Análise Vectorial (revisão)

Transcrição

1 nálise ectoial (evisão) OpE - MIB 7/8 Pogama de Óptica e Electomagnetismo nálise ectoial (evisão) aulas Electostática e Magnetostática 7 aulas ampos e Ondas Electomagnéticas 7 aulas Óptica Geomética aulas Fibas Ópticas aulas ases aulas ne

2 nálise ectoial (evisão) hoje Sistemas de coodenadas catesianas, cilíndicas e esféicas Opeadoes difeenciais gadiente, divegência e otacional Integação compimento, áea e volume integação de funções escalaes e vectoiais integais de linha e de fluo Teoemas teoemas da divegência e de Stokes ne ompimento de uma linha compimento Eemplo coodenadas cilíndicas d uˆ + uˆ φ + duˆ d d uˆ φ compimento π π ne 4

3 Áea de uma supefície áea Eemplo [ ] [ ] Paa calcula a áea da egião definida po, φ, π e θ, π, o elemento de supefície a utilia é sinθ sinθ áea π π sin θ d θ d φ π π sinθ π [ cosθ ] π π ne 5 olume de uma egião volume dv dv Eemplo [ ] [ ] O volume da egião definida po < <, φ, π e θ,π, é dado po volume π π sinθ d π π π 4 d φsinθ d π [ cosθ ] π ( ) dv sinθ d coodenadas esféicas ne 6

4 Eecícios. alcule a áea da supefície lateal do cone de altua H e diâmeto de base D.. alcule o volume do cone do poblema anteio.. Detemine, po integação, o compimento da linha epesentada na figua seguinte. ne 7 Integação de funções escalaes integação de uma dada função escala f ao longo de uma dada egião pode se de difeentes tipos: f e f (egião linha) f e f (egião supefície) vecto nomal à supefície consideada e com amplitude d s f dv (egião volume) ne 8

5 Eecícios. Detemina o valo dos integais I f e I f, onde f +, paa os dois pecusos indicados a segui a) b) B cosθ. Detemina o valo do integal I f dv onde f e é o volume da metade supeio da esfea de aio centada na oigem ne 9 Integação de funções vectoiais Seja F uma função vectoial integação desta função ao longo de uma dada egião pode se de tipos difeentes: F e F integal de linha ciculação de F ao longo de F e F integal de fluo fluo de F atavés de F dv Dos integais acima, são paticulamente elevantes paa esta disciplina os integais de linha e de fluo ne

6 Integal de linha F (ciculação de F ao longo de ) onde linha em consideação tangente em cada ponto a F depende da componente de F segundo o pecuso de integação Eemplo: se F fo foça e o pecuso, o integal epesenta o tabalho ne Integal de linha eemplo P Detemine o valo do integal I, onde e são os pontos de coodenadas E P P (,, ) e ( 8,,), P espectivamente, e E uˆ + uˆ, ao longo do segmento de ecta que une os dois pontos coodenadas catesianas duˆ + duˆ + duˆ E d + d a ecta que passa pelos dois pontos é dada po: 6 4 d 6d E ( 4)d P I E P ( 4)d [ 6 ] 4 4 ne

7 Integal de linha eecício P Detemine o valo do integal I, onde e são os pontos de coodenadas catesianas E P P e ( 8,,), espectivamente, e E uˆ uˆ + ao longo da paábola P (,, ) ne Integal de fluo F (fluo de F atavés de ) onde supefície em consideação nomal a em cada ponto (supefície pode se abeta ou fechada) fluo F convenção: se fo fechada, aponta paa foa de F depende da componente de F nomal à supefície ne 4

8 Integal de fluo eemplo Detemine o fluo do campo vectoial 5 centada na oigem. 5 B sinθ uˆ + tanφ uˆ θ + uˆ φ atavés da esfea de aio fluo B supefície em causa é esféica uˆ B B sinθ 5 sinθ B 75sin θ φ π π fluo 75sin θ π θ sin θ 5π 4 75π ne 5 Teoema da divegência O integal de volume da divegência de um campo vectoial é igual ao fluo total eteio do campo vectoial atavés da supefície que limita o volume F dv F nota: este teoema pemite convete integais de supefície em integais de volume, e vice-vesa ne 6

9 Teoema da divegência eemplo cos φ onsidee o campo vectoial D uˆ e a cooa esféica definida po < <. Detemine a) D dv b) a) sinθ θ coodenadas esféicas ( ) + ( sinθ ) θ + sin φ θ φ cos φ D D θ D φ D cosφ cos φ 4 π π D dv cos φ sinθ d 4 π cos φ sinθ π d π dv sinθ d ne 7 Teoema da divegência eemplo b) + cos D φ < < uˆ fluo atavés da supefície com fluo atavés da supefície com supefície com : uˆ supefície com : uˆ sinθ uˆ D cos φ ˆ u 4sinθ ˆ cos φ D uˆ 8 u sinθ ˆ u cos φ sinθ cos φ sinθ π π π como seia de espea ne 8

10 Teoema de Stokes O integal de supefície do otacional de um campo vectoial estendido a uma dada supefície abeta é igual ao integal de linha do campo vectoial ao longo do pecuso fechado que limita essa supefície ( F ) F impotante: sentido de ciculação e sentido de estão elacionados pela ega da mão-dieita d s ne 9 Teoema de Stokes eemplo a) onsidee o campo vectoial uˆ e o pecuso tiangula epesentado na figua. uˆ Detemine a) ( ) S b). S: supefície do tiângulo sentido hoáio uˆ dduˆ ( ) S ( ) d d ˆ dd u d 4 8 d ( ) 98 ne

11 Teoema de Stokes eemplo b) + pecuso : d + duˆ + duˆ + d uˆ 8 d ˆ ˆ u u 56 d d 8 d ˆ ˆ u u pecuso : d d 7 d (como seia de espea) pecuso : d d 5 d 5 d ne