CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

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1 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Vetoes no plano O plano geomético, também chamado de R, simbolicamente escevemos: R RR {(,), e R}, é o conunto de todos os paes odenados de númeos eais. Ele é epesentado atavés do sistema de coodenadas catesianas, o qual é constituído po dois eios pependiculaes ente si, cua inteseção é o pa odenado O(0,0), chamado de oigem do sistema. Esses eios são denotados po O (eio das abscissas) e O (eio das odenadas) e ambos chamados de eios coodenados, oientados como mosta a figua abaio. II O (+) P(,) I ( ) (+) (0,0) O III ( ) IV Todo ponto P do plano é epesentado como na figua acima, onde e são as suas coodenadas, espectivamente em elação aos eios O e O. Na epesentação de um ponto do plano, dento do pa odenado a coodenada é sempe a pimeia e a segunda coodenada, assim, P(,). Note que os eios coodenados dividem o plano em 4 egiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadante. O que distingue um quadante do outo são os sinais das coodenadas (,) de um ponto qualque do R. Assim: - Se (,) petence ao I quadante, então >0 e >0. Simbolicamente: (+,+); - Se (,) petence ao II quadante, então <0 e >0. Simbolicamente: (-,+); - Se (,) petence ao III quadante, então <0 e <0. Simbolicamente: (-,-); - Se (,) petence ao e IV quadante, então >0 e <0. Simbolicamente (+,-). Qualque veto do R pode se escito em função de dois vesoes i e, com i, cada um deles situados sobe os eios coodenados O e O,

2 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu espectivamente, como mosta a figua abaio. Futuamente o conunto dos i, seá chamado de uma base do R. vesoes { } O P(,) v O i i O Pela figua acima, podemos ve que v i +, ou sea, o veto v é escito em função da base { i, }. A epessão v i + é chamada de epessão catesiana de um veto do R e seu módulo é deteminado po v +. Todo veto do plano seá epesentado a pati da oigem do sistema, ou sea, a oigem do veto coincide com a oigem do sistema e sua etemidade coincide com algum ponto P(,), do mesmo plano. Assim podemos identifica um veto com um ponto do plano e simplesmente esceve que v (,). Po eemplo: Paa o veto v i podemos esceve v (, ) e epesentá-lo no R, macando o ponto P(,-) e unindo este ponto à oigem do sistema, sempe faendo coincidi a oigem do veto com a oigem do sistema e a etemidade do veto com o ponto P(,-), como mosta a figua abaio: - v P(,-). Opeações com vetoes do R na foma catesiana Seam v i + e v i + dois vetoes quaisque do R e um escala qualque α R. Então: - Adição: v + v ( + )i + ( + ) - Subtação: v v ( )i + ( ) - Multiplicação po escala: α v ( α)i + ( α) Eemplo (): Seam u i + 4,v i + e w i. Detemine o módulo do veto R u v + w.

3 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Solução: Consideando as coodenadas dos vetoes paa simplifica a notação vem: u (,4),v (,) e w (,0). Vamos pimeio detemina o veto R. R Logo, (,4) (,) + (, 0) (,) ( 9,) + (,0) ( + 9+, + 0) (, ) R i. Potanto, R ( ) Cossenos dietoes de um veto Sea v i + um veto qualque do R. Então v foma um ângulo com cada eio coodenado. Seam α e β os ângulos que o veto v foma com os eios O e O, espectivamente. Pela figua abaio temos: cos( α ) e cos( β ), chamados cossenos dietoes do veto v. Note que: cos ( α ) + cos ( β), pois: + e v +, então v + v β α O O Definição: Considee o veto v i +. Então o veso do veto v, denotado po v o, é um veto paalelo, de mesmo sentido de v e unitáio, ou sea, v o, definido po v o v. O Como v i + v (, ) P(,). v o (,), v o (cosα,cosβ). Eemplo (): Dados os pontos A(,4) e B(-,), detemine: a) Os cossenos dietoes do veto AB. b) Um veto w de módulo 40 e paalelo ao veto AB. Solução: a) AB B A (,) (,4) (, ), AB ( ) + ( ) 0. Então: cos( α ) AB b) Sea w (,) e cos( β) 0 AB 0. Se w é paalelo ao veto AB, então eiste um escala m R tal que: w m AB. Então: m (,) m (, ). Po outo lado w 40, m

4 então: 40 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu + ( 40) ( m) + ( m) 40 0m 40 m ±. Assim, há duas soluções: paa m w ( 6, ) w (6,). ou paa m - w (6,) o seu oposto. Logo, w ( 6, ) ou Eemplo (): Seam v ( + m,m) e w (,m ). Detemine os valoes de m paa que o veto v w tenha módulo igual a 6. Solução: v w ( + m,m) (,m ) (m+, m+ ) v w (m + ) + ( m + ) m + 8m m m + 8m+ 6 6 m + 4m 0 m m v (4,)ew (,) Logo paa m v (, )ew (, ) Eemplo (4): Sea v (,4). Ao poetamos o veto v sobe o eio O, obtemos um veto u. Detemine o veto w que é a poeção do veto u na dieção do veto v. Solução: Temos que u (,0) e w é paalelo ao veto v. Então w αv. Sea α w (,). Então: w (,) α(,4). Po constução temos: 4α w u cos θ w. Mas w + (α) + (4α) u v w (α) + (4α) α 9 α 9 Potanto: w (,) 9 (,4) 7 6 w, 4 v w θ u

5 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Eecícios Popostos: ) Dados os vetoes v (,4) e u ( 4,), detemine os vetoes a e b sabendo que v a+ b e que b é o tiplo do veso do veto u. Resp: 9 b, e a, ) Detemine t paa que u (t,t) tenha módulo igual a. Resp: t ± ) O veto v (,8) é a soma de um veto a que está sobe o eio O com um veto b, cuo módulo é 7. Detemine as possibilidades paa os vetoes a e b. a (,0) e b (,8) ou Resp: a (,0) e b (,8) 4) Tês pontos do plano A(,), B(,) e C(,7), deteminam um tiângulo ABC. a) Moste que AC + CB + BA 0. b) Detemine o peímeto do tiângulo ABC. Resp: p 7 + ) Seam A, B, C e D, vétices de um paalelogamo ABCD. Sendo A(-,0) e AC (7,4) e BD (, 4) suas diagonais, detemine os outos vétices B, C e D. Resp: B(,4), C(6,4) e D(4,0) Vetoes no espaço O espaço, também chamado de R, onde R R R R, é o conunto de todas as tenas (,,) que, simbolicamente escevemos R {(,,)/,, R} Logo, todo ponto P do O R é epesentado po uma tena de númeos eais P(,,). R é epesentado atavés do sistema de coodenadas catesianas, o qual é constituído po tês eios pependiculaes ente si, cua inteseção é a tena O(0,0,0), chamada de oigem do sistema. Esses eios são denotados po O (eio das abscissas), O (eio das odenadas) e O (eio das cotas), ambos chamados de eios coodenados, oientados como mosta a figua abaio.. O (+) ( ) ( ) (+) O (+) O ( )

6 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Note que os eios coodenados dividem o espaço e 8 egiões iguais, cada uma delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outo são os sinais das coodenadas (,,) de um ponto qualque do R. Assim: - Se (,,) petence ao º octante, então >0, >0 e >0. Em símbolos: (+,+,+); - Se (,,) petence ao º octante, então <0, >0 e >0. Em símbolos: (,+,+); - Se (,,) petence ao º octante, então <0, <0 e >0. Em símbolos: (,,+); - Se (,,) petence ao 4º octante, então >0, <0 e >0. Em símbolos: (+,,+); - Se (,,) petence ao º octante, então >0, >0 e <0. Em símbolos: (+,+, ); - Se (,,) petence ao 6º octante, então <0, >0 e <0. Em símbolos: (,+, ); - Se (,,) petence ao 7º octante, então <0, <0 e <0. Em símbolos: (,, ); - Se (,,) petence ao 8º octante, então >0, <0 e <0. Em símbolos: (+,, ). Apesa do R te a epesentação como acima, paa fins de simplifica a epesentação ou a constução geomética de algo, po convenção, adota-se uma epesentação simplificada do R, epesentando apenas um ou o octante deseado. Todo ponto P(,,) do espaço é epesentado como na figua abaio, onde, e são as suas coodenadas, espectivamente em elação aos eios O, O e O e esta odem esta fiada. O P(,,) O O Suponhamos que deseamos epesenta os pontos P(,,6) e Q(-,,6). Note que P petence ao º octante e Q petence ao º octante. O 6 P(,,6) O 6 Q(-,,6) º octante O O º octante O º octante O A epesentação do ponto P(,,6) é elativamente simples quando tabalhamos com o º octante, o que não ocoe com a epesentação do ponto Q(-,,6). As epesentações no º ao 8º octantes são complicadas, eigem técnicas

7 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu do desenho geomético como noção de pofundidade e pespectiva e, nem sempe a visualiação do que se petende epesenta é evidente aos nossos olhos. Como estamos inteessados em fae as epesentações no R atavés de um esboço, ou sea, algo simples e não petendemos ealia constuções difíceis e nem epesentações elaboas, o que se adota como convenção é epesenta o octante deseado como se fosse sempe o º octante. Po eemplo, podeíamos epesenta o ponto Q(-,,6) da seguinte foma: O 6 Q(-,,6) O - º octante Qualque veto do R pode se escito em função tês vesoes O i, e k, cada um deles situados sobe os eios coodenados O, O e O, espectivamente. i,,k seá chamado de uma base do R. Futuamente o conunto de vesoes { } O O Pela figua acima podemos ve que v i + + k, ou sea, o veto v é i,,k. A epessão v i + + k é chamada de escito em função da base { } epessão catesiana. Note também que, o módulo de um veto é dado po v + +, pois: i k k i i + v P(,,) O Do tiângulo OQR vem: w + Do tiângulo POR vem: v w + Então: v + + Potanto: v + + Q O v w P R

8 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Todo veto do espaço seá epesentado a pati da oigem do sistema, ou sea, a oigem do veto coincide com a oigem do sistema e sua etemidade coincide com algum ponto P(,,). Assim, podemos identifica um veto com um ponto do espaço e simplesmente esceve que v (,,). Po eemplo: O veto v i + + 6k é escito como v (,, 6) e epesentálo no R, macando o ponto P e unindo este ponto à oigem do sistema, sempe faendo coincidi a oigem do veto com a oigem do sistema e a etemidade do veto com o ponto P. Vea a figua abaio: O 6 v P(,,6) O O. Opeações com vetoes do R na foma catesiana Seam v i + + k e v i + + k dois vetoes quaisque do R e um escala qualque α R. Então: - Adição: v + v ( + )i + ( + )+ ( + ) k - Subtação: v v ( )i + ( )+ ( ) k - Poduto po escala: α v ( α)i + ( α)+ ( α) k Eemplo (): Seam u i + 4,v i + + ke w, tês vetoes do espaço. Detemine o módulo do veto R u v + w. Solução: Consideando as coodenadas dos vetoes paa simplifica a notação, escevemos: u (,4,0),v (,,) e w (0,,0). Deteminando o veto Rvem: R (, 4,0) (,,) + (0,,0) (,,0) ( 9,,6) + (0,,0) R ( ,, ) (0,, 6). Logo, R 0i 6k Potanto, R 0 + ( ) + ( 6)

9 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu. Cossenos dietoes de um veto Sea v i + + k um veto qualque do R. Então v foma um ângulo com cada eio coodenado. Seam α, β e γ os ângulos que o veto foma com os eios O, O e O, espectivamente. Pela figua abaio temos: cos( α ), cos( β ), cos( γ ) O P(,,) chamados de co-senos dietoes do veto v. Note que: cos ( α ) + cos ( β) + cos ( γ) γ v β α O Definição: Considee o veto v O i + + k. Então o veso do veto v, denotado po v o, é um veto paalelo, de mesmo sentido de v e unitáio, ou sea, v o, definido po v v o. Como v o v i + + k v (,,) (cosα,cosβ,cosγ). v o (,,),,. Condição de paalelismo ente dois vetoes. Seam u (,,) e v (,,) dois vetoes paalelos, ou sea, eles têm a mesma dieção, então eiste um escala m R tal que u m v. Logo: m m (,,) m (,,) m m m, m m com 0, 0 e 0. Potanto, paa que dois vetoes seam paalelos é necessáio que haa uma popoção ente suas coodenadas, isto é, eles são múltiplos escalaes.

10 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Po eemplo: considee os vetoes u (,4, ), v (,8,4) Temos que u e v são paalelos, pois não são paalelos, pois w m u e w (,6,4). 8 4 v u e. Note que u e w 4, ou sea, não eiste nenhum escala m R tal.4 Condição de coplanaidade ente tês vetoes Seam u (,,), v (,,) e w (,,) vetoes coplanaes, ou sea, vetoes que estão no mesmo plano, então eistem escalaes m, n R tais que u mv+ nw. w nw u mv v Então: (,,) m (,,) + n (,,) m m m + n + n + n Podemos associa a este sistema linea uma mati dos coeficientes, cuo deteminante é igual a eo, pois eiste uma combinação linea ente suas linhas, ou sea, a pimeia linha é m vees a segunda mais n vees a teceia. Potanto, a condição paa que tês vetoes seam coplanaes é veificada quando 0. Eemplo (6): Dados os pontos P(,4,) e Q(,,) detemine um veto w paalelo ao veto PQ e que tenha módulo igual a 6. Solução: Seam w (,,). Como w é paalelo a PQ, então w αpq (,,) α(,, ). Então: α α. O módulo de w (,,) α é igual ( α) + ( α) + ( α) 6 9α 6 α ±. Potanto, w (,4,4) ou w (, 4, 4).

11 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Eemplo (7): Os vetoes v (,,) e v (0,,0 ) estão aplicados no mesmo ponto A. Detemine um veto AB de módulo, cua dieção é a dieção da bisseti do ângulo fomado pelos vetoes v e v. Solução: Paa que AB (,,) estea sobe a bisseti do ângulo ente v e v, é necessáio que α v αv + ( ) + α α α ± α. Pela figua podemos ve que AB αv + αv. Paa α α AB αv + αv AB α(v + v) α α α (,,) α [ (,,) + (0,,0) ]. Como AB + + (α ) + (α) + (α) α α ± α ±. Potanto, AB (,,) ou AB (,, ). Paa α α AB αv αv AB α(v v) [(,,) (0,,0) ] (,,) α α 4α α. Como AB + + (α) + ( 4α) + (α) 4α 4α α ±. Potanto, AB (,, ) ou AB (, +, ) α v v A α α v AB α v B Eemplo (8): Da as epessões das coodenadas do ponto médio do segmento de eta de etemidades A(,,) e B(,,). Solução: Sea M(,,) o ponto médio do segmento AB. O ponto M é tal que AM MB ou M-A B-M. Então: (,, ) (,, ) Potanto: Ponto médio M,,

12 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu Eecícios Popostos: ) Enconta os valoes a e b tais que w av + bu, sendo w ( 4, 4,4), v (,,) e u (,0, 4). Resp: a e b - ) Detemine o simético do ponto P(,,-) em elação ao ponto A(-,0,-). Resp: Q(-,-,-4) ) Um veto w do R foma com os eios O e O, ângulos de 60 o e 0 0, espectivamente. Detemine w paa que ele tenha módulo igual a. Resp: w (,, ) ou w (,, ) 4) Seam a (,0,0) e b (,,0 ). O ângulo ente eles é 4 o. Calcule o ângulo ente os vetoes a+ b e a b. Resp: θ accos ) Dados os pontos A(,-,) e B(,,), até que ponto se deve polonga o segmento AB, no sentido de A paa B, paa que seu compimento quaduplique de valo? Resp: (9,7,) COMENTÁRIOS IMPORTANTES v ) Como podemos identifica um veto v i + + k com um ponto do R e, a fim de simplifica a notação, escevemos v (,,), é muito comum o aluno confundi as notações de um ponto P(,,) com o veto v (,,). Às vees até, fae opeações que são pemitidas somente ente vetoes, aplicando-as aos pontos. Potanto, cuidado com as notações. ) A linguagem matemática é uma linguagem como outa qualque, com suas egas e conectivos lógicos. As pópias línguas (potuguês, inglês, alemão,...) possuem suas egas de constução (concodâncias, otogafia, conugação vebal,...) as quais devem se empegadas coetamente paa que as fases e os paágafos tenham sentido. Se po eemplo, em uma deteminada linguagem computacional você esquece-se de digita um ponto ou uma vígula, seu pogama não oda e enviaá uma mensagem de eo. Vea o que acontece quando nos esquecemos de digita um ponto ou uma leta em um site da intenet ou um e- mail, não vamos consegui navega ou envia uma mensagem. Assim também é linguagem matemática. Se você não esceve coetamente, seu desenvolvimento matemático ficaá sem sentido e o pofesso, povavelmente, vai lhe envia uma mensagem de eo que é a sua nota. Potanto, pocue usa os símbolos de

13 Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu maneia coeta e odenada, paa aqueles que leem seu desenvolvimento matemático possa entende o seu aciocínio.