ESDO PNO DE ENSÃO ESDO PNO DE ENSÃO CÍRCUO DE MOHR ENCURVDUR (EC3)

2 GEOMERI DE MSSS NO: s epressões abaio apresentadas foram deduidas para as condições representadas nas figuras aneas. ROÇÃO I + I I - I IX X Y + X Y cosα - I sen XY I + I I - I IY X Y - X Y cosα + I sen XY IX Y IX- I Y senα + I cos YX α α α X α+ X' Y α+ Y' EOREM DOS EIXOS PREOS (SEINER) I Δ I + G d.s d G G REÇÃO ENRE PRODUOS DE INÉRCI IXY I X GY G + a.b. S (X G; Y G) eios baricêntricos a a G Coordenada do centro de centro de gravidade no sistema de eios (X; Y). b G No eemplo representado na figura G é negativo. Coordenada do centro de centro de gravidade no sistema de eios (X; Y). X XG G G G b No eemplo representado na figura G é positivo. Y YG EIXOS E MOMENOS PRINCIPIS DE INÉRCI α p arctg IXY IX IY IX + I I Y má I + ( I ) 4 X IY + I XY α p + IX + I I Y min I ( I ) 4 X IY + I Se I X > I Y I mais próimo de I X Se I Y > I X I mais próimo de I Y XY ep ep /5

3 GEOMERI NO: s epressões abaio apresentadas foram deduidas para as condições representadas na figura anea. COORDENDS DE UM PONO NUM SISEM DE EIXOS RODDO X' Y' cosθ -senθ senθ X cosθ Y X θ + X' θ + Y Y' EQUÇÃO CRESIN DE UM REC PSSR EM DOIS PONOS (P e P) P (XP; YP) P (XP; YP) a X + b Y constante equação cartesiana de uma recta. Escolhe-se uma constante c (normalmente c ou c-). Resolve-se o seguinte sistema de equações: ax ax P P + by + by P P c c determina-se a e b 3. Escreve-se a equação da recta: a X + b Y c /5

4 ORÇÃO SECÇÕES CIRCURES.R má tensão tangencial máima I p ϕ θ G. I p (rad/m) rotação relativa por unidade de comprimento ϕ θ (rad) rotação θ Momento torsor R Raio da secção circular G Módulo de Elasticidade ransversal E G ν - coeficiente de Poisson ( + ν) SECÇÃO RNSVERS R má I p Momento de Inércia Polar I p I + I Secções circulares I π R 4 p SECÇÕES RECNGURES má α tensão tangencial máima h b θ β G h b3 (rad/m) rotação relativa por unidade de comprimento ϕ θ (rad) rotação SECÇÃO RNSVERS b lado menor da secção transversal rectangular h lado maior da secção transversal rectangular h má b h/b,0,0,5,30,40,50,60,70,80,5, α 4,80 4,67 4,57 4,5 4,48 4,40 4,33 4,7 4, 4,6 4,07 3,97 3,88 3,74 3,55 3,43 3,35 3,6 3,0 3,0 3,00 β 7, 6,49 6,0 5,8 5,65 5,35 5, 4,9 4,74 4,60 4,37 4,6 4,0 3,80 3,56 3,43 3,35 3,6 3,0 3,0 3,00 3/5

5 SECÇÕES UURES DE PREDE DEGD tensão tangencial S e θ 4. P G e S (rad/m) rotação relativa por unidade de comprimento ϕ θ (rad) rotação Momento torsor P Perímetro da linha média das paredes S Área delimitada pela linha média das paredes G Módulo de Elasticidade ransversal G e Espessura das paredes E ( + ν) ν - coeficiente de Poisson SECÇÃO RNSVERS DIGRM DE ENSÕES S e P 4/5

6 ESDO GER DE ENSÃO ENSOR DS ENSÕES σ σ σ ESDO PNO DE ENSÃO convenção σ σ com + ENSÕES PRINCIPIS det I 0 det σ- σ- 0 soluções: σ σ DIRECÇÕES DS ENSÕES PRINCIPIS Direcção principal correspondente a σ i [ -σ I ] i ni 0 σ-σi σ-σi n i ni 0 0 Destas equações escolhe-se uma e resolve-se o sistema de equações a incógnitas com a seguinte equação: ni + ni ni (ni;ni) - vector unitário normal à faceta onde ocorre a tensão principal σi 5/5

7 ENSÃO NGENCI MÁXIM má [ [ ] n ] n// Quando [ ] má má σ má [ n ] n má má n má - vector unitário normal à faceta onde ocorre a má n// - vector unitário paralelo à faceta onde ocorre a má má ENSÃO RESUNE CUR NUM DEERMIND FCE R [ ] n [ ] - tensor das tensões R - tensão resultante a actuar na faceta n - vector unitário normal à faceta onde se pretende determinar a tensão resultante v R σ + R σ + v σ - tensão normal a actuar na faceta perpendicular a n v - tensão tangencial a actuar na faceta perpendicular a n ENSÃO NUM DIRECÇÃO m CUR NUM DEERMIND FCE m R m m - tensão numa direcção m a actuar na faceta normal a n m - vector unitário na direcção m ENSÃO NORM CUR NUM DEERMIND FCE [ [ ] n ] σ n n R σ m - tensão numa direcção m a actuar na faceta normal a n ENSÃO NGENCI CUR NUM DEERMIND FCE v v [ [ ] n ] n// R n// v v σ + - σ n R R // v n [ -σi ] v - grandea da tensão tangencial a actuar na faceta n // - vector unitário com a direcção e sentido da tensão tangencial a actuar na faceta 6/5

8 ESDO PNO DE ENSÃO NO: s epressões abaio apresentadas foram deduidas para as condições representadas nas figuras aneas. EIXOS E ENSÕES PRINCIPIS α p arctg ± 90º σ σ ep α +90 º ep σmá σ σ + σ + (σ σ) + 4 α σmín σ σ + σ (σ σ) + 4 ep - eio principal ou: σ + σ σ σ σα + cosα + senα σ + σ σ σ σ( α± 90º) + cos ± [ ( α ± 90º )] + sen[ ( α 90º )] ENSÃO NGENCI MÁXIM σmá σ mín má ou má (σ σ) + 4 má α σ σ αc αp ± 45º α sen αc + cosα c c má Quando má σ σ + σ má ENSÃO NORM E NGENCI NUM FCE σθ σ + σ σ σ + cosθ + senθ σ σ θ senθ + cosθ 7/5

9 ESDO PNO DE ENSÃO CÍRCUO DE MOHR Facetas σ σ (horiontal) Facetas (vertical) σ σ R (faceta horiontal) má αc' C αp αp αc R má (faceta vertical) C centro do círculo de Mohr C σméd σ + σ R raio do círculo de Mohr R + (σ C) σmá σ σméd + R C + R σmín σ σméd R C R 8/5

10 má R Estado de má tensão σ C R α p ângulo que a faceta onde ocorre σ fa com a faceta (faceta vertical) ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ fa com a normal à faceta α p ângulo que a faceta onde ocorre σ fa com a faceta (faceta vertical) ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ fa com a normal à faceta tg αp α p σ - C α p 80º - α p α p arctg σ - C 90º -α p α c ângulo que uma das facetas onde ocorre má fa com a faceta (faceta vertical) ou ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre má fa com a normal à faceta α c ângulo que uma das facetas onde ocorre má fa com a faceta (faceta horiontal) ou ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre má fa com a normal à faceta tg α ou c σ - C αc σ - arctg C α c 90º - α p α c 45º -α p tg α ou c' C -σ α c' C -σ arctg α c' α c α c' α c NO: Os sinais das tensões e os sentidos de rotação dos ângulos deverão ser consultados no Círculo de Mohr. 9/5

11 VERIFICÇÃO D SEGURNÇ DE EEMENOS SUMEIDOS COMPRESSÃO VERIFICÇÃO D SEGURNÇ DE EEMENOS À COMPRESSÃO SEM ENCURVDUR EC3 Nc,Rd Nc,Rd N Ed - valor de cálculo do esforço de compressão actuante N - valor de cálculo do esforço normal resistente à compressão (sem encurvadura) c,rd Nc,Rd f γ M0 -área da secção transversal do elemento f γ -tensão M0 - de cedência do aço coeficiente parcial de segurança ( γ M0,0) VERIFICÇÃO D SEGURNÇ DE EEMENOS À COMPRESSÃO COM ENCURVDUR Nb,Rd Nb,Rd N b,rd - valor de cálculo da resistência à encurvadura do elemento comprimido Para as secções transversais das Classes, e 3: -área da secção transversal do elemento Nb,Rd χ f γ M f -tensão de cedência do aço χ- coeficiente de redução devido à encurvadura γ M - coeficiente parcial de segurança ( γ M,0) χ mas χ,0 Φ + Φ- Φ [ + α ( 0,) + ] 0,5 Esbeltea normaliada f N cr i cr N cr - valor crítico do esforço normal para a encurvadura (carga crítica de Euler) Carga crítica de Euler N cr π E I cr E-módulo de elasticidade do aço I-momento de inércia cr - comprimento de encurvadura 0/5

12 cr comprimento de encurvadura (função das condições de apoio das barras) cr cr cr cr 0,5 cr 0,7 Coeficiente de esbeltea i i cr, cr, i - raio de giração i i I I G Coeficiente de esbeltea de referência E π 93,9 ε em que ε f 35 f (f em MPa) Factor de imperfeição α - depende da curva de encurvadura Curva de encurvadura a 0 a b c d Factor de imperfeição α 0,3 0, 0,34 0,49 0,76 EC3 - Quadro 6. Módulo de elasticidade do aço E 0 GPa ÇO f (*) (MPa) Principais aços utiliados na construção metálica em Portugal S35 (Fe360) 35 93,9 S75 (Fe430) 75 86,8 S355 (Fe50) ,4 (*) tensão de cedência para aços em perfis com componentes da secção de espessura t 40mm /5

13 Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal EC3 - Quadro 6. /5

14 Os efeitos da encurvadura poderão ser ignorados quando: 0, ou N N Ed cr 0,04 DIMENSIONMENO - Pré-dimensionamento Começa-se por arbitrar um factor de redução χ, por eemplo: χ 0,8 Nb,Rd χ f γ M 0,8 f 0,8 f Escolhe-se o perfil que tenha uma área idêntica a ª Hipótese: Perfil i i - Verificação da segurança Determina-se i i cr, cr, -: curva α -: curva α Φ Φ χ χ χ mín mín( χ ; χ ) N b,rd χ mín γ M f Nota: Normalmente a situação mais desfavorável corresponderá ao estudo da encurvadura em relação ao eio que apresentar a maior esbeltea, no entanto deverá ser verificada a influência do factor de imperfeição α. Nb,Rd > Nb,Rd << Nb,Rd escolher perfil superior (maior) escolher perfil inferior (menor) O processo iterativo finalia quando for encontrado o menor perfil que verifica a segurança. 3/5

15 ENCURVDUR POR FEXÃO DE EEMENOS DE ESRUURS RINGUDS OU REIÇDS NEXO EC3 elementos de alma cordas cr - Comprimento de encurvadura - Comprimento real O comprimento real no plano é a distância entre ligações. O comprimento real fora do plano é a distância entre os apoios laterais. COMPRIMENOS DE ENCURVDUR cr. CORDS a) Cordas constituídas por perfis em geral, ecepto perfis I, H ou tubulares Encurvadura no plano da estrutura cr Encurvadura para fora do plano da estrutura. cr b) Cordas constituídas por perfis I ou H Encurvadura no plano da estrutura cr 0,9 Encurvadura para fora do plano da estrutura. cr c) Cordas constituídas por perfis tubulares Encurvadura no plano da estrutura cr 0,9 Encurvadura para fora do plano da estrutura. cr 0,9 4/5

16 . EEMENOS DE M (DIGONIS E MONNES) a) Elementos de alma em que as cordas não oferecem restrição às rotações (rótulas teóricas) Encurvadura no plano da estrutura cr Encurvadura para fora do plano da estrutura. cr b) Elementos de alma em que as cordas oferecem restrições adequadas b) Elementos de alma constituídos por perfis em geral, ecepto cantoneiras e perfis tubulares soldados a cordas constituídas por perfis tubulares Encurvadura no plano da estrutura cr 0,9 Encurvadura para fora do plano da estrutura. cr b) Elementos de alma constituídos por perfis tubulares soldados a cordas constituídas também por perfis tubulares Encurvadura no plano da estrutura cr 0,75 Encurvadura para fora do plano da estrutura. cr b3) Elementos de alma constituídos por cantoneiras Deverá ser utiliada a esbeltea normaliada efectiva: eff,v 0,35+ 0,7 v - para a encurvadura em torno do eio v-v eff, 0,50 + 0,7 - para a encurvadura em torno do eio - eff, 0,50 + 0,7 - para a encurvadura em torno do eio - 5/5