Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Engenharia Mecânica

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1 Resistência dos Mateiais 003/004 Cuso de Engenhaia Mecânica 19ª ula Duação - Hoas Data - 4 de Dezembo de 003 Sumáio: Toção de Veios de Secção Cicula Objectivos da ula: peensão dos conceitos Fundamentais associados à toção de veios de Secção Cicula Resumo do Conteúdo da ula 1. Toção de Um Veio de Secção Cicula Um veio cilíndico sujeito a momentos tosoes, sendo x o eixo coincidente com o eixo do cilindo, está em equilíbio se fo M x = 0 como se epesenta na figua 0.1. L γ Mt Figua 19.1 Peça Cilíndica sujeita a Momentos Tosoes Pessupostos Fundamentais:

2 1- Secções Rectas do Cilindo pemanecem Ciculaes e planas, após defomação, odando em tono do espectivo cento. - Um aio taçado sobe uma secção ecta pemanece ectilíneo duante a defomação do veio. 3- O ângulo ente dois quaisque aios no plano duma secção ecta pemanece constante duante a defomação da baa. 4- Se se considea um ângulo de toção total pequeno não há vaiação do aio nem do compimento do veio. Considee-se um veio cilíndico como se epesenta na figua 19. e considee-se um toço de dimensão dx ente as secções e BB. Os pontos R e S antes da defomação passam a ocupa as posições R* e S* após a defomação. vaiação angula sofida na diecção cicunfeencial, θ, é designada po γ e é tal que S S* dφ γ = lim = x 0 R *S dx (19.1) elação defomação deslocamento paa um veio de secção cicula é εθ x = 1 γ = 1 dφ dx s outas componentes do tenso das defomações em coodenadas cilíndicas são: ε = ε ε ε ε = = = = θ x θθ xx O vecto deslocamento num ponto é u deslocamento segundo x - eixo da baa v deslocamento na diecçao cicunfeencial w deslocamento na diecçao adial 0 Designando po θ a vaiação angula po unidade de compimento, ou seja dφ = γ = = θ (19.) εθx dx Os deslocamentos são

3 u 0 v = θx w 0 (19.3) Note-se que em coodenadas cilíndicas as defomações ε θx são 1 u dv = + = θ (19.4) εθx θ dx O tenso das defomações tem a foma εxx εxθ εx 0 θ / 0 = θ/ 0 0 ε ε ε θx θθ θ εx εθ ε (19.5) sendo 1 u dv γ = ε = + = θ θx θ dx Mt g B R f φ+dφ R* M t dx B S S* = dφ R R* S S* S dφ S S* dφ γ = lim = x 0 R *S dx Defomação de Cote dx Figua 19.: Defomação de Toção

4 distibuição de defomações na secção é tal que o valo máximo ocoe paa igual ao valo máximo de, designado po R e é zeo paa = 0 como se epesenta na figua s tensões são obtidas po aplicação da Lei de Hooke Genealizada admitindo que o compotamento do mateial é linea elástico. O tenso das tensões toma a foma σxx xθ x 0 Gθ 0 = Gθ 0 0 σ θx θθ θ x θ σ (19.6) No caso de se tata de um veio oco a distibuição de defomações também se epesenta na figua γ γ R γ max dφ = R = Rθ dx γ min i = θ γ max e = θ R max = GRθ e min Gi = θ max G e = θ Figua 19.3: Distibuição de Defomações e Tensões ao longo do aio s tensões distibuídas na secção coespondem a uma foça num elemento de áea d que é df = d (19.7)

5 O momento esultante da distibuição de tensões na secção é M t = df = d = θ = θ (G )d G d (19.8) como se epesenta na figua df = d M t = df = d = θ = θ (G )d G d M t Figua 19.4: Momento Resultante das Tensões Distibuídas na Secção Tendo em conta que o integal da expessão 19.8 epesenta o momento de inécia pola da secção, ou seja I 4 π (19.9) p = J = d = consequentemente o momento toso é Mt = GIpθ ou M GI t θ= (19.10) p Tendo em conta o tenso das tensões segundo o qual, equação (19.10), obtém-se = Gθ e substituindo θ da M t = (19.11) Ip Tendo em conta que θ = dφ/dx, a equação pode se escita com a foma

6 x dφ = M t ou M t(x)dx φ (x) =φ (0) dx + GIp G(x) Ip(x) 0. Toção de Um Veio de Secção Oca No caso do veio te a secção oca, a distibuição de tensões é linea como se epesentou na figua 19.3, sendo o momento obtido pela fómula M = df = d t (G )d G d = θ = θ sendo d = dϕ d. Substituindo este valo na fómula anteio obtém-se π dφ π M = G dϕ d = Gθ dx 0 i e ( ) (19.1) t e i π 4 4 sendo ( e i) o momento de inécia pola. 3. Toção de Um Veio de Secção Composta No caso de se considea um veio constituído po dois mateiais, o mateial e o mateial B, como se epesenta na figua 19.5 com módulos de elasticidade tansvesal G e G B espectivamente, as tensões são = G θ e B = GB Bθ, sendo a 1ª a tensão no mateial e a ª a tensão no mateial B. B B B θ = G = B G B B B + Figua 19.5: Secção Composta

7 O momento toso é composto pelo momento toso no mateial e pelo momento toso no mateial B, ou seja Mt = Mt+ MtB= GJθ+ GBJBθ (19.13) sendo J e JBos momentos de inécia polaes das egiões e B. Os momentos de inécia polaes são obtidos a pati das dimensões e são J π π(b ) = e JB= (19.14) O ângulo de toção po unidade de compimento, de acodo com 19.13, é M t θ= G J + G J B B Consequentemente as tensões nos mateiais e B são M G M G = e = G J G J G J G J t t B B B + B B + B B (19.15) s pacelas do momento toso supotadas po cada um dos mateiais são G J G J M = M e M = M G J G J G J G J B B t t tb t + B B + B B (19.16) Exemplo 19.1 Considee um veio de Secção Cicula com 5cm de diâmeto e admita que o petende substitui po um veio de secção cicula oca. No caso do diâmeto exteio da secção oca se de 7.5 cm, qual deve se o diâmeto inteio de modo que a tensão máxima no tubo não se altea. Detemine o peso dos dois tubos e compae-os e diga o que conclui dessa compaação. Considee o mesmo mateial paa os dois tubos. Resolução tensão tangencial num veio de secção cicula elaciona-se com o momento toso atavés da fómula = M t I p No caso do veio de secção cicula, =.5cm, o momento de inécia pola é

8 I p = J = d= π 4 = cm4 e consequentemente a tensão é M M.5 Ip t t = = = M t No caso do veio de secção oca é π 4 4 π 4 4 Ip = ( e i) = ( 3.5 i) e a tensão é M M = = = M π t t t 4 4 ( i 4 ) ( i ) Ip 3.5 Compaando as tensões nos dois veios obtém-se ( i ) = ou 4 i i = =.697cm O peso é popocional às áeas das secções, e as áeas são: solido = cm e oco = cm O cociente das áeas é oco/solido = Consequentemente o peso do veio oco é ceca de metade do peso do veio sólido. Exemplo 19. Considee um veio de secção cicula composta, como se epesenta na figua 19.6, cujo diâmeto exteio é 140mm e cujo diâmeto inteio é desconhecido. tensão máxima instalada é de 150MPa.O mateial tem um módulo de igidez tansvesal G =110GPa e o mateial B tem um módulo de igidez tansvesal GB =80GPa. O momento toso M a que a peça está sujeita é 78.5KN.m. Detemine o aio inteio do veio. T B

9 Resolução Figua 19.6: Veio Composto 4. Teoia de Saint Vennant Considee o veio epesentado na figua 19.6 sendo a secção de foma abitáia e associado ao veio considee o sistema de eixos Oxyz sendo o eixo dos zz coincidente com o eixo do veio, o veio está sujeito a um momento toso Mt. Mt y,v Mt z,w x,u Figua 19.6: Veio sujeito a Toção O deslocamento segundo o eixo é designado po,w e é uma função das coodenadas x,y, ou seja w= w (x,y) s secções odam sem distoção em tono do cento de gavidade sendo o ângulo φ, definido em função de θ do seguinte modo φ = θ z Na figua 19.7 estão epesentados os deslocamentos sofidos pelo ponto P da secção no plano Ox,y, sendo as coodenadas do ponto no sistema de eixos Oxyz designadas po x,y,z, as quais se podem elaciona com as coodenadas polaes do ponto atavés das elações seguintes

10 x = cos α y = sen α O deslocamento PP* é φ = θ z cujas componentes segundo x e y são u,v. O vecto deslocamento efeido aos eixos dos xx e dos yy é de acodo com a figua u θ zsenα θzy v = θzcosα = θzx w w(x,y) w(x,y) (19.17) y P* v α u P α x Figua 19.7: Deslocamentos segundo x e y s defomações são obtidas a pati dos deslocamentos, tendo em conta as elações defomações deslocamentos, sendo o tenso das defomações u 1 u v 1 u w 1 w y x y x z x θ 1 u v v 1 v w 1 w ε = + + = xθ z 1 u w 1 v w w 1 w 1 w + + yθ + xθ 0 z z z (19.18) s tensões são obtidas po aplicação da lei de Hooke, sendo o tenso das tensões

11 w 0 0 G yθ w σ= 0 0 G + xθ w w G yθ G + xθ 0 s equações de equilíbio tomam neste caso a foma seguinte zx = = + = z z zy zx zy 0 0 e 0 (19.19) (19.0) Tendo em conta que as tensões são w w = G y θ e = G + xθ xz yz (19.1) s deivadas dos deslocamentos w são tais que w w G = xz Gy θ e G =yz+ Gx θ (19.) Paa assegua a compatibilidade dos deslocamentos, pode deiva-se em odem a y a 1ª equação e em odem a x a ª equação, os esultados obtidos têm de se iguais, donde se infee a equação de compatibilidade seguinte zx zy = θ G (19.3) solução do poblema passa pela solução do sistema de equações zx + zy = 0 zx zy = θ G (19.4) consideando as condições de fonteia seguintes zxνx + zyν y = 0 na supefície lateal do sólido e (x yz y xz)dxdy paa z=0 e z=l.

12 esolução do sistema de equações é possível paa alguns poblemas simples ecoendo à função de tensão. 5. Poblemas Popostos paa Solução na ula 1. Um veio de secção cicula sólida de diâmeto d e um veio de secção cicula oca de diâmeto inteio d/ têm o mesmo compimento e estão sujeitos a momentos tosoes iguais de valo. Detemine a tensão de cote máxima em cada veio e o ângulo de Mt toção ente os extemos de cada veio. O compimento do veio é L e o aio exteio do veio oco é d.. Considee um veio composto de alumínio e aço com as dimensões epesentadas na figua e sujeito a um momento toso de kn.m. Detemine as tensões de cote máximas instaladas e detemine o ângulo de cote. O módulo de igidez tansvesal do lumínio é 7 GPa e o módulo de igidez tansvesal do ço é 80GPa. l 50mm 100mm 150mm Figua 19.8: Veio Composto 3. Considee um veio de secção cicula composta, como se epesenta na figua 19.9, cujo diâmeto exteio é 140mm e cujo diâmeto inteio é desconhecido. tensão máxima instalada é de 150MPa.O mateial tem um módulo de igidez tansvesal G =110GPa e o mateial B tem um módulo de igidez tansvesal GB =80GPa. O momento toso M a que a peça está sujeita é 78.5KN.m. Detemine o aio inteio do veio. T B

13 Figua 19.9: Veio Composto 6- Leituas a Efectua nas Hoas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Mateiais, Edilibe Editoa, 1995, - Calos Moua Banco, Mecânica dos Mateiais, Teoia e plicação, McGaw-Hill, J. F. Silva Gomes, pontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editoial de Engenhaia. Resistência dos Mateiais 003/004 Cuso de Gestão e Engenhaia Industial 0ª ula Duação - Hoas Data - 4 de Dezembo de 003 Sumáio: Função de Pandtl. Toção de Veios de Secção Elíptica e Rectangula e de Secções betas de paedes delgadas. Objectivos da ula: peensão dos conceitos Fundamentais associados à toção de veios de foma abitáia Resumo do Conteúdo da ula 1. Função de Tensão de Pandtl solução do poblema de toção de um veio de secção abitáia, na ausência de foças de massa, passa pela solução do sistema de equações zx zy + = 0 zx zy = G θ (0.1) consideando as condições de fonteia seguintes

14 zxνx + zyν y = 0 na supefície lateal do sólido e M t = (xyz y xz)dxdy paa z=0 e z=l. Paa esolve este poblema um dos métodos disponíveis ecoe à chamada função de tensão de Pandtl que é uma função tal que zx φ φ = e zy = (0.) veificando automaticamente as equações de equilíbio. Substituindo as expessões 0. na equação de compatibilidade obtém-se φ φ + = Gθ (0.3) Esta equação é muitas vezes efeida como Equação de Poisson. solução do poblema passa agoa pela solução da equação de compatibilidade 0.3 sujeita às condições de fonteia φ φ zxνx + zyν y = 0 ou νx νy= 0 (0.4) deteminação da função φ adequada depende da geometia da secção.. Veio de Secção Elíptica Considee-se um veio de secção elíptica como se epesenta na figua 0.1 b a x

15 Figua 0.1: Veio de Secção Elíptica função φ a considea é x y φ= k + 1 a b sendo k uma constante. (0.5) Substituindo a função f na equação de compatibilidade, obtém-se k k + = Gθ= H, a b esolvendo em odem a k obtém-se ab k = H ( b + a ) (0.6) função de Pandtl paa o veio de secção elíptica toma a foma ab x y φ= H + 1 a b ( a b ) + (0.7) 1ª condição de fonteia efee-se ao contono do veio e é zxνx + zyν y = 0 ou do veio. φ φ φ + = = 0 s s s ou seja φ é constante no contono exteio outa condição de fonteia diz espeito aos extemos do veio e é φ φ M t = (xyz y xz)dxdy = (x y )dxdy + (0.8) po aplicação do teoema de Gauss obtém-se φ ( x) φ ( y) M t = ( + y φ )dxdy = =- (xφcos( ν, x) + yφcos( ν, y))ds + φdxdy C (0.9) O integal estendido ao contono é nulo pela 1ª condição de Fonteia e o Momento toso é

16 M t = dxdy φ (0.10) ou seja no caso do veio elíptico 3 3 πab M t = Gθ a b ( + ) (0.11) No caso do veio elíptico a função de Pandtl pode se escita em temos do Momento toso, com a seguinte foma 1 πab a b t y φ= M x + (0.1) s tensões são φ M y Mty = = = πab Ix t xz 3 φ Mx Mtx = = = πba Iy t xz 3 (0.13) tensão de cote esultante é ( ) zx zy 1/ M x t zα = + = πab a y b 1/ (0.14) No caso paticula de se a=b obtém-se os esultados coespondentes ao veio de secção cicula. 3. Veio de Secção Rectangula No caso do veio te secção ectangula, como se epesenta na figua 0. ainda é possível obte solução paa a equação de Poisson φ φ + = Gθ sujeita à condição de contono φ = 0 (0.15)

17 y b x a Figua 0.: Secção Rectangula solução da equação de Poisson pode consideada com a foma φ= G θ( ) + V(x,y) (0.16) x a onde V(x,y) é uma função pa de (x,y). Substituindo esta função φ nas equações 0.15 obtém-se V = 0 na áea da Secção V=0 paa x=±a V = G θ( a x ) paa y=±b (0.17) solução destas equações pode se pocuada consideando o método da sepaação de vaiáveis, ou seja V(x,y)= f(x)g(y) (0.18) Onde f(x) é uma função de x e g(y) é uma função de y. Consideando esta foma paa a função V(x,y) a 1ª equação 0.17 toma a foma f g V = g +f = gf + fg = 0 (0.19) sendo f e g as segundas deivadas de f e g em odem a x e y espectivamente. Paa que a equação 0.19 seja veificada é necessáio que seja f f g g = = λ (0.0) onde λ epesenta uma constante positiva. s equações 0.0 podem se escitas com a foma

18 f + f = 0 e g g = 0 λ λ (0.1) cujas soluções são f = cos λ x + Bsenλx g = cosh λ y + Dsenhλy (0.) Tendo em conta que V(x,y) tem de se uma função pa em x e y, as constantes B e D devem se nulas, B=D=0, a função V toma então a foma V = cosλx coshλy (0.3) Onde epesenta uma constante abitáia. Paa que a ª condição de 0.17, V=0 paa x=±a, se veifique é necessáio que seja nπ λ= (0.4) a Paa veifica a 3ª condição de 0.17, considea-se nπx nπy V = n cos cosh (0.5) a a n= 1,3,5,... Consideando este desenvolvimento em séie a equação hamónica, V= 0, é veificada, assim como a ª condição de 0.17, a veificação da 3ª condição implica que seja nπ x = θ = Cn cos G ( x a ) f (x) (0.6) n= 1,3,5,... a onde C n nπb = n cosh (0.7) a Paa obte o coeficiente C n, de acodo com a Teoia das Séies de Fouie, multiplica-se ambos os membos da equação 0.6 po cos(nπx/a) e intega-se ente a e +a, obtendo-se + a 1 nπx Cn = f(x)cos dx a (0.8) a a

19 Tendo em conta que f(x)cos (nπx/a)= G θ( a x ) cos (nπx/a) é simética em elação a x=0, pode esceve-se C n a nπx ( )cos dx Gθ = x a a (0.9) a 0 ou C a n = θ G θ n x n x x cos π dx G a cos π dx a a a 0 0 a (0.30) Este integal pode se facilmente po uso de tabelas de integais, obtendo-se C ( ) 3Gθ 1 = n π n 3 3 (n 1)/ (0.31) Tendo em conta as elações 0.7 e 0.31, obtém-se a constante n ( ) (n 1)/ 3Gθ 1 = 3 3 nπb n π cosh a (0.3) consequentemente a função de Pandtl φ toma a foma φ= G θ( ) a x ( ) (n 1)/ 1 cos cosh 3Gθa a a π 3 n= 1,3,5... nπx nπy (0.33) 3 nπb n cosh a função φ, paa b/a, toma o valo apoximado de φ G θ( ) (0.34) a x Tendo em conta que 4 cosh(y) 1! 4!... = + y + y +. s tensões obtém-se consideando as equações 0. e 0.33 e são (n 1)/ nπx nπy ( 1) cos senh φ 16Gθa = = a a π n 1,3,5... nπb = n cosh a xz

20 (n 1)/ nπx nπy ( 1) sen cosh φ 16Gθa = = Gθx a a (0.35) π n 1,3,5... nπb = n cosh a yz O momento é de acodo com 0.10 M t = dxdy φ =GJθ (0.36) ( ) a (b) 19 a 1 nπb sendo J = 1 tangh 3 b. π n= 1,3,5,... n a No caso paticula de se b/a o temo dento de paêntesis na expessão de J toma o valo unitáio e J tende paa o valo foa de paêntesis. 4. Tensões Máximas numa Secção Rectangula. Fómulas poximadas. Consideando uma secção ectangula de dimensões b a sendo b o lado maio e a o lado meno como se epesenta na figua 0.3. tensão máxima ocoe nos pontos, e é dada pela fómula 1 = M α ba t max (0.37) sendo α um coeficiente dependente do cociente b/a, cujos valoes são dados pelos valoes indicados na tabela 0.1. B Figua 0.3: Secção Rectangula O ângulo de toção po unidade de compimento θ é dado pela equação B

21 θ= M ou seja C=G = b G (0.38) t 3 3 Ip c1 a c1ba G sendo o valo numéico de c 1 indicado na tabela 0.1 N=b/a α= c1 c c c β µ= c1 c Tabela 0.1 Paa n>4, c1 e c= c1 α são dados pelas fómulas apoximadas: c1= 1 ; c1= n 3 1+ n (0.39) tensão nos pontos B, B no meio dos lados de meno dimensão é dada pela fómula 1 M t = β ba os valoes de b estão indicados na tabela 0.1. (0.40) No caso paticula da secção quadada as tensões e o ângulo de toção po unidade de compimento são dadas pelas fómulas 1 M t max = ; 1 M t ; C=G I p b G 0.08 b θ= b G = (0.41) No caso de se b>>a, ectângulo muito delgado, b/a e α 1/3 e as equações de t e q tomam a foma = 3M = G θ a; ba t max θ= 3M t ; C=G Ip b a G ba G = 3 (0.4) 5. Secções betas de paede delgada Paa as secções de paedes delgadas epesentadas na figua 0.4, a teoia da elasticidade e a expeiência mostam que se podem utiliza as fómulas 0.4, consideando a igual à espessua média e b igual ao compimento total.

22 Figua 0.4: Secções betas de Paedes Delgadas No caso das secções epesentadas na figua 0.5 que também são secções abetas de paedes delgadas, pode admiti-se sem gande eo que os difeentes ectângulos de dimensões a i b i que compõem a secção esistem à toção independentemente uns dos outos. Podendo esceve-se G C= GI = k b a n 3 p i i 3 i = 1 sendo n o númeo de ectângulos do pefil. O coeficiente k é em geal ligeiamente supeio a 1 paa te em conta o facto de os ângulos estaem amaciados como se epesenta na figua 0.5 Figua 0.5: Secções betas Estes esultados são confimados pelos ensaios de Föppl assim como pelos tabalhos teóicos baseados na teoia da elasticidade. Föppl aconselha a usa-se k=1 paa as cantoneias, k=1.1 paa os pefis em U e T e K=1.5 paa os pefis em duplo T. tensão tangencial máxima paa a secção é sempe dada pela fómula = G θa i sendo θ = Mt / C Estes esultados não são válidos quando a toção é não unifome. 6. nalogia de Membana de Pandtl O método da analogia de Membana de Pandtl foi oiginaiamente poposto em 1903 e e tia patido da semelhança existente ente a equação de Poisson

23 φ φ + = Gθ (0.36) e a equação de equilíbio de foças, na diecção do eixo dos zz, da membana sujeita a uma pessão lateal p, é z z p + = S (0.37) onde z epesenta o deslocamento lateal da membana em temos de uma pessão lateal de intensidade p (foça po unidade de áea) e uma foça inicial po unidade de compimento S, tacção inicial, como se epesenta na figua 0.6 x z S α p S α α+ dx x x dy y dx Figua 0.6 Membana sujeita a pessão lateal Pandtl mostou que as defomações de cote numa baa elástica ectilínea sujeita a um momento toso estão elacionadas com as inclinações da membana estendida num oifício de uma placa plana e sujeita a uma pessão p, consideando o oifício com a foma da secção ecta da baa e a membana ligada à fonteia do oifício. Compaando as equações 0.36 e 0.37 pode afima-se que z = Cφ e p/s = C Gθ (0.38) sendo C uma constante de popocionalidade. Nestas condições é

24 z φ GθS = e φ= z p/s Gθ p (0.39) De acodo com isto a função de Pandtl é popocional ao deslocamento de membana z e como as tensões de cote são consideadas iguais às deivadas da função φ, estas tensões são popocionais às deivadas do deslocamento, z, da membana em odem a x e y na placa à qual a membana está ligada. Sendo assim a imagem da distibuição de tensões é facilmente visualizada atavés da imagem da foma da inclinação da membana coespondente. O momento toso po sua vez é popocional ao volume limitado pela membana e pelo plano Oxy, tendo em conta a equação Nestas condições é p S dz Gθ; ; Mt Vol 0.40 dn O método da analogia de membana, não é hoje muito utilizado na pática e tem um valo meamente históico, paa mais detalhes sobe o método da analogia de membana podem consulta os apontamentos de Mecânica dos Sólidos de J. F. Silva Gomes. 7- Poblemas Popostos paa Resolução nas ulas 1. Calcule o cociente ente as tensões máxima e o cociente ente os ângulos de toção poduzidos paa um mesmo momento toso numa baa de secção ectangula tendo b/a=3 e numa baa de secção cicula com áea equivalente à secção ectângula. Considee as baas com o mesmo compimento e constuídas do mesmo mateial.~. Detemine a tensão máxima instalada e o ângulo de toção po unidade de compimento numa cantoneia mm, submetida a um momento toso de 1kN.m. 3. Moste que a função de tensão G a a a φ= θ x 3y x 3y x a é adequada paa efeitos de cálculo das tensões num tiângulo equiláteo com a foma epesentada na figua 0.7. Detemine as tensões tangenciais.

25 a/3 Figua 0.7: Tiângulo Equliláteo 8- Leituas a Efectua nas Hoas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Mateiais, Edilibe Editoa, 1995, - Calos Moua Banco, Mecânica dos Mateiais, Teoia e plicação, McGaw-Hill, J. F. Silva Gomes, pontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editoial de Engenhaia.