Figura 6.6. Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q. O fluxo eléctrico resultante através de cada superfície é o mesmo.

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1 foma dessa supefície. (Pode-se pova ue este é o caso poue E 1/ 2 ) De fato, o fluxo esultante atavés de ualue supefície fechada ue envolve uma caga pontual é dado po. Figua 6.6. Supefícies fechadas de váias fomas englobando uma caga. O fluxo eléctico esultante atavés de cada supefície é o mesmo. Considee agoa uma caga pontual localizada no exteio de uma supefície fechada de foma abitáia, como na Figua 6.7. Figua 6.7. Caga pontual localizada no exteio de uma supefície fechada. O númeo de linhas ue entam na supefície é igual ao númeo de linhas ue sai da supefície. Como se pode ve a pati dessa constução, linhas do campo eléctico entam na supefície e linhas do campo saem dela. Entetanto, o númeo de linhas do campo eléctico ue entam na supefície é igual ao númeo ue sai da supefície. Conseuentemente, concluímos ue é nulo o fluxo eléctico esultante atavés de uma supefície fechada ue não engloba nenhuma caga. Vamos estende esses agumentos paa o caso geal de muitas cagas pontuais. Empegaemos outa vez o pincípio de sobeposição. Isto é, podemos expessa o fluxo esultante atavés de ualue supefície fechada como 15

2 E da = ( E + E E ). da onde E é o campo eléctico total em ualue ponto sobe a supefície, sendo ue E 1, E 2 e E 3 são os campos poduzidos pelas cagas individuais nesse ponto. Considee o sistema de cagas apesentado na Figua 6.8. A supefície S engloba somente uma caga, 1 ; logo, o fluxo esultante atavés de S é. O fluxo atavés de S devido às cagas exteioes é zeo poue cada linha do campo eléctico dessas cagas ue enta em S em um ponto deixa S em outo ponto. A supefície S engloba as cagas 2 e 3 ; logo, o fluxo esultante atavés de S' é. Finalmente, o fluxo esultante atavés da supefície S" é nulo, pois não existe caga alguma dento dessa supefície. Isto é, todas as linhas do campo eléctico ue entam em S" num ponto saem de S" em outo ponto. 3 Figua 6.8. O fluxo eléctico esultante atavés de ualue supefície fechada depende apenas da caga dento desta supefície. O fluxo esultante atavés da supefície S é, o fluxo esultante atavés de S' é zeo , e o fluxo esultante atavés da supefície S" é A lei de Gauss, ue é uma genealização da discussão anteio, afima ue o fluxo esultante atavés de ualue supefície fechada é Φ E = E. da = int (6.6) onde o int epesenta a caga líuida no inteio da supefície e E, o campo eléctico em ualue ponto sobe a supefície. Ou seja, a lei de Gauss afima ue o fluxo eléctico esultante atavés de ualue supefície fechada é igual à caga líuida dento da supefície dividida po. A pincípio, a lei de Gauss é válida paa o campo eléctico de ualue sistema de cagas ou distibuição contínua de caga. Na pática, entetanto, a técnica é útil paa 16

3 calcula o campo eléctico somente nas situações onde o gau de simetia é elevado. A lei de Gauss pode se usada paa calcula o campo eléctico paa as distibuições de caga ue têm simetia esféica, cilíndica ou plana. Fazemos isso escolhendo uma supefície gaussiana apopiada, ue pemita ue E seja etiado da integal na lei de Gauss, e fazendo a integação sobe a áea. Obseve ue uma supefície gaussiana é uma supefície matemática e não pecisa coincidi com nenhuma supefície física eal Aplicações da Lei de Gauss Como foi mencionado anteiomente, a lei de Gauss é útil paa detemina campos elécticos uando a distibuição de caga tem um elevado gau de simetia. Os exemplos seguintes mostam maneias de escolhe a supefície gaussiana nas uais a integal de supefície dada pela euação 6.6 pode se simplificada, e o campo eléctico deteminado. A supefície deve sempe se escolhida paa apoveita a simetia da distibuição de caga, de maneia ue possamos emove E da integal e esolve a integal. O objectivo nesse tipo de cálculo é detemina uma supefície ue satisfaça a uma ou mais das seguintes condições: (1) Pode-se afima po simetia ue o valo do campo eléctico é constante sob a supefície. (2) O poduto escala na euação 6.6 pode se expesso como um simples poduto algébico poue E e da são paalelos. (3) O poduto escala na euação 6.6 é zeo poue E e da são pependiculaes. (4) Pode-se afima ue o campo é zeo em ualue pate da supefície. Seão esolvidos na aula teóica: Exemplo 6.1. Campo eléctico devido a uma caga pontual. A pati da lei de Gauss, calcule o campo e1ético devido a uma caga pontual isolada. Exemplo 6.2. Distibuição de caga com simetia esféica. Uma esfea sólida isolante de aio a tem uma densidade volumética de caga unifome ρ e uma caga positiva total Q. Calcule o campo eléctico num ponto dento da esfea Condutoes em Euilíbio Electostático Um bom conduto eléctico, tal como o cobe, contém cagas (electões) ue não estão pesas a nenhum átomo e são lives paa se move dento do mateial. Quando nenhum movimento de caga ocoe dento do conduto, este está em euilíbio electostático. Nessa situação, toda caga no conduto é uma patícula em euilíbio, sob a acção de uma foça esultante nula. Como veemos, um conduto isolado (um conduto ue esteja isolado da tea) em euilíbio electostático tem as seguintes popiedades: 1. O campo eléctico é nulo em ualue ponto dento do conduto. 2. Se o conduto isolado tive uma caga líuida, a caga em excesso fica inteiamente sobe sua supefície. 17

4 3. O campo eléctico imediatamente exteio ao conduto caegado é pependicula à supefície do conduto e tem uma magnitude σ /, onde σ é a caga po unidade de áea nesse ponto. 4. Num conduto de foma iegula, a caga po unidade de áea é máxima nos locais onde é mínimo o aio de cuvatua da supefície. Veificaemos na discussão a segui as pimeias tês popiedades. A uata popiedade é apesentada aui de modo ue tenhamos uma lista completa das popiedades dos condutoes em euilíbio electostático. Contudo, sua veificação eue conceitos ue veemos mais adiante, de modo ue adiaemos sua veificação até lá. A pimeia popiedade pode se compeendida consideando-se uma placa condutoa colocada num campo exteno E (Figua 6.9). O campo eléctico dento do conduto tem de se nulo supondo-se ue temos euilíbio electostático. Figua 6.9. Placa condutoa num campo eléctico exteno E. As cagas induzidas sobe as supefícies da placa poduzem um campo eléctico ue se opõe ao campo exteno, fonecendo um campo esultante nulo dento do Se o campo não fosse nulo, cagas lives no conduto seiam aceleadas sob acção da foça eléctica. Esse movimento dos electões, entetanto, significaia ue o conduto não está em euilíbio electostático. Assim, a existência do euilíbio electostático é consistente somente com um campo nulo no conduto. Vamos investiga como esse campo nulo é atingido. Antes ue o campo exteno seja aplicado, os electões lives estão distibuídos unifomemente po todo conduto. Quando o campo exteno é aplicado, os electões lives aceleam paa esueda na Figua 6.9, fazendo ue um plano da caga negativa esteja pesente na supefície esueda. O movimento dos electões paa a esueda esulta num plano de caga positiva na supefície dieita. Esses planos de caga ciam um campo eléctico adicional dento do conduto ue se opõe ao campo exteno. Quando os electões se movem, a caga po unidade de supefície aumenta até ue a magnitude do campo inteno se iguale à magnitude do campo exteno, fonecendo um campo esultante nulo dento do conduto. Podemos usa a lei de Gauss paa veifica a segunda popiedade de um conduto em euilíbio electostático. A Figua 6.1 mosta um conduto com uma foma abitáia. Uma supefície gaussiana é desenhada dento do conduto e pode se tão póxima da supefície uanto desejamos. Como acabamos de mosta, o campo eléctico em toda pate de dento de um conduto em euilíbio electostático é nulo. Conseuentemente, o campo eléctico tem de se nulo em todo ponto sobe a supefície gaussiana. A pati 18

5 int desse esultado e da lei de Gauss, Φ E = E. da =, concluímos ue é nula a caga líuida dento da supefície gaussiana. Como não pode have nenhuma caga esultante dento da supefície gaussiana (ue é abitaiamente póxima da supefície do conduto), ualue caga líuida no conduto tem de esta em sua supefície. A lei de Gauss não nos diz como esse excesso de caga é distibuído na supefície, apenas ue ele tem de esta na supefície. Figua 6.1. Um conduto isolado de foma abitáia. A linha tacejada epesenta uma supefície gaussiana junto da face intena da supefície física do conduto. Conceptualmente, podemos compeende a posição das cagas na supefície imaginando muitas cagas colocadas no cento do conduto. A epulsão mútua das cagas faz com ue se afastem. Elas se afastaão o uanto pudeem, movendo-se paa a supefície. Figua Uma supefície gaussiana na foma de um cilindo peueno é usada paa calcula o campo eléctico junto da face extena de um conduto caegado. O fluxo atavés da supefície gaussiana é E n A. Paa veifica a teceia popiedade, também podemos usa a lei de Gauss. Desenhamos uma supefície gaussiana na foma de um cilindo peueno ue tem suas bases paalelas à supefície (Figua 6.11). Pate do cilindo está foa do conduto e pate está dento. O campo é nomal à supefície poue o conduto está em euilíbio electostático: se E tivesse uma componente paalela à supefície, uma foça eléctica paalela à supefície seia execida sobe as cagas, as cagas live move-se-iam ao longo da supefície e, assim, o conduto não estaia euilíbio; nenhum fluxo atavessa 19

6 esta pate (do cilindo) da supefície gaussiana poue E é paalelo a esta pate da supefície. Nenhum fluxo atavessa a face plana do cilindo dento do conduto poue E =. Logo, o fluxo esultante atavés da supefície gaussiana é o fluxo atavés da face plana foa do conduto onde o campo é pependicula à supefície. Paa essa face, o fluxo é EA, onde E é o campo eléctico na face extena do conduto e A é a áea da face do cilindo. A aplicação da lei de Gauss à essa supefície fonece Assim E seá Φ EdA EA int E = = = = σa σ E = (6.7) Na Figua 6.12 vemos o padão do campo eléctico de uma placa condutoa caegada póxima de um cilindo conduto com caga oposta. Figua Padão do campo eléctico de uma placa condutoa caegada póxima de um cilindo conduto com caga oposta. Peuenos pedaços de fiba suspensos em óleo se alinham com as linhas do campo eléctico. Obseve ue (1) as linhas do campo eléctico são pependiculaes aos condutoes e (2) não há linhas dento do cilindo (E= ). 11

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