Exercícios Resolvidos Integrais em Variedades

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1 Instituto upeio Técnico Depatamento de Matemática ecção de Álgeba e Análise Eecícios Resolvidos Integais em Vaiedades Eecício Consideemos uma montanha imagináia M descita pelo seguinte modelo M {(,, ) R 3 : < < + }. uponhamos que no ponto do sopé da montanha dado pelas coodenadas (,, ) se enconta uma fábica poluente que epele gases tóicos que se difundem pela atmosfea, eliminando, no pimeio ano de funcionamento, qualque tipo de vida que se enconte na egião descita po >. Detemine a áea da pate da montanha afectada pela actividade da fábica duante o pimeio ano de funcionamento. Resolução: A supefície da montanha descita pela equação + é um cone com vétice no ponto (,, ) e base cicula no plano, com cento na oigem e aio igual a um. M Pfag eplacements Figua : A supefície M {(,, ) R 3 : < + ; > } Em coodenadas cilíndicas (ρ, θ, ), temos então ρ ; < θ < π ; < < e, potanto, a pate da montanha afectada e que se enconta epesentada na Figua pode se descita pela paametiação g : T R 3 definida po em que g(θ, ) (( ) cos θ, ( ) sen θ, ), T ], π[ ], [. A áea afectada pode se calculada de duas fomas: a) det Dg(θ, )t Dg(θ, ) dθd T em que Dg(θ, ) t designa a tansposta da mati Jacobiana Dg(θ, ).

2 b) T D g(θ, ) D g(θ, ) dθd em que D g(θ, ) e D g(θ, ) designam, espectivamente, a pimeia e a segunda colunas da mati Jacobiana Dg(θ, ). A deivada da paametiação g é epesentada pela mati ( ) sen θ Dg(θ, ) cos θ ( ) cos θ sen θ. Potanto, po um lado temos, e, po outo, det Dg(θ, ) t Dg(θ, ) det [ ( ) ] ( ) D g(θ, ) D g(θ, ) (( ) cos θ, ( ) sen θ, ) ( ). Assim, a áea da egião afectada é dada pelo integal ( π ) ( ) dθ d π. Eecício Considee a supefície, com densidade de massa e definida po α(,, ) + 4( + ) {(,, ) R 3 : + ( + ) ; < + < 4}. Calcule o momento de inécia de em elação ao eio O. Resolução: é uma supefície de evolução em tono do eio O e enconta-se epesentada na Figua. É conveniente usa coodenadas cilíndicas (ρ, θ, ). Da definição de obtemos + (ρ ) ) ; < ρ < ; < θ < π. Podemos considea a paametiação definida po g(ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ, + (ρ ) ). Assim, temos Dg(ρ, θ) cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ (ρ ) e, potanto, V (D ρ g, D θ g) D ρ g D θ g (det(dg t Dg)) / ρ + 4(ρ ).

3 Pfag eplacements Figua : A supefície A distância de um ponto (,, ) ao eio O é dada po d (,, ) +. O momento de inécia de elativamente ao eio O seá dado pelo integal I π π π. α(g(ρ, θ)) d (g(ρ, θ)) ρ + 4(ρ ) dρdθ [ ρ ρ sin θ + ( + (ρ ) ) ] dρdθ Note-se que a imagem da paametiação g é o conjunto \{(,, ) : ; }, ou seja, é o conjunto pivado apenas de uma linha. Potanto, paa o cálculo do integal, basta considea a paametiação g. Eecício 3 Considee a supefície R 3 definida po ( + ), com + < e com densidade de massa dada po α(,, ) + 6( + ) 3. Calcule a massa de. Resolução: Em coodenadas cilíndicas (ρ, θ, ), a supefície é descita pela paametiação g(ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sen θ, ρ 4 ) ; e enconta-se epesentada na Figua 3. < ρ < ; < θ < π Pfag eplacements Figua 3: A supefície {(,, ) R 3 : ( + ) } A deivada da paametiação g é epesentada pela mati Dg(ρ, θ) cos θ ρ sen θ sen θ ρ cos θ. 4ρ 3 3

4 Então, sendo D ρ g e D θ g, espectivamente, a pimeia e segunda colunas de Dg(ρ, θ), V (D ρ g, D θ g) D ρ g D θ g det Dg t Dg A massa de seá dada pelo integal ( π ) M α(g(ρ, θ))v (D ρ g, D θ g)dθ dρ π ( [ ]) + 6ρ 6 / det ρ ρ + 6ρ 6. ρ( + 6ρ 6 ) π( ) 5π. Eecício 4 Considee a supefície com densidade de massa σ constante e definida po {(,, ) R 3 : 4 + ( + ) ; 4 < }. Esceva uma epessão paa o momento de inécia de em elação ao eio O. Resolução: A supefície é um paabolóide com eio de evolução O e enconta-se epesentada na Figua 4. Podemos usa coodenadas cilíndicas elativas ao eio O com < θ < π. sen θ ; ; cos θ Pfag eplacements 4 4 Figua 4: O paabolóide {(,, ) R 3 : 4 + ( + ) ; 4 < } Da definição de obtemos 4 + e, sendo 4 < <, temos < <. Assim, a função g(, θ) ( sen θ, 4 +, cos θ), < < ; < θ < π é uma paametiação do conjunto \ L, em que L é a linha definida po L {(,, ) R 3 : ; > }. e Potanto, Dg(, θ) cos θ sen θ 4 sin θ cos θ V (D g, D θ g) D g D θ g (det(dg t Dg)) / + 6. A distância de um ponto (,, ) ao eio O é dada po d (,, ) +. 4

5 O momento de inécia de elativamente ao eio O é dado pelo integal I π π σ d (g(, θ)) + 6 ddθ σ ( cos (θ) + ( 4 + ) ) + 6 ddθ. Note-se que, sendo L uma linha, basta considea a paametiação g paa o cálculo do integal. Eecício 5 eja a > e sejam N a os sub-conjuntos definidos po a) Calcule a áea de N. N a {(,, ) R 3 : + ( ) + ; + 4( ) < a}. b) uponha que sobe N a está disposta uma distibuição de caga eléctica de densidade dada po σ(,, ) + +4( ). Calcule o valo de a paa o qual a caga total da supefície N a é igual a π. Resolução: a) eja u + e v. Em temos das coodenadas, u, v, o conjunto N a é o paabolóide descito pela equação u v +, sujeito à condição + 4v < a e cujo eio de simetia é o eio Ou. Da definição de u e de v obtemos (u+v) e (u v) e, potanto, uma paametiação paa N a seá dada po ( g(, v) ((, v), (, v), (, v)), (v + v), ) (v + + v) em que, v R satisfaem a condição + 4v < a. Na Figua 5 enconta-se epesentada a vaiedade- N. N Pfag eplacements Figua 5: A vaiedade N Temos então Dg(, v) v. v + 5

6 endo D g e D v g, espectivamente, a pimeia e segunda colunas de Dg, obtemos V (D g, D v g) D g D v g ( [ + det Dg t Dg det v v v v. ])/ Paa calcula a áea de N temos de intega V (D g, D v g) na egião elipsoidal R definida pela condição + 4v < : Áea(N ) V (D g, D v g)ddv + + 4v ddv. É mais fácil calcula o integal intoduindo coodenadas apopiadas à egião, cos θ v sen θ com < θ < π e < <. O Jacobiano da tansfomação (, θ) (, v) é Áea(N ) ( π π 4 ( 8 )π. 6 ) V (D g, D v g) dθ d + d e, assim, b) A supefície N a é descita pela paametiação g(, v) com + 4v < a. Em coodenadas (, θ), tal como na alínea anteio, temos então σ + + 4v + ; < < a ; < θ < π. Logo, a caga total de N a é dada pelo integal ( a π Q a σ ( + ) N a π (( + a)5/ ). Potanto, quando a /5, a caga total é igual a π. + ) dθ d Eecício 6 Considee a seguinte vaiedade de dimensão em R 3 :. Calcule a áea de. {(,, ) R 3 : ( + ) + ; > }.. Detemine a epessão paa a nomal unitáia com teceia componente positiva em cada ponto da supefície. 3. Calcule o fluo atavés de, segundo a nomal unitáia com teceia componente positiva, do campo vectoial F (,, ) (,, ). 6

7 Resolução:. Faendo +, então a vaiedade é descita pela equação ( ) +, ou seja, pode se vista como o esultado de uma evolução, em tono do eio O, da semicicunfeência epesentada na Figua 6. Potanto, é a pate de um too em que >. Pfag eplacements Pfag eplacements 3 ( ) + ( ) + 3 Figua 6: Assim, uma paametiação paa a vaiedade é a função g : ], 3[ ], π[ R 3 definida po g(, θ) ( cos θ, sin θ, ( ) ). Note-se que a imagem da paametiação g é o conjunto \ {(,, ) : ; }. Potanto, basta considea a função g paa o cálculo da áea de. A áea de seá dada pelo integal em que g g θ π 3 g g θ ddθ cos θ, sin θ,, ( ) ( sin θ, cos θ, ). Efectuando os cálculos, obtemos g g θ ( ) ( ) cos θ, sin θ, ( ) ( ) e, potanto, g g θ. ( ) 7

8 Assim, a áea de é dada po π 3 ( ) ddθ. A nomal unitáia é o vecto e, da alínea anteio, obtemos n ( ) π 3 + ( ) ( ) [ π ( ) + acsin( ) 4π. n g g θ g g θ ] 3 ddθ ( ) ( ) cos θ, sin θ, () ( ) ( ) ( ( ) cos θ, ( ) sin θ, ( ) ). () 3. O fluo do campo vectoial F atavés de segundo a nomal n é dado pelo integal F n π 3 F (g(, θ)) ( g g θ )ddθ π 3 [ ddθ π ] 3 8π. 8