3 Formulação Matemática

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1 3 Fomulação Matemática 3. Descição do poblema O poblema a se analisado é mostado na fig. 3.. O fluido escoa atavés de um duto cicula de diâmeto d, passa atavés de um duto maio ( diâmeto D ) e sofe uma contação, saindo pelo duto meno com diâmeto igual ao de entada. Paa todos os casos analisados, o compimento e aio dos tubos de entada e saída são de 200 mm e 4,8 mm, espectivamente, gaantindo que o escoamento esteja desenvolvido antes da expanção. O escoamento é lamina, em egime pemanente, e o fluido tem um compotamento viscoplástico. Paa a solução numéica do poblema, seão esolvidas as equações de consevação de massa e de quantidade de movimento linea, juntamente com uma equação constitutiva. tubo cental L tubo de entada D/2 tubo saída V z d/2 Figua 3. - Geometia do poblema analisado 3.2 Equacionamento As seguintes hipóteses são consideadas paa a solução do poblema:.dissipação viscosa despezível 2.Fluido incompessível 3.Escoamento lamina

2 26 4.Regime pemanente 5.Escoamento com simetia axial 6.Tubulação hoizontal Todas as equações estão epesentadas em coodenadas cilíndicas. Devido à simetia axial o poblema tona-se bi-dimensional. Consideando-se as hipóteses acima, a equação de consevação de massa pode se assim descita : div v = 0 (3.) onde v = u ê z + v ê + w ê θ (3.2) Nas equações acima, v é o veto velocidade, u é o componente da velocidade na dieção axial, v é o componente da velocidade na dieção adial e w é o componente da velocidade na dieção tangencial, que é igual a zeo paa o poblema estudado. Sendo assim, a equação de consevação de massa em coodenadas cilíndicas é dada po: u v + 0 z = (3.3) onde z é a coodenada na dieção axial e é a coodenada na dieção adial. A equação de consevação de quantidade de movimento linea é dada po: ρ v. gad v = - gad p + div T (3.4) onde T é o tenso das tensões, ρ é a densidade do fluido e p é a pessão. O fluido a se analisado tem compotamento viscoplástico, podendo se modelado pela equação constitutiva de Fluido Newtoniano Genealizado, eq.(.), com uma função viscosidade apopiada.

3 27 As equações completas de consevação de quantidade de movimento linea em coodenadas cilíndicas, já despezando o componente na dieção θ, ficam : - Equação de consevação de quantidade de movimento linea na dieção adial : ρ ( ) v v τ v u τ z τ θθ P + = + z z (3.5) - Equação de consevação de quantidade de movimento linea na dieção axial : ρ ( τ ) u u v u z τ zz P + = + z z z (3.6) Os componentes do tenso das tensões são dados po : τ τ zz ( ) = ηγ γzz (3.7) ( ) = ηγγ (3.8) ( ) τ τ η γ γ z = z = z (3.9) ( ) τθθ = ηγ γ θθ (3.0) Nas expessões acima, η é a função viscosidade e γ ij são os componentes ij do tenso taxa de defomação, dados po: u γ zz = 2 (3.) z v γ = 2 (3.2)

4 28 v u z = γz = + (3.3) z γ γ 2 v θθ = (3.4) Substituindo os componentes da equação constitutiva na equação de consevação de quantidade de movimento temos paa a dieção adial: v v v v u v P ρ v + u = 2η( γ ) + η( γ ) + η( γ ) 2 z z z 2 (3.5) e paa a dieção axial: u u v u u ρ v u P + = η( γ ) + + 2η( γ ) z z z z z (3.6) Paa a obtenção das equações de consevação de quantidade de movimento linea na sua foma final, é necessáio defini a função viscosidade a se utilizada. Seão utilizadas duas difeentes expessões paa a função viscosidade. A pimeia delas é a do modelo de Heschel-Bulkley, caacteística paa modela mateiais viscoplásticos. Nesta equação, a viscosidade tende a infinito paa tensões infeioes a tensão limite de escoamento e, paa tensões acima deste valo, a viscosidade cai com a taxa de defomação. A equação da função viscosidade é dada po: τ τo η = τo + k γ τ τo γ (3.7)

5 29 É difícil lida numeicamente com a função viscosidade de Heschel-Bulkley apesentada na foma descita pelas equações (3.7). A abodagem usual utilizada em esquemas numéicos é substitui o modelo de Bingham po uma outa função viscosidade. Este pocedimento foi feito pela pimeia vez po Bevely e Tanne (992),que definiam um modelo de bi-viscosidade paa substitui o modelo de Bingham. Esta idéia pode se facilmente estendida paa mateiais de Heschel- Bulkley, esultando na seguinte epesentação apoximada da função viscosidade (modelo de bi-viscosidade modificado): η gande γ γ η = τo + k γ γ γc γ c (3.8) Paa o caso de mateiais de Bingham, Bevely e Tanne (992) ecomendam η gande = 000µ p, sendo µ p a viscosidade plástica. Empega-se esse valo aqui também. Assim: η gande = 000k γc (3.9) onde γ c é a taxa de defomação caacteística, dada po: γ c τ τ (3.20) = o o n η kγ = 999kγ A outa função viscosidade a se utilizada é dada pela equação de Caeau- Yasuda (Bid et al., 987). Neste modelo, a viscosidade cai com a taxa de defomação, mas é limitada po dois patamaes, um máximo de viscosidade, a baixas taxas de defomação e um mínimo de viscosidade, a altas taxas de defomação. Neste caso, a função viscosidade é dada pela seguinte expessão:

6 30 η η = + ( λγ ) η η o a a (3.2) Na equação acima, η o é a viscosidade a baixas taxas de defomação, η é a viscosidade a altas taxas de defomação, λ é a constante de tempo, a é o coeficiente exponencial, n é o expoente, estes são paâmetos eológicos do mateial, obtidos a pati de um ajuste de cuvas aos dados expeimentais de viscosidade. 3.3 Condições de contono As condições de contono paa o poblema são dadas po: Na entada do duto, a velocidade é consideada hoizontal e unifome, na seção tansvesal: u = u (3.22) v = 0 (3.23) Na saída do escoamento, considea-se o escoamento desenvolvido, i.e., velocidade nula na dieção adial e vaiação nula da velocidade na dieção axial : u = 0 z (3.24) v = 0 (3.25)

7 3 Na linha de simetia, coespondente ao cento do duto: u = 0 (3.26) v = 0 (3.27) Nas paedes dos dutos utiliza-se a condição de impemeabilidade e não deslizamento: u = 0 (3.28) v = 0 (3.29) 3.4 Adimensionalização expessas: As equações (3.5), (3.6), (3.8) e (3.2) na foma adimensional são assim - equação adimensional de consevação de quantidade de movimento paa a dieção adial: v v v + u = z 2 v v u v P η ( γ ) + η ( γ ) + η ( γ ) 2 Re z z (3.30)

8 32 - equação adimensional de consevação de quantidade de movimento paa a dieção axial: u u v + u = z v u u P η ( γ ) + + 2η ( γ ) Re z z z z (3.3) modificado: - equação adimensional da função viscosidade de Heschel-Bulkley η gande γ γ c η = τ o ( τ n o ) γ + γ γ c γ (3.32) onde η gande =000 e γ c =. - equação adimensional da função viscosidade de Caeau-Yasuda: η η a a = + ( De γ ) (3.33) ηo η Os paâmetos e as vaiáveis adimensionais utilizados nas equações acima são dados po: =, d z z = (3.34) d

9 33 u u =, u v v =, (3.35) v η η =, ηc η η o o =, η η η = c η (3.36) c γ γ = γ c (3.37) P P 2 = (3.38) ρu De = λγ c - númeo de Deboah (3.39) ρud Re = - númeo de Reynolds (3.40) ηc A viscosidade e a taxa de defomação caacteísticas, η c e γ c, são calculadas na paede do tubo de meno diâmeto na egião desenvolvida do escoamento.