Sumário e Objectivos. Resistência dos Materiais 18ªAula. Lúcia M.J.S. Dinis 2005/2006

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Função de Prandtl. Torção de Veios de Secção Elíptica e Rectangular e de Secções Abertas de paredes delgadas. Objectivos da Aula: Apreensão dos conceitos Fundamentais associados à torção de veios de forma arbitrária 1

2 Vigas 2

3 Camião 3

4 Bicicleta 4

5 Função de Tensão de Prandtl A solução do problema de torção de um veio de secção arbitrária, na ausência de forças de massa, passa pela solução do sistema de equações τ τ zx zy + = 0 τ τzx zy = 2G θ considerando as condições de fronteira seguintes τzxνx + τzyνy = 0 na superfície lateral do sólido M = (xτ y τ )dxdy t yz xz A para z=0 e z=l. 5

6 Função de Tensão de Prandtl Para resolver este problema um dos métodos disponíveis recorre à chamada função de tensão de Prandtl que é uma função tal que verificando automaticamente as equações de equilíbrio. τ zx φ = e τzy = φ Substituindo estas expressões na equação de compatibilidade obtém-se φ φ + = θ 2G Esta equação é muitas vezes referida como Equação de Poisson. A solução do problema passa agora pela solução da equação de compatibilidade sujeita às condições de fronteira φ ν φ ν x y= 0 6

7 Veio de Secção Elíptica x y A função φ a considerar é b a x x y φ = k + 1 a b sendo k uma constante Substituindo a função φ na equação de compatibilidade, obtém-se 2k a 2k + = 2Gθ= b H k = ab b a 2( + ) H 7

8 Veio de Secção Elíptica A função de Prandtl para o veio de secção elíptica toma a forma ab x y φ= H a b ( a b ) + A1ª condição de fronteira refere-se ao contorno do veio e é φ φ φ + = = 0 s s s A outra condição de fronteira diz respeito aos extremos do veio e é φ φ M t = (xτyz y τxz)dxdy = (x y )dxdy A + A φ ( x) φ ( y) M t = ( y 2 )dxdy por aplicação do teorema de Gauss + φ = A obtém-se =- (xφcos( ν, x) + yφcos( ν, y))ds + 2φdxdy C A 8

9 Veio de Secção Elíptica O integral estendido ao contorno é nulo pela 1ª condição de Fronteira e o Momento torsor é 3 3 M t = 2φdxdy Ou seja πab M t = Gθ A ( a + b ) No caso do veio elíptico a função de Prandtl pode ser escrita em termos do Momento torsor, com a seguinte forma Mt x y φ= + 1 πab a b As tensões são φ 2 ty ty xz = = M = M Tensão Resultante τ 3 πab 2Ix 2 1/2 φ 2Mtx Mtx 2M t x y τxz = = = τzα = ( τ ) zx +τ zy = + 3 πab πba 2Iy a b /2 9

10 Veio de Secção Rectangular 2b y x φ φ + = θ 2G sujeita à condição de contorno φ = 0 A solução da equação de Poisson pode considerada com a forma 2 V= 0 na área da Secção φ= θ x a + G ( ) V(x,y) V=0 para x=±a V G ( ) = θ a x para y=±b 10

11 Secção Rectangular A solução destas equações pode ser procurada considerando o método da separação de variáveis, ou seja V(x,y)= f(x)g(y) Onde f(x) é uma função de x e g(y) é uma função de y. Considerando esta forma para a função V(x,y) a 1ª equação toma a forma 2 f g V = g +f = gf + fg = Para que esta equação seja verificada é necessário que seja f g = = λ f g Estas equações podem ser escritas com a forma f + λ f = 0 e g λ g =

12 Secção Rectangular f + f = 0 e g g = 0 λ λ cujas soluções são f = A cos λ x + Bsenλx g = Acoshλ y + Dsenhλy Tendo em conta que V(x,y) tem de ser uma função par em x e y, as constantes B e D devem ser nulas, B=D=0, a função V toma então a formav = A cosλx coshλy V=0 para x=±a λ= nπ nπx V = A n cos cosh n= 1,3,5,... nπy = θ a x para y=±b V G ( ) 12

13 Secção Rectangular Para verificar esta última condição tem de ser n= 1,3,5,... C nπ x = θ x a = n cos G ( ) f (x) nπb onde Cn = A n cosh Para obter o coeficiente C n, de acordo com a Teoria das Séries de Fourier, multiplicase ambos os membros da equação por cos(nπx/) e integra-se entre a e +a, obtendo-se + a a 1 nπx 2Gθ nπx Cn = f(x)cos dx a ou Cn = ( x a )cos dx a C a a 2 n = θ 2G θ n x n x x cos dx 2G a cos dx a π π 0 0 a C 0 ( ) 32Gθ 1 = n π n 3 3 (n 1)/2 13

14 Secção Rectangular A n ( ) (n 1)/2 32Gθ 1 = 3 3 nπb n π cosh Função de Prandtl φ= G θ( a x ) ( ) (n 1)/2 2 1 cos cosh 32Gθa π 3 n= 1,3,5... A função φ, para b/a, toma o valor aproximado de τ τ (n 1)/2 nπx nπy ( 1) cos senh φ 16Gθa = = π n 1,3, nπb = n cosh xz 2 (n 1)/2 nπx nπy ( 1) sen cosh φ 16Gθa = = 2Gθx π n 1,3, nπb = n cosh yz 2 n 3 nπx nπb cosh φ θa x G ( ) nπy 14

15 Tensões Máximas numa Secção Rectangular. Fórmulas Aproximadas. B τ 1 = M α ba t max 2 Em A, A A A θ= M ou seja C=G = b G t 3 3 Ip c1 a c1ba G B τ = 1 M β ba t 2 Em B,B No caso de ser b>>a, rectângulo muito delgado, b/a e α 1/3 e as equações de τ e θ tomam a forma = 3M = G θ a; ba 3M 1 ; C=G b G ba G 3 t τ t max 3 2 θ= 3 Ip = a 15

16 Tensões Máximas numa Secção Rectangular. Fórmulas Aproximadas. N=b/a α=c1 c c c β µ=c1 c

17 Secções Abertas de parede delgada τ = 3M = G θ a; ba t max 2 3M t 1 3 θ= 3 ; C=GIp = ba G ba G 3 17

18 Secções Abertas de Paredes Delgadas G C= GI = k b a τ = θ θ t n 3 p i i 3 i = 1 G a i sendo = M / C 18

19 Analogia de Membrana de Prandtl φ φ + = θ 2G S α z dx y p d y z z p + = S x S x Prandtl mostrou que as deformações de corte numa barra elástica rectilínea sujeita a um momento torsor estão relacionadas com as inclinações da membrana estendida num orifício de uma placa plana e sujeita a uma pressão p, considerando o orifício com a forma da secção recta da barra e a membrana ligada à fronteira do orifício. 19

20 Problemas Propostos 1. Calcule o cociente entre as tensões máxima e o cociente entre os ângulos de torção produzidos para um mesmo momento torsor numa barra de secção rectangular (b/a=3) e numa barra de secção circular com área equivalente à secção rectangular. Considere as barras com o mesmo comprimento e construídas do mesmo material. 20

21 Problemas Propostos 2. Determine a tensão máxima instalada e o ângulo de torção por unidade de comprimento numa cantoneira mm, submetida a um momento torsor de 1kN.m. 21

22 Problemas Propostos 3. Mostre que a função de tensão G a φ = θ x 3y x 3y x é adequada para efeitos de cálculo das tensões num triângulo equilátero com a forma representada na figura. Determine as tensões tangenciais x a/3 /3 22