Cap. 4 - O Campo Elétrico

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1 ap. 4 - O ampo Elético 4.1 onceito de ampo hama-se ampo a toda egião do espaço que apesenta uma deteminada popiedade física. Esta popiedade pode se de qualque natueza, dando oigem a difeentes campos, escalaes ou vetoiais, dependendo da natueza da popiedade apesentada se escala ou vetoial. Abaixo são apesentados alguns exemplos Popiedade física ampo Tipo foça peso gavitacional vetoial foça de atação magnética magnético vetoial foça de inteação ente cagas eléticas elético vetoial tempeatua témico escala pessão de pessões escala 4. O ampo Elético hama-se ampo Elético a toda egião do espaço em que apaece uma foça de natueza elética sobe qualque caga Q 0 que fo nela colocada. Esta caga é chamada caga de teste 4.3 O Veto ampo Elético Paa se estuda o ampo Elético define-se, em cada um de seus pontos, um veto E, chamado VETOR AMPO ELÉTRIO, como sendo a foça po unidade de caga que apaece sobe uma caga nele colocada. Seja Q 0 a medida da caga puntifome colocada no ponto P e seja a foça de natueza elética que passa a atua sobe ela. Po definição, chama-se VETOR AMPO ELÉTRIO no ponto P ao veto dado po cuja unidade no Sistema Intenacional é E Q 0 Newtom N. Em módulo oulomb E Q 0 Equação 4-1 Equação 4- A definição do Veto ampo Elético pode da a entende que seu valo depende da caga Q 0 o que na ealidade não ocoe como veemos mais abaixo. O que de fato acontece é que o Veto ampo Elético é uma popiedade do ponto P do campo e não da caga Q0. Esta caga Q0 é denominada de caga de teste e sua função é apenas investiga o que ocoe em cada ponto do campo. É fácil obseva-se que se o Veto ampo Elético fo conhecido no ponto P sabeemos calcula a foça que atua sobe qualque caga colocada no ponto P, ou seja Q 0.E Equação 4-3 Obsevemos agoa o seguinte: se a caga Q 0 sofe a ação de uma foça de natueza elética é poque ela deve esta inteagindo com uma outa caga elética - se esta não existisse não haveia foça de natueza elética. Podemos então conclui que o campo elético é geado (poduzido) po caga elética. Estudemos então alguns campos geados po cagas eléticas em difeentes situações. 4.4 ampo geado po uma caga puntifome 4/6/005 Teo doc Página 1 de 9

2 Intodução à Eleticidade Imaginemos inicialmente uma egião do espaço absolutamente vazia, isolada do univeso, (o que é uma abstação teóica). olocando-se num ponto P dessa egião uma caga Q 0 não apaeceá sobe ela foça de natueza elética. Imaginemos agoa que nessa egião exista uma caga puntifome Q localizada no ponto A. olocando-se agoa a caga Q0 no ponto P atuaá sobe ela uma foça de natueza elética, ou seja, a egião tansfomou-se num campo elético o qual foi geado pela caga puntifome Q igua 4-1 alculemos o Veto ampo Elético desse campo. O Veto ampo Elético é dado pela definição Equação e o veto foça que atua sobe a caga é dada pela Lei de oulomb, ou seja, Q.Q0 (P-A) E e K.u onde u Q 0 (P-A) azendo as substituições: E Q.Q K 0. u Q0 Q0 Q E K. u 4/6/005 Teo doc Página de 9 Equação 4-4 que é a expessão que pemite calcula o Veto ampo Elético num ponto P de um campo geado po uma caga puntifome Q localizada no ponto A e a uma distância da mesma. Podemos obseva nesta última expessão aquilo que foi colocado anteiomente: o Veto ampo Elético não depende da caga de teste Q 0 colocada no ponto no qual se que calculá-lo Execícios de evisão teóica ( ) O que é um ampo na ísica? ( ) Desceva alguns tipos de campos ( ) Defina ampo Elético ( ) Qual a vantagem de se tabalha com o conceito de ampo Elético? ( ) Desceva a expessão que pemite calcula a intensidade do campo elético geado po uma caga puntifome. Use palavas, não use fomulas ( ) Desceva a expessão que pemite calcula o veto campo elético geado po uma caga puntifome. Use palavas, não use fómulas Execícios ( ) Uma caga puntifome de medida, 4µ quando colocada num ceto ponto P do espaço sofe uma foça de intensidade 0, N. alcule a intensidade do veto campo elético nesse ponto P. 0, 5N / m ( ) Uma caga de medida 7, 8µ colocada num ceto ponto H do espaço sofe uma foça de intensidade 9, N. Usando o conceito de campo elético, calcule a intensidade da foça que atuaá sobe uma cag a de medida,3µ se esta fo colocada nesse ponto H ( ) Uma caga se enconta localizada num ceto ponto M e obseva-se que o campo elético a uma distância de 0,6m tem medida 4, N /. Qual a medida da caga? Q 1,

3 Intodução à Eleticidade ( ) A que distância da caga de medida, 4µ o campo elético teá intensidade de 8, 10 8 N /? m ( ) Duas cagas de medidas 3, 4µ e 5, 4µ encontam-se sobe uma eta sepaadas po uma distância de 0,6m. alcule o veto campo elético exatamente no meio da distância ente elas N / ( ) No execício anteio detemine o ponto sobe a eta no qual a intensidade do veto campo elético é nulo a 0,6m da caga meno ( ).onsideando ainda o poblema anteio, esponda: é possível o campo elético se nulo foa da egião ente as cagas? não, pois os vetoes campo eléticos são de mesmo sentido ( ) olocando-se uma caga de medida 1, 5µ num ceto ponto do espaço apaece sobe ela uma foça de natueza elética de intensidade N. alcule a intensidade do veto campo elético nesse ponto. 00 N / ( ) Dada a caga puntifome, calcule a intensidade do veto campo elético num ponto P a uma distância de 0,3m da caga N/ Q 3µ c ( ) Se a caga Q1 µ localiza-se no ponto A(1,-,4)m, calcule o veto campo elético e a sua intensidade no ponto (1,3,-3)m 141,4j 00k ( N / ), E 43N/ ( ) onsidee a caga Q 3,5µ localizada no ponto a(,3)m. alcule o veto campo elético geado po essa caga no ponto P(3,5)m ( ) Resolva o execício anteio admitindo que o valo da caga Q seja 6µ ( ) O veto campo elético no ponto P(1,,-1)m á dado po E 10 i 3 10 j k ( N / ) alcule a foça que atuaá sobe uma caga de medida 1, µ quando esta fo colocada nesse ponto.,4 10 i 3,6 10 j + 1, 10 k (N / ) 4/6/005 Teo doc Página 3 de ( ) Quando uma caga de 4µé colocada num ponto do espaço apaece sobe ela uma foça de natueza elética dada po. 3 3 x10 i + 3x10 k N alcule a intensidade da foça que atuaá sobe uma caga de medida ( ) quando esta fo colocada no mesmo ponto do espaço. 3, N /. 3,6µ ( ) Na oigem de um sistema de efeência existe uma caga de medida 5, 7µ. alcule o veto campo elético no ponto P(0,1 ; 0,4)m , 3 10 i, 9 10 j(n) ( ) No ponto (0,1 ; 0,4 ; -0,5)m existe uma caga de medida 9, 0µ. alcule o veto campo elético po ela poduzido no ponto G(0,0 ; -0,4 ; 0,)m ( ) A foça sobe uma caga de medida, 3µ quando colocada num ponto W do espaço é dada pelo veto: 4, i +, j (N). alcule o veto campo elético nesse ponto W. 3 3,0 10 i 1,0 10 j ( ) Duas cagas puntifomes de medidas 3, µ e 5, 4µ localizam-se espectivamente nos pontos A(0,5 ; 0,7)m e B(-0,3 ; -0,5)m. alcule o veto campo elético e sua intensidade no ponto P(0,7 ; -0,8)m ( ) Tês cagas de medidas 1,0µ,,0µ e 3,0µ encontam-se espectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m, B(-0,3 ; 0,5 ; -0,4)m e (0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. alcule o veto campo elético no ponto H(0,4 ; -0,4 ; 0,3)m ( ) alcule o veto foça e a intensidade da foça que atuaá sobe uma caga de medida 9, 0µ se ela fo colocada no ponto P da questão anteio.

4 Intodução à Eleticidade ( ) O campo elético num ponto P do espaço é dada pelo veto E i j k (N / ). alcule a foça que apaeceá sobe uma caga de medida 8, µ se fo colocada nesse ponto P ( ) Qual é o veto campo elético num ponto P se, colocada nesse ponto uma caga de medida 1, 0µ apaece sobe ela uma foça dada pelo veto E (N / )? 4.5 ampo geado po uma coleção de cagas puntifomes Suponhamos agoa que na egião do espaço em estudo exista um conjunto de n cagas puntifomes de medidas Q1,Q,..., Qn. Se uma caga Q0 fo colocada num ponto P dessa egião apaeceão, atuando sobe ela, as foças 1,,..., n poduzidas espectivamente pelas cagas Q1,Q,...,Qn confome visto na figua abaixo. Isto significa que a egião é um campo elético que é geado pela coleção de cagas puntifomes. igua 4- Lembemos inicialmente que cada uma das cagas puntifomes do conjunto gea um veto campo elético, confome visto no item anteio, e que esses vetoes campos eléticos são dados po: 1 3 n E1, E, E3,...,En Q1 Q Q3 Qn 4/6/005 Teo doc Página 4 de 9 Equação 4-5 De acodo com a Mecânica, a foça esultante sobe a caga seá: n Equação 4-6 Aplicando-se a definição de Veto ampo Elético dado pela Equação e substituindo-se a Equação 4.5- teemos: E 1 3 n n Q0 Q0 Q0 Q0 Q0 Q0 Equação 4-7 Obsevemos agoa que cada uma das fações do segundo membo é o veto campo elético poduzido po cada uma das cagas puntifomes da coleção. e Equação fica: E E1 + E + E En Equação 4-8 Este esultado mosta que num campo elético geado po uma coleção de cagas puntifomes o Veto ampo Elético é a soma dos vetoes campo elético geados po cada uma das cagas da coleção individualmente Execícios ( ) Dadas duas cagas puntifomes confome a figua abaixo, calcula a intensidade do veto campo elético esultante

5 Intodução à Eleticidade no ponto P. Dados: Q1 6µ eq 4µ E 1, N / ( ) onsidee a mesma situação do execício anteio, Detemine a posição de um ponto A no qual a intensidade do veto campo elético é nula. 1,1 m à dieita de Q sobe a eta ( ) Resolva o poblema supondo a caga Q1 Q ( ) onsidee a figua abaixo na qual Q 1 µ e Q µ. alcule o veto campo elético e a sua intensidade no ponto P. E, i, j (N / ) ( ) Nos pontos A(1,,3)m e B(3,,1)m localizam-se as cagas QA 1µ e QB 3µ. alcule a intensidade do veto campo elético no ponto P(0,-,1)m. E 7, N / 4.6 agas elética distibuídas As situações apesentadas acima não coespondem à ealidade pois as cagas encontadas nomalmente não são puntifomes mas sim se distibuem sobe um copo, ocupando uma ceta egião do espaço. Nessas condições a caga é chamada distibuída. Paa que possamos estuda esta situação eal devemos intoduzi o conceito de densidades de caga. Este conceito pemitiá estabelece uma elação ente a gandeza física caga elética e as gandezas geométicas compimento, supefície e volume, o que auxiliaá na solução de poblemas de natueza pática Densidade linea de cagas onsideemos um copo filifome que contem sobe ele uma caga distibuída Q. Desse copo filifome consideemos um pedaço de compimento L que contem uma quantidade de igua 4-3 caga Q. Po definição chama-se densidade linea de cagas média à caga po unidade de compimento contido no pedaço ou seja 4/6/005 Teo doc Página 5 de 9

6 Intodução à Eleticidade λ m l m omo o valo médio de uma gandeza pode não apesenta significado, define-se então a densidade linea no ponto como sendo: dq λ lim ou λ l > 0 l dl m Obsevemos agoa que esta última expessão pode se escita como dq λ.dl ou Q dq λ.dl Equação 4-9 Equação 4-10 que pemite que seja calculada a caga total contida no copo, desde que se conheça a densidade linea de cagas e que a integal seja feita sobe todo o copo Densidade supeficial de cagas onsideemos um copo pelicula (de espessua despezível) que contem uma caga Q distibuída. onsideemos então sobe o copo uma áea S que contem uma quantidade de cagas Q. igua 4-4 Po definição chama-se densidade supeficial caga média à caga po unidade de supefície, ou seja σ m A m Ainda po definição, chama-se densidade supeficial no ponto à gandeza dada po dq σ lim ou σ a > 0 A da m Obsevemos agoa que esta última expessão pode se escita como dq σ.da ou Q dq σ.da Equação 4-11 Equação 4-1 que pemite que seja calculada a caga total contida no copo, desde que se conheça a densidade linea de cagas e que a integal seja feita sobe todo o copo Densidade volumética de cagas onsideemos agoa um copo sólido que contem uma caga Q. Seja V um volume do copo que contem a caga Q igua 4-5 Po definição chama-se densidade volumética média de cagas à caga po unidade de volume, ou seja 4/6/005 Teo doc Página 6 de 9

7 Intodução à Eleticidade ρ m V m 3 Ainda po definição, chama-se densidade volumética de cagas no ponto a dq ρ lim ou ρ V > 0 V dv 3 m Obsevemos agoa que esta última expessão pode se escita como dq ρ dv ou Q dq ρ dv Equação 4-13 Equação 4-14 que pemite que seja calculada a caga total contida no copo, desde que se conheça a densidade linea de cagas e que a integal seja feita sobe todo o copo Execícios ( ) Um fio de 1m de compimento apesenta densidade linea de cagas vaiável dada pela expessão, onde s é o compimento do fio medido a pati de uma de suas extemidades. alcule a caga total contida no λ s / m fio ( ) Um copo filifome semicicula de cagas, de aio 0,m, apesenta densidade linea de cagas igual a 4, onde é medido a pati de uma de suas extemidades. alcule a caga total contida no λ fio senφ Q / m 10 4 φ ( ) Suponha no execício que o fio seja uma cicunfeência. alcule a caga total no fio. Justifique a esposta obtida ( ) Uma supefície plana apesenta caga total igual a,3.10 e tem áea igual a 0,34 m. alcule a densidade supeficial de cagas. Podemos afima que essa densidade é a mesma em todos os pontos da supefície?. σ 6, / m, não ( ) A supefície plana da figua apesenta densidade supeficial de cagas dada po 4, alcule a caga total contida na supefície. σ (x + y ).10 / m Q 1, ( ) O paalelepípedo da figua tem densidade volumética de cagas dada po 3 3 ρ (x + y z ).10µ / m. alcule a caga total contida no mesmo. Q 1, ampo geado po caga distibuída Suponhamos agoa que uma egião do espaço contenha uma caga Q distibuída sobe um copo cujas dimensões não pemitem que o mesmo seja epesentado po um ponto geomético, ou seja a caga se distibui sobe o copo de tal foma que não pode se consideada puntifome. Se uma caga de teste Q 0 fo colocada na egião ela sofeá a 4/6/005 Teo doc Página 7 de 9

8 Intodução à Eleticidade ação de uma foça de natueza elética poduzida pela caga distibuída Q, ou seja esta caga gea um campo elético. igua 4-6 Pocuemos detemina o Veto ampo Elético no ponto P, geado pela caga Q que se distibui. Paa que esse veto seja calculado é necessáio que calculemos a foça que atua sobe a caga Q0 e essa foça dividida po Q0 seá o veto campo elético. Sabemos que quando a caga é puntifome a foça de inteação ente as cagas é dada pela Lei de oulomb na foma vetoial, ou seja Q.Q K 0. u Obsevemos que neste caso não podemos aplica esta expessão dietamente pois a caga Q que poduz a foça não é puntifome e conseqüentemente a distância não está deteminada bem não esta deteminado o veso u que define a dieção da foça. igua 4-7 Paa podemos calcula o veto campo elético neste caso utiliza-se de um atifício de natueza matemática (pefeitamente válido) que consiste de: 1- imagina-se a caga não puntifome Q subdividida em infinitas cagas infinitamente pequenas dq cada uma das quais pode se consideada puntifome (epesentada po um ponto geomético). - cada uma destas cagas dq iá poduzi sobe a caga Q0 uma foça infinitamente pequena d. 3- essa foça d pode se agoa calculada pela aplicação da Lei de oulomb, lembando apenas que a caga que está geando a foça é infinitamente pequena, ou seja Q0.dq d K.u foças 4- de acodo com a Mecânica a foça esultante sobe Q 0 é a soma de todas as d que atuam sobe ela, ou seja, matematicamente: Q.dq d K 0.u lembando agoa a definição de veto campo elético Equação /6/005 Teo doc Página 8 de 9

9 Intodução à Eleticidade ou Q.dq 0 d K. u E Q0 Q0 Q0 dq dq E K..u K..u Equação 4-15 que é a expessão que pemite calcula o veto campo elético poduzido pela caga distibuída sobe o copo Execícios ( ) onsidee o copo da filifome da figua, unifomemente eletizado (densidade linea de cagas constante λ ). alcule a intensidade do veto campo elético no ponto P. Q E K λ L s s + L ( ) ( ) Suponha no execício anteio que a densidade linea de cagas é vaiável, vaiando de acodo com a expessão λ 3.x µ / m. Detemine a intensidade do veto campo elético no ponto P, sendo L 0,3m e s 0,1 m ( ) O copo filifome da figua apesenta densidade linea de cagas dada po λ 3.cos φµ / m. alcule o veto campo elético no ponto. Dado R 0,3 m. 3 K E π 6 10 i R ( ) alcule o veto campo elético no ponto P da figua abaixo, supondo o copo filifome unifomemente eletizado com densidade supeficial. σ ( ) A supefície plana infinita da figua esta unifomemente eletizada com densidade supeficial de cagas σ. alcule o veto campo elético no ponto P. 4/6/005 Teo doc Página 9 de 9