Física Geral III 2/27/2015. Aula Teórica 05 (Cap. 25 parte 1/2) : A Lei de Gauss. Prof. Marcio R. Loos. Johann Carl Friedrich Gauss

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1 Física Geal III Aula Teóica 5 (Cap. 5 pate 1/) : A Lei de Gauss Pof. Macio R. Loos Johann Cal Fiedich Gauss Seu pai ea jadineio e pedeio. Sua mãe ea analfabeta. Aos sete anos entou paa a escola. Na escola, seu dieto pediu que os alunos somassem os númeos inteios de 1 a o dieto mal havia enunciado o poblema e Gauss já havia obtido o esultado Po te acabado tão ápido Gauss foi colocado de castigo! Gauss estava usando o aciocínio que demonsta a fómula da soma de uma pogessão aitimética. O que é a Lei de Gauss? Apesa de muito útil, a Lei de Coulomb é expessa em uma foma que não pemite simplificações em situações de simetia. 1 q E = 4π A Lei de Gauss não nos diz nada de novo! Ela não é uma nova lei da Física! É outa foma de expessa a Lei de Coulomb. A Lei de Gauss é muitas vezes mais fácil de se usada do que a Lei de Coulomb (simetia). A escolha de qual Lei usa dependeá do poblema! 3 1

2 Lei de Gauss Como detemina a caga q dento da caixa? Podemos usa uma caga teste q o paa medi E foa da caixa! 4 Lei de Gauss A Lei de Gauss é aplicada usando-se uma supefície gaussiana. A supefície gaussiana é uma supefície fechada hipotética que envolve toda a distibuição de caga. A lei de Gauss elaciona as linhas de campo elético que passam atavés da supefície fechada e a caga líquida envolvida pela supefície. Na fig. ao lado, a supefície gaussiana é uma esfea. Constatamos um campo em cada ponto da esfea. O campo tem mesmo módulo em cada ponto e aponta adialmente paa foa! Isto sugee que uma caga positiva está dento da esfea. Sem medi a caga dento da esfea ou sabe sua distibuição, podemos usa a Lei de Gauss paa calcula a caga líquida dento da supefície! 5 Fluxo de Volume (a) A taxa de fluxo de fluido atavés do etângulo de áea A é va quando a áea do etângulo está pependicula ao veto velocidade. (b) Quando o etângulo foma um ângulo φ com a vetical, a taxa de fluxo é va cos φ. Podemos substitui o veto velocidade do fluido pelo campo elético E paa obte o conceito de fluxo do campo elético Φ. 6

3 Fluxo do campo elético (a) O fluxo elético atavés da supefície vale Φ = EA. (b) Quando o veto áea foma um ângulo φ com o veto E, a áea pojetada num plano oientado pependicula ao fluxo é: A pep. = A cos φ Logo: Φ = EAcos φ = E A O fluxo é zeo quando φ=9 º, o etângulo estaá em um plano paalelo ao fluxo e nenhuma linha de campo passa pelo etângulo. 7 Lei de Gauss - Fluxo do campo elético Vimos que podemos imagina linhas de campo fluindo atavés de uma supefície. Considee uma supefície Gaussiana assimética imesa em um campo nãounifome. Dividimos a supefície em pequenos quadados ΔA. Cada ΔA é epesentado po um veto áea ΔA. ΔA é pependicula a supefície e aponta paa foa. Como ΔA é pequeno, E é constante. ΔA e E fomam um ângulo θ ente si (fig.). 8 Lei de Gauss - Fluxo do campo elético Repesentamoso fluxo de linhas de campo como Φ. Ο fluxo de campo elético atavés de um elemento de áea ΔA é: Φ = E A = E Acosθ θ > 9 : O fluxo é negativo (E aponta paa dento da supefície) θ < 9 : O fluxo é positivo(e apontapaa foa da supefície) θ = 9 : O fluxo é nulo (E é pependicula à supefície) A unidade de fluxo elético é N.m /C. 9 3

4 Lei de Gauss - Fluxo do campo elético Quando temos uma supefície complexa, podemos dividí-la em minúsculos elementos infinitesimais de áea: d Φ = E da = E dacosθ Estaemos inteessados em supefícies fechadas (aí a dieção paa foa é evidente). Qual é o fluxo elético foa de tal supefície fechada? Devemos intega sobe toda a supefície (fechada). Φ = dφ = E da Fluxo positivo => foa Fluxo negativo => dento O símbolo indica a integal sobe uma supefície fechada. 1 Lei de Gauss - Fluxo do campo elético A supefície fechada é chamada de Supefície Gaussiana uma vez que esta supefície é usada pela Lei de Gauss Lei de Gauss O fluxo de campo elético atavés de uma supefície fechada é popocional a caga enceada pela supefície. 11 Lei de Gauss: foma matemática A constante de popocionalidade na Lei de Gauss é ϵ : Φ = qenc E da = qenc q enc (ou q) é a soma algébica de todas as cagas enceadas pela supefície. Use o sinal na soma! q> fluxo p/ foa. q< fluxo p/ dento. Cagas foa da supefície não são incluídas no cálculo! A distibuição das cagas no inteio da supefície não impota. O veto esultante E na Lei de Gauss é o campo elético esultante de todas as cagas intenas ou extenas à supefície gaussiana! As linhas de campo devido a cagas extenas entam e saem da supefície em igual quantidade. 1 4

5 ? Pense um pouco Qual das figuas a segui coetamente mosta um fluxo elético paa foa do elemento de áea? A. I. B. II. C. III. D. IV. E. I and III. I. A II. θ θ E A III. E θ A IV. A θ E E Resposta: Lembe-se θ < 9 : O fluxo é positivo 13 Lei de Gauss Supefície gaussiana enceando cagas positiva e negativa 14 Lei de Gauss: foma matemática Você lemba? Ao apendemos sobe a Lei de Coulomb, escevemos a constante k como k = 1 4π Podemos ve agoa o motivo ao integamos o fluxo elético de uma caga puntifome sobe uma supefície gaussiana esféica: E da = E dacosθ E da = qenc E cosθ da = q enc q enc EA = q enc E 4π = q enc Resolvendo a Eq. paa E temos: 1 q Lei de Coulomb E = 4π enc 15 5

6 Lei de Gauss - Exemplo A Figua mosta uma supefície gaussiana na foma de um cilindo de aio R imeso num campo elético unifome E, com o eixo do cilindo paalelo ao campo. Qual é o fluxo Φ do campo elético atavés dessa supefície fechada? E da Φ = E da = qenc 16 Lei de Gauss - Exemplo A figua mosta um aanjo de 3 cagas. Difeentes supefícies gaussianas são mostadas em (a) e (b). Atavés de qual supefície, se qualque, passa o maio fluxo elético? Φ = qenc E da = q enc 17 Lei de Gauss - Aplicação Considee um dipolo com cagas positiva e negativa de igual módulo. Imagine quato supefícies S 1, S, S 3, S 4, como mostado na fig. S 1 encea uma caga positiva. Note que o campo aponta paa foa de S 1, sendo o fluxo de E positivo. S encea uma caga negativa. Note que E aponta paa dento em todos pontos da supefície. Assim, o fluxo de E atavés de S é negativo. S 3 não encea caga. O fluxo de E é positivo na pate supeio e negativo na pate infeio. Os fluxos se anulam e não há fluxo líquido atavés de S 3. S 4 encea ambas cagas. De novo, não há caga líquida enceada: o fluxo entando e saindo é igual. Não há fluxo líquido atavés de S

7 Lei de Gauss - Exemplo A figua mosta tês pedaços de plástico caegados e uma moeda eleticamente neuta. As seções tansvesais de duas supefícies gaussianas estão indicadas. Qual é o fluxo do campo elético atavés de cada uma dessas supefícies? Suponha q 1 =+3.1 nc, q =-5.9 nc e q 3 =-3.1 nc. S1 S Φ = E da E da = q enc Resposta: Φ =+35 Nm /C=+3,5x1 Nm /C Φ 1 =-67 Nm /C =-6,7x1 Nm /C 19 E E E Campo na supefície de um conduto Imagine um campo eléticoem algum ângulo abitáio na supefície do conduto. Há uma componente pependicula à supefície, e cagas se moveão nesta dieção até alcança a supefície. Como não podem deixa a supefície, as cagas paam. Há também uma componente paalela à supefície. As cagas também sofeão uma foçanesta dieção. Uma vez que as cagas estãolives paa se move (conduto e não isolante) elas ião anula qualque componente paalela de E. Em um tempo muito cuto, apenas as componentes pependiculaes existião. Campo na supefície de um conduto caegado Podemos usa a Lei de Gauss paa mosta que o inteio de um condutodeveteuma caga líquidanula. A fig. mosta um condutode foma abitáia CARREGADO. Desenhamos uma supefície gaussiana dento do conduto imediatamente junto à supefície. Fisicamente, espeamos que não hajacampo elético dento do conduto. Se houvesse as cagas, elas se moveiam (coentesintenas). Como E= no inteio, E devese zeo na supefície gaussiana! Potanto, o fluxo de campo atavés da supefícieé zeo e a caga enceada é nula. Se as cagas não estão dento da sup. gaussiana, só podem estana supefície. Imagine que façamos um buaco no conduto e desenhamosumasup. gaussiana ao edo. Pelo mesmo agumentoanteio, não há campo elético atavés da nova sup., e não há caga líquidano buaco. 1 7

8 Campo na supefície de um conduto É notável que se tentamos deposita cagas no inteio do conduto todas as cagas se movem paa o exteio e se distibuem de modo que o campo elético em todos os pontos é nomal à supefície. Este fato não é óbvio! Mas a Lei de Gauss nos pemitiu mosta isso. Lembe-se: O campo elético é nulo dento de condutoes! A pati da Lei de Gauss, buacos/cavidades em condutoes tem E = Uma caga dento de um conduto Cavidade Esféica A fig. mosta uma seção tansvesal de uma casca esféica metálica de aio R. Uma caga puntifome +q está localizada no cento da casca. A casca está eleticamenteneuta. Quais são as cagas induzidasnas supefícies intenae extenada casca? Esfea Condutoa Caga puntifome Estas cagas estão unifomemente distibuídas? Qual é a configuação do campo E dento e foa da casca? 3 Uma caga dento de um conduto Supefície gaussiana Seá o campo nulo (E=) dento da cavidade? Não, pois há uma caga enceada pela cavidade (Lei de Gauss) E da = qenc Seá o campo nulo (E=) no conduto? Sim, pois como vimos, se houvesse um campo E no condutoas cagas iiam se move. Se alagamosa supefície gaussiana de modo que ela estejaainda dentodo conduto, haveá alguma cagalíquida enceada pelo conduto? Paece que sim, mas não pode have. De acodo com a Lei de Gauss, se E= e q enc =! Como explica isso? Devehaveuma caga igual e opostainduzidana supefície inteio. 4 8

9 Uma caga dento de um conduto A caga negativa inteage com a caga puntifome de modo que o campo seja adial dento da cavidade. A caganegativa não pode sugi do nada. De onde ela vem? Ela vem da supefície extena: elétons são ataídos pela caga puntifome no cento. Assim os elétons deixaam uma caga positiva paa tás. A caga líquida positiva que suge na sup. extena do conduto é exatamentea mesma que a caga puntifome no cento. Qual a foma das linhas de campo foa da casca? Pela simetia esféica, a casca positiva de cagas atua como uma caga puntifome no cento. Assim, as linhas de campo são como as da caga puntifome no cento. 5 Uma caga dento de um conduto O que acontece se movemos a cagado cento? Ela induziá uma distibuição de cagas não unifome na paede intena. Note que as linhas de campo são distocidas de modo que pemancem pependiculaes à paede intena. O que acontece com a distibuição de caga positiva extena? Desenhe uma supefície gaussiana dento do conduto paa descobi! A caga líquida enceada pela supefície é zeo, então E=, o que já sabíamos, pois a supefície está dento do conduto. A caga puntifome intena é blindada pela distibuição de caga induzida, assim as cagas extenas estaão unifomemente distibuídas. 6 Você já pode esolve os seguintes execícios: Capítulo 3: 5, 6, 7, 1, 13, 15, 17, 18, 19 e 1. Capítulo 4: 1, 13, 14, 15, 18, 19,,, 5 Capítulo 4: 9, 3, 33, 34, 35 Capítulo 4: 36, 47, 51, 5 e 56 Capítulo 5:, 5, 6, 7, 8, 1, 11, 1, 13 Livo texto: Halliday, vol. 3, 4ª edição. Mais infomações (conogamas, lista de execícios): web: loos.pof.ufsc.b macio.loos@ufsc.b 7 9