IF Eletricidade e Magnetismo I

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1 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Enegia potencial elética Já tatamos de enegia em divesos aspectos: enegia cinética, gavitacional, enegia potencial elástica e enegia témica. segui vamos adiciona a enegia potencial elética a esta lista. Vamos investiga como esta foma de enegia se elaciona com o campo elético. Tabalho ealizado pela foça coulombiana Nas aulas anteioes intoduzimos o campo elético e a foça que ele eece sobe uma patícula caegada, com caga q: Foça eecida sobe a patícula com caga q F qe ampo elético foça é função somente da posição e simila em foma à foça gavitacional. nalogamente, a foça coulombiana é consevativa e um sistema de patículas caegadas e o campo elético possuem uma enegia potencial elética. Se uma caga é libeada, a foça elética causa sua aceleação e consequente ganho de enegia cinética, às custas da enegia potencial elética do sistema.

2 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Enegia potencial elética Já tatamos de enegia em divesos aspectos: enegia cinética, gavitacional, enegia potencial elástica e enegia témica. segui vamos adiciona a enegia potencial elética a esta lista. Vamos investiga como esta foma de enegia se elaciona com o campo elético. Tabalho ealizado pela foça coulombiana Eemplo Núcleo com caga Q eto núcleo com caga Q =,3-7 está sepaado de uma patícula alfa (α) po uma distância d = 9, -5 m. Suponha que a patícula α possa se move, enquanto que o núcleo está fio. alcule o tabalho ealizado sobe a patícula α, quando ela se desloca paa uma nova posição distante d = d do núcleo. alcule a velocidade da patícula α, supondo que estava inicialmente em epouso. atícula α d d F d Respostas: Tabalho ealizado = W =, - J Velocidade final = v f =,5 7 m/s caga da patícula α é q = 3, -9 e sua massa é m = 6,6-7 kg.

3 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Enegia potencial elética Já tatamos de enegia em divesos aspectos: enegia cinética, gavitacional, enegia potencial elástica e enegia témica. segui vamos adiciona a enegia potencial elética a esta lista. Vamos investiga como esta foma de enegia se elaciona com o campo elético. Tabalho ealizado pela foça coulombiana Eemplo Núcleo com caga Q d eto núcleo com caga Q =,3-7 está sepaado de uma patícula alfa (α) po uma distância d = 9, -5 m. Suponha que a patícula α possa se move, enquanto que o núcleo está fio. alcule o tabalho ealizado sobe a patícula α, quando ela se desloca paa uma nova posição distante d = d do núcleo. alcule a velocidade da patícula α, supondo que estava inicialmente em epouso. atícula α d F ocedimento O tabalho ealizado (W) é obtido po: d Qq Qq W d ( ) 4 4 d d d d caga da patícula α é q = 3, -9. E a velocidade final po: mv f mv i W

4 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Tabalho ealizado pela foça consevativa coulombiana Q d O fato da foça coulombiana se consevativa significa que o tabalho ealizado sobe uma caga de teste paa movê-la de um ponto a outo é independente do caminho escolhido. Na ilustação mostamos um caminho abitáio ente dois pontos, e, distando espectivamente d e d de uma caga puntifome Q. O tabalho ealizado pelo campo elético na caga de teste q quando esta sofe um deslocamento infitesimal abitáio é: d dl ˆ dl otanto, o tabalho ealizado paa afasta as duas cagas de uma distância d até outa d atavés de um caminho abitáio é: q ˆ dl ˆ qq qq dw F dl 4 ˆ dl 4 d d d Qq Qq W d ( ) 4 4 d d d O tabalho ealizado (W) pela foça decesce a enegia potencial do sistema, U: W U( d) U( d)

5 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Enegia potencial de um pa de cagas Qq Obsevamos que a enegia potencial elética de um pa de cagas Q e q é: U ( ) 4 omo é usual, a definição da enegia potencial contém uma constante abitáia, pemitindo que atibuamos o valo zeo paa esta função de acodo com nossa conveniência. ostumamos atibui o valo zeo quando as duas cagas estão infinitamente sepaadas. Enegia potencial de uma caga em um campo elético abitáio aa obte a enegia potencial de uma caga em um campo elético abitáio, começamos calculando o tabalho do campo sobe a caga q quando esta sofe um deslocamento infitesimal: dw F dl qe dl Se a caga se desloca de paa uma nova posição o tabalho ealizado pelo campo elético sobe ela é: W dw q E dl Este tabalho é ealizado às custas da enegia potencial do sistema: U ( U U) W q E dl dl E U q E dl

6 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Enegia potencial de uma caga em um campo elético abitáio Obseve que a difeença de enegia potencial elética depende lineamente da caga teste. Isto nos pemite defini uma gandeza que depende somente do campo elético da distibuição de cagas e não da caga teste: Eemplo Difeença de potencial elético (Ve apêndice ) V E dl U q E dl Um eléton desloca-se do ponto, a pati do epouso, com potencial V = 9, V, até um ponto com potencial V =, V. Qual a velocidade do eléton no ponto? Enegia Inicial Final inética otencial inética otencial ev mv / ev (Unidade Volt V) otanto, a consevação de enegia implica: ev mv ev qv v 9 e( V V ) (,6 )(,V 9,V ) 5,9 3 m 9, kg 5 m s Velocidade de um eléton com enegia de um eleton-volt (ev) ev =,6-9 J

7 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Eemplo Uma bateia mantém uma difeença de potencial V =, V ente duas placas metálicas paalelas, muito finas, de áea e sepaadas po uma distância s =, mm. onsidee >> s. Elétons podem emegi, em todas dieções, de um pequeno buaco na placa positiva (voltagem mais alta). Suponha que os elétons tenham velocidade inicial v =, 6 m/s. a. Faça um esboço das tajetóias dos elétons. Elas se paecem com alguma tajetóia que você conheça? b. alcule o ângulo θ a pati do qual os elétons não atingião a outa placa. Resposta: θ = V V + V s V + v V + θ E ocedimento bateia mantém uma difeença de potencial constante ente as placas e, neste eemplo, a placa positiva é mantida, V a mais do que a negativa. Se abitamos V +, então o potencial da placa negativa seá V =, V. O estante da solução é baseada na consevação de enegia.

8 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Eemplo Uma bateia mantém uma difeença de potencial V =, V ente duas placas metálicas paalelas, muito finas, de áea e sepaadas po uma distância s =, mm. onsidee >> s. Elétons podem emegi, em todas dieções, de um pequeno buaco na placa positiva (voltagem mais alta). Suponha que os elétons tenham velocidade inicial v =, 6 m/s. b. Enegia Inicial (na placa positiva) Final (na placa negativa) inética otencial inética otencial m(v ) / V V + ev + m(v sinθ) / ev V s V + v V + θ E Equacionando a consevação de enegia obtemos: 9 (cos ev (,6 )(,V ) ) 3 6 m mv (9, kg)(, ) s,88

9 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Eemplo Uma bateia mantém uma difeença de potencial V =, V ente duas placas metálicas paalelas, muito finas, de áea e sepaadas po uma distância s =, mm. onsidee >> s. alcule o campo elético ente as placas. Solução: V V V V V + V s dl V + E difeença de potencial ente o ponto inicial ( ) e o ponto final (+) é: V E V s E dl V V s ( Edl ) E dl Es,V, 3, m 4 V m V + Obseve que V m J m N m m N unidade volt po meto é a mais comum paa a intensidade de campo elético.

10 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Supefícies equipotenciais omo o temo indica, supeficie equipotencial é uma supefície na qual o potecial elético tem um valo constante. Eemplo Um campo elético unifome eiste numa egião do espaço. Desceva as supefícies equipotenciais. E Eiˆ Vamos toma o ponto = R como efeência e calcula o potencial elético no ponto, em elação a este ponto. V ( ) E dl Eiˆ dl E d E( R ) R R otanto as equipotenciais são as supefícies em que = constante. R R dl î iˆ dl d

11 Eemplos de supefícies equipotenciais

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13 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I Supefícies equipotenciais omo o temo indica, supeficie equipotencial é uma supefície na qual o potencial elético tem um valo constante. Eemplo onsidee o campo elético poduzido po uma caga puntifome Q. Desceva as supefícies equipotenciais. Vamos toma o ponto = como efeência e calcula o potencial elético no ponto, em elação ao infinito. Já sabemos que a integal seá independente do caminho, potanto escolhemos um caminho adial paa a integação: V ( ) Q 4 d 4 Q dl oncluímos que as equipotenciais são as supefícies em que = constante (supefícies esféicas). Obsevamos que as supefícies equipotenciais são supefícies em que as linhas de campo cuzam pependiculamente. É clao que o potencial elético seá o mesmo sobe tal supefície.

14 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I integal do campo elético sobe um tajeto contínuo fechado Um conceito impotante que obsevamos da definição do do potencial elético é que a integal do campo elético sobe um caminho tajeto contínuo fechado é zeo: V Ou E dl E dl V De fato, esta é uma das quato leis fundamentais do eletomagnetismo tão fundamental quanto a lei de Gauss válida na foma acima quando os campos são abitáios mas estáticos. No teceio módulo estudaemos a lei de Faada e apendeemos como a lei acima se altea na pesença de campos dependentes do tempo. dl

15 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I pêndice integal do campo elético sobe um tajeto contínuo Vamos usa um eemplo simples paa ilusta a integação do campo elético sobe um tajeto contínuo ente dois pontos e. O campo que vamos utiliza (que é um campo eletostático) é: E E ( iˆ ˆ) j E os tajetos de integação seão: a. b.

16 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I pêndice integal do campo elético sobe um tajeto contínuo O veto que epesenta um elemento do tajeto é: dl diˆ dj ˆ otanto, o poduto escala ente o campo e qualque elemento do tajeto é: E dl E( d d) No tajeto de até = e d = d a. E dl E ( E E dl E d d) E (d d) No tajeto de até = e d = otanto: d d) E (d ) ( E E dl 4E

17 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I pêndice integal do campo elético sobe um tajeto contínuo O veto que epesenta um elemento do tajeto é: dl otanto, o poduto escala ente o campo e qualque elemento do tajeto é: otanto: diˆ dj ˆ No tajeto de até = e d = E dl E dl E ( d d) E (d ) E dl E E( d d) No tajeto de até = e d = d d) E ( d) 4 ( E E dl 4E b.

18 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I pêndice integal do campo elético sobe um tajeto contínuo oncluímos que, neste eemplo, a integação não depende do tajeto escolhido. Vamos usa este fato paa calcula o potencial elético num ponto abitáio, usando o segundo tajeto onde o cálculo é mais simples. No tajeto de até = e d = E dl E ( d d) E (d ) No tajeto de até tem um valo fio e d = E dl E ( d d) E ( d) E (.) otanto a difeença de potencial elético ente e é: V E dl E V (, ) Qual o significado deste esultado? Em paticula, qual o significado do sinal menos?

19 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I pêndice integal do campo elético sobe um tajeto contínuo Emboa não nos inteesse neste momento detemina eatamente a distibuição de cagas que poduz este campo elético, podemos espea o esboço da figua abaio. O potencial elético em um ponto abitáio é: V(, ) E Note que abitamos V = na oigem. Obseve, também, que se abandonamos uma caga positiva q no quadante, póimo à oigem, ela iá acelea em dieção à distibuição de cagas negativas, ganhando enegia cinética e diminuindo sua enegia potencial, qv. O mesmo ocoe no quadante 3. Quadante. Distibuição de cagas positivas. Quadante. Distibuição de cagas negativas. o contáio, paa apoimamos uma caga positiva q, no quadante, da distibuição de cagas positivas, pecisamos ealiza um tabalho aumentando sua enegia potencial, qv. O mesmo ocoe no quadante 4. Quadante 3. Distibuição de cagas negativas. Quadante 4. Distibuição de cagas positivas.

20 IF 437 Eleticidade e Magnetismo I pêndice O campo eletostático é igual a menos o gadiente do potencial elético fimamos anteiomente que o campo elético deste eemplo é eletostático e o potencial elético é: V(, ) E omo podemos obte o campo a pati do potencial? Moste que o campo elético deste eemplo pode se obtido deste potencial. Em geal, paa um elemento difeencial de difeença de potencial elético temos: E dl dv V V V dv ( d d dz) z E dl E d E d E dz V V V E iˆ ˆ ( j kˆ) gad V z E V z Outas notações Quadante. Distibuição de cagas positivas. Quadante 3. Distibuição de cagas negativas. Quadante. Distibuição de cagas negativas. Quadante 4. Distibuição de cagas positivas.