a) A energia potencial em função da posição pode ser representada graficamente como

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1 Solução da questão de Mecânica uântica Mestado a) A enegia potencial em função da posição pode se epesentada gaficamente como V(x) I II III L x paa x < (egião I) V (x) = paa < x < L (egião II) paa x > L (egião III) Como as paedes são impenetáveis, nas egiões I e III = ψ I (x) = ψ III (x) = Na egião II, onde V (x) =, a função de onda satisfaz a equação d ( ) ψ II (x) me dx = k ψ II (x) k = h cuja solução geal é dada po ψ II (x) = Ae ikx + Be ikx Uma vez que a função deve se contínua no intevalo (, ), as condições de contono em x =, ψ I () = ψ II () = = B = A ψ(x) = Ae ikx Ae ikx = C sen kx (C = ia) e em x = L, ψ II (L) = ψ III (L) = sen kl = kl = nπ (n = 1,, ) implicam que k n = nπ L = men h ψ n II(x) = C sen k n x = C sen nπ L x De acodo com a elação nπ L = men os possíveis valoes de enegia da patícula são h dados po E n = n π h ml (n = 1,,3, )

2 e, as funções nomalizadas que epesentam os estados estacionáios, no inteio da caixa, são dadas po ou seja, C L L ( 1 cos nπ L x ) ψ n (x) = ψ n dx = L dx = C C sen nπ L x dx = 1 ( x L nπ C = L sen nπ L x ) L L sen nπ x (n = 1,,3, ) L = C L = 1 b) A densidade de pobabilidade das posições da patícula no estado fundamental (n = 1) é dada po ρ(x) = ψ 1 (x) = π L sen L x = 1 (1 cos π ) L L x e sua epesentação gáfica é ρ(x) /L L/4 L/ L x c) De acodo com a condição de nomalização, a pobabilidade de a patícula se encontada em alguma posição no inteio da caixa é igual a unidade, ou seja, P( < x < L) = L ρ(x) dx = 1 Como a densidade de pobabilidade é simética com elação à posição L/, a pobabilidade de a patícula se encontada no intevalo (, L/] é dada po P( < x L/) = 1 P( < x < L) = 1 Paa o intevalo (, L/4], a pobabilidade de pesença é deteminada po L/4 L/4 P( < x L/4) = ρ(x) dx = (1 cos π ) L x dx (x L π sen π ) L/4 L x ( L 4 L π) ( 1 1 π) = 1 L = 1 ( ) π π.18 =.9 = 1 L = 1

3 Solução da questão de Mecânica Clássica Mestado 1. a) Tomando o cento de foças como oigem do sistema de coodenadas, um campo de foça cental pode se expesso como F = F() ˆ onde = é a coodenada adial (módulo do veto posição com elação ao cento) e ˆ = / é o veto unitáio na dieção adial, a pati do cento. A pati da segunda lei de Newton, e da definição do momentum angula de uma patícula de massa m, que se desloca com velocidade v e momentum linea p = m v, pode-se esceve L = (m v) = dl ( dt = m d v ) }{{ dt } F ( d +m dt ) v } {{ } = F Paa uma foça cental, d L dt = F() ˆ = = L = cte. b) Uma vez que tanto o módulo como a dieção do momentum angula pemanecem constantes ao longo do tempo, e o momentum angula é otogonal ao veto posição, implica que o veto posição apesa pode vaia em módulo, duante o movimento da patícula, pemanece o tempo todo em um plano pependicula à dieção do momentum angula, ou seja, Uma patícula em movimento em um campo cental se desloca em um plano, tal que a dieção de qualque eta nomal a esse plano é sempe a mesma.. Paa uma foça cental atativa, invesamente popocional ao quadado da distância ente a patícula e o cento de foças, a enegia total da patícula, consevada ao longo do movimento, é dada po E = T + V onde T = 1 mv é a enegia cinética, e V = C positiva). Como v = ṙˆ + θˆθ, o módulo do momentum angula é dado po L = m θ é a enegia potencial (C é uma constante

4 e, a enegia pode se escita como E = 1 mṙ + 1 m θ C = 1 mṙ }{{} T ( L + m C ) }{{ } V ef onde o temo ente paênteses, usualmente denotado como V ef, é denominado enegia potencial efetiva da patícula, e o pimeia temo de enegia cinética adial (T ). Desse modo, devido a consevação do momentum angula, a enegia depende apenas da coodenada adial e de sua deivada, ou seja, o poblema do movimento plano é tansfomado em um poblema que depende apenas de uma coodenada espacial, e pode se analisado no chamado diagama de enegia. enegia 1/ E > V ef - 1/ E < a min max Enquanto a enegia potencial efetiva pode se positiva ou negativa, a enegia cinética adial é sempe positiva ou nula. Desse modo, o diagama de enegia pemite que se analise os aspectos qualitativos do movimento da patícula, e que, paa L, se identifique essencialmente dois casos: i) A magnitude do temo cinético é maio do que a da enegia potencial efetiva, T > V ef Nesse caso, a enegia total da patícula é positiva ou nula, e o movimento da patícula é ilimitado (tajetóia hipebólica paa E >, e paabólica paa E = ), em uma egião definida po > a onde a é mínima distância que a patícula pode se apoxima do cento de foças, quando o temo cinético se anula. ii) A magnitude do temo cinético é meno do que a da enegia potencial efetiva, T V ef Nesse caso, a enegia total da patícula é negativa, e o movimento da patícula é limitado. (tajetóia elíptica, paa T ), em uma egião definida po min < < max onde min e max são, espectivamente a mínima e a máxima distâncias que a patícula pode se apoxima do cento de foças, quando o temo cinético se anula. Se o temo cinético fo identicamente nulo, T, o movimento se degenea em um movimento cicula de aio igual a.

5 Solução da questão de Eletomagnetismo (Mestado) a) Um conduto pefeito em equilíbio eletostático tem as seguintes popiedades: o campo elético em seu inteio é nulo; o potencial elético é o mesmo em todos os pontos de sua supefície. Assim, paa uma casca esféica, se o campo no inteio é nulo, pode-se conclui que o potencial elético no inteio da casca é constante, e igual ao valo em sua supefície, isto é V supefície = V int = cte. E int = Paa pontos extenos, as magnitudes do campo e do potencial decescem com a distância ao cento da casca (a magnitude do campo elético exteno decesce com a distância segundo 1/, e o potencial elético segundo 1/). Um esboço do compotamento do campo e do potencial elético está mostado na figua abaixo. E V a a b) Devido a simetia da distibuição de cagas, a magnitude do campo elético a uma distância do cento da casca é a mesma em qualque ponto de uma supefície esféica concêntica com a casca, e sua dieção é adial, a pati do cento da casca. Como no inteio da casca não há qualque excesso de caga, de acodo com a lei de Gauss, E int = ( < a) Paa pontos extenos, independentemente da distância, a caga no inteio de qualque supefície gaussiana é igual a. Como o campo é constante ao longo de qualque supefície esféica, a lei de Gauss pode se escita como E ext ds }{{} 4π = ε = E ext = 1 ( ) ( > a) c) Paa uma casca esféica de aio a tem-se que: = ( acos θ + a ) 1/ e ds = a senθ dθ dϕ. Como a casca enconta-se unifomemente caegada com caga total, a densidade supeficial de caga na casca é constante e dada po σ = 4πa Com estas consideações, o potencial elético geado pela casca esféica é dado po V () = 1 ( π 4π) π senθ dθ dϕ ( + a acos θ ) 1/

6 A integação sobe a vaiável ϕ é imediata e igual a π. Fazendo-se u = +a acos θ, esulta que que u du = asenθ dθ. Com essa mudança de vaiável, os novos limites de integação são θ = u = ( a + a ) 1/ = a θ = π u = ( + a + a ) 1/ = + a Assim, o potencial elético é deteminado po V () = 1 ( ) +a du = 1 a a ( ) [ ] + a a a (1) i) Paa pontos extenos ( > a), os módulos que apaecem na equação acima são: + a = + a e a = a. Substituindo esses valoes na equação (1) obtém-se paa o potencial elético exteno V ext = 1 ( ) ( > a) () ii) Paa pontos intenos ( < a), vale as elações + a = + a e a = ( a). Substituindo esses valoes na equação (1) obtém-se paa o potencial elético inteno V int = 1 ( ) ( < a) (3) a Note que o potencial elético inteno é constante. De fato, o potencial inteno é o potencial na supefície da casca esféica. d) A enegia eletostática pode se calculada utilizando a equação U = 1 σ( )V ( ) ds Nesse caso, usando o potencial elético inteno calculado na eq.(3), obtém-se U = 1 ( ) π π senθ dθ dϕ = U = 1 ( ) 8πa }{{} a } dω {{ } 4π Altenativamente, a enegia eletostática pode se calculada po Nesse caso, U = ε π π Eext( ) senθ d dθ dϕ a U = ε substituindo o valo do campo elético exteno, U = ε π π ( ) 4πε ( ) ( ) senθ d dθ dϕ e efetuando a integação obtém-se a E dv U = 1 ( ) a

7 Solução da questão de Mecânica Estatística Mestado a) A função de patição canônica paa um átomo do sistema é dada po onde ε 1 = e onde a =. ε =. Logo, z = n=1 e ε n z = e + e = cosh = cosha b) Como os momentos magnéticos são todos independentes, o valo médio da magnetização total do gás é dado po M = N µ onde Uma vez que obtém-se lnz = ln + lncosha lnz H = lnz T } a {{} tgh a a H µ = lnz H }{{} µ T = µ T tgha µ = µtgha M = Nµ tgh c) Calculando-se a enegia live de Helmholtz pode-se detemina a entopia po S = F [ T == Nk ln( cosha)+t H F = N lnz = N ln( cosha) ln( cosha) } a {{} tgh a a T }{{} ] [ = Nk H ln( cosha) tgha ] ou seja, { S = Nk ln + ln cosh } tgh

8 d) De acodo com os limites das funções hipebólicas lim cosh x = 1 x lim cosh x = x ex / lim senh x = x x esulta que lim ln cosh T = ln lim T tgh = lim senh x = x ex / lim ln cosh T = lim T tgh = lim T ( ) Assim, onde n é o númeo de mols. lim S = T lim S = Nk ln = nn k ln A T S Nk ln Paa os valoes típicos µ 1 eg/g, k 1 16 eg/k e H 1 3 G, o fato 1 1 K indica que a tempeatua de 1 K é suficientemente alta e, potanto, a k entopia mola (S/n) do gás é da odem de S n N A k ln 1 J K 1 mol 1 T