Um pouco de cálculo 1 UM POUCO DE CÁLCULO. 1.1 Introdução aos vetores. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas

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1 Um pouco de cálculo UM POUCO DE CÁLCULO. Intodução aos vetoes Eistem gandezas físicas que podem se especificadas fonecendo-se apenas um númeo. Assim, po eemplo, quando dizemos que a tempeatua de uma sala é de C temos a infomação completa, não sendo necessáio nenhum dado adicional. Gandezas deste tipo são conhecidas como escalaes. Po outo lado, se estivemos discutindo o deslocamento de um copo, é necessáio indica a distância pecoida ente dois pontos, a dieção e o sentido do deslocamento. A gandeza que desceve este movimento é denominada de veto e seá o objeto de estudo desta seção. Eistem ainda gandezas chamadas tensoes que necessitam de um númeo maio de infomações, em geal dadas na foma de matizes, que fogem à abangência deste teto. Geometicamente, os vetoes são epesentados po uma seta, cujo compimento é chamado de módulo (escolhendo-se uma deteminada escala). A dieção e o sentido da seta fonecem a dieção e sentido do veto. Usualmente, ele é epesentado po uma leta em negito (a, AB, etc.) ou com uma seta sobe a leta ( a, AB, etc.). Po outo lado, o módulo do veto é epesentado apenas po uma leta ou com o veto colocado ente baas (a, a, AB, etc.) Consideemos uma patícula deslocando-se de A paa B. Este deslocamento é epesentado po uma seta indo de A até B, como a mostada na Fig..(a). O caminho efetivamente seguido pela patícula pode não coincidi com o seu deslocamento (veto), confome ilusta a Fig..(b). Se consideamos pontos intemediáios (P), tais como o mostado na Fig..(c), S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

2 Um pouco de cálculo podeemos eventualmente mapea o tajeto, poém a soma esultante seá sempe o veto AB, caacteizado pelo seu módulo (compimento), dieção e sentido. As gandezas vetoiais combinam-se segundo deteminadas egas. Assim, no deslocamento da Fig.. definimos a opeação soma de vetoes, AP + PB AB, que veemos com mais detalhes a segui. B B B A A A P Fig.. - (a) Veto descevendo o deslocamento de uma patícula ente os pontos A e B, (b) tajetóia eal da patícula e (c) soma de deslocamentos. Consideemos os vetoes a e b mostados na Fig... O esultado da adição destes dois vetoes é a esultante, denotada po a + b. O pocedimento empegado paa efetua a adição geomética de vetoes pode se intuído a pati da Fig.. e é o seguinte: taça-se (em escala) o veto a e em seguida o veto b com a oigem na etemidade de a. Une-se a etemidade final de b com a oigem de a e assim temos o veto soma, como ilustado na Fig... (a) (b) (c) a Fig.. - Adição geomética dos vetoes a e b. Usando este pocedimento geomético paa a adição de vetoes, vemos que esta satisfaz as popiedades comutativa: a + b b + a e associativa: (a + b) + c a + (b + c), como indicado na Fig..3. b S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

3 Um pouco de cálculo 3 A subtação de vetoes é facilmente intoduzida definindo-se o negativo de um veto como sendo o veto com sentido oposto ao oiginal. Assim, a b a + ( b), como ilustado na Fig..4. Note que tanto a adição como a subtação podem se epesentadas simultaneamente pela constução do paalelogamo epesentado na Fig..5. a a b (a) b a S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas (b) Fig..3 - Popiedades (a) comutativa e (b) associativa. b b Fig..4 - Subtação geomética dos vetoes a e b. a b Fig..5 - Rega do paalelogamo paa a adição e subtação geomética dos vetoes a e b. A adição geomética de vetoes tidimensionais é muito mais difícil e paa evitá-la costuma-se utiliza o método analítico, que consiste na decomposição espacial dos vetoes e na manipulação individual de seus componentes. A decomposição de um veto só pode se efetuada com elação a um sistema de a a b a + b b a + b b a b b + c a + b + c a b a c

4 4 Um pouco de cálculo coodenadas de oientação conhecida no espaço. Considee a decomposição de um veto no plano, confome mosta a Fig..6, onde θ é o ângulo ente a e o semi-eio positivo. Dependendo do ângulo θ, as componentes podem se positivas ou negativas. Po definição, este ângulo aumenta quando o veto oda no sentido anti-hoáio. O conhecimento dos componentes de um veto é suficiente paa especificá-lo completamente, além de possibilita a manipulação matemática simultânea de váios vetoes. De acodo com a Fig..6 temos a a cosθ e a a senθ, de onde sai que: a a a + a tg θ a /a a a θ a Fig..6 - Decomposição do veto a num sistema de coodenadas catesianas. Muitas vezes é conveniente a intodução de um veto de módulo unitáio, chamado veso, na dieção de um deteminado veto, que pode então se escito como a aêa. Assim sepaamos o módulo do veto (a) de sua dieção e sentido ( ê a ). Da mesma foma, é conveniente taça vesoes paalelos aos eios do sistema de coodenadas escolhido, como mosta a Fig..7. Nomalmente, no sistema de coodenadas catesianas eles são chamados de î, ĵ e kˆ. Costumamos dize que estes vesoes fomam uma base completa poque qualque veto pode se epesso como combinação linea deles, da foma: S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

5 Um pouco de cálculo 5 a a î + a ĵ + a z kˆ kˆ ĵ î z Fig..7 - Vesoes no sistema de coodenadas catesianas. onde a î, a ĵ e a zkˆ são denominadas de componentes vetoiais do veto a. Note que se estivemos tatando com vetoes contidos no plano, temos a z. A soma analítica de vetoes pode se efetuada da foma: a + b a î + a ĵ + a kˆ + b î + b ĵ ( ) ( b kˆ ) z + ( a + b ) î + ( a + b ) ĵ + ( a + b ) kˆ î + ĵ kˆ z z + Assim, a + b, a + b, z a z + b z. Logo: O veto esultante tem como componentes a soma das espectivas componentes dos vetoes individuais. Como eemplo, considee 3 vetoes coplanaes dados po: a î ĵ, b 3î + ĵ e c.5î. As componentes do veto esultante são: e - + +, de modo que 3.5î + ĵ. O ângulo θ pode se encontado de acodo com: tg θ / / θ 5.9 e o módulo é: ( 3.5) Uma opeação que veemos apaece com feqüência nos póimos capítulos é a multiplicação envolvendo vetoes, que pode se de tês tipos: z z S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

6 6 Um pouco de cálculo a) Multiplicação de um veto po um escala - esulta num outo veto paalelo ao pimeio, poém com o módulo multiplicado po uma constante. Se esta constante fo negativa eiste a invesão do sentido do veto. b) Poduto escala - o poduto escala ente a e b esulta num númeo (e não num veto) que é definido como a.b ab cosφ, onde ϕ é o ângulo ente eles. Geometicamente, temos o poduto do módulo de um veto pela pojeção do outo sobe si. Este tipo de poduto apaece no cálculo do tabalho mecânico, potência de uma foça, etc. a φ b Fig..8 - Poduto escala ente dois vetoes a e b. c) Poduto vetoial É epesentado po c a b. O veto esultante tem o módulo dado po c ab senϕ, e dieção pependicula ao plano que contém a e b. Novamente, ϕ é o ângulo ente a e b. O sentido de c pode se deteminado pela ega da mão dieita, ilustada na Fig..9. Usa-se a seguinte eceita: Empue com as pontas dos dedos o veto a no sentido de supepôlo ao veto b. O polega indicaá o sentido do veto c. a c b Fig..9 - Rega da mão dieita paa a ealização do poduto vetoial. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

7 Um pouco de cálculo 7 Ao contáio do poduto escala, o poduto vetoial não é comutativo, isto é, ele muda de sinal ao mudamos a odem dos vetoes, isto é, a b b a. Este fato pode se compovado pela ega da mão dieita. Algumas popiedades inteessantes dos podutos escala e vetoial são:. distibutiva (escala): a.( b + c) a.b + a. c. distibutiva (vetoial): a ( b + c) a b + a c 3. poduto misto: a. ( b c) b. ( c a ) c.( a b) 4. duplo poduto vetoial: a ( b c) ( a. c ) b ( a.b) c Paa o cálculo do poduto vetoial, notamos que: î î ĵ ĵ kˆ kˆ, pois o ângulo ente dois vetoes iguais é nulo e î ĵ kˆ, ĵ kˆ î e kˆ î ĵ, como pode se visto pela ega da mão dieita. Vejamos a segui alguns eemplos de multiplicação vetoial. (i) a 4î e b ĵ a b 8kˆ (ii) a î + 3ĵ e b î - ĵ a b ( ) î + 3ĵ î ĵ 3 î î - î ĵ + ĵ î - 3ĵ ĵ - kˆ. Uma outa maneia de se faze o poduto vetoial é pelo uso de matizes. Considee a î + 3ĵ kˆ e b î ĵ+ kˆ. Podemos calcula o veto esultante pela co-fatoa da matiz: 7 a b î ĵ 3 - kˆ - ( 6 ) î ( 4 + ) ĵ + ( 3) kˆ 5(î ĵ kˆ ) Este mesmo esultado pode se encontado utilizando-se a popiedade distibutiva (vetoial). A vaiação dos vetoes é um fato etemamente impotante. Vamos analisa, po eemplo, o movimento cicula unifome, esquematizado na Fig... S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

8 8 Um pouco de cálculo ωt ω t s s Fig.. - Repesentação do movimento cicula. Duante um intevalo de tempo t etemamente cuto (infinitesimal), a distância pecoida é s ω t. O veto velocidade é dado po: v s/ t e paa calculá-lo tomamos, de acodo com a Fig..: cos ωt + ω t î + sen ωt + ω t ( ) ( ) ĵ s cosωt î sen ωt ĵ [ cos ωt cos ω t sen ωt sen ω t] î + [ sen ωt cosω t + cos ωt sen ω t] ĵ cosωt î sen ωt ĵ Paa t muito pequeno ( t ) temos cosω t e sen ω t ω t, e assim, s ω t sen ωt î + ω t cos ωt ĵ v ωsen ωt î + ωcosωt ĵ Desta foma, a vaiação tempoal do veto posição nos leva a um veto velocidade v que é tangencial à óbita do movimento cicula. Note que se definimos um veto ω ωkˆ, podemos esceve v î cosωt ĵ senωt kˆ ω ω sen ωt î + ω cosωt ĵ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

9 Um pouco de cálculo 9 Como vemos, o conhecimento de como as gandezas físicas vaiam é tão impotante quanto o conhecimento da pópia gandeza. Como o veto é caacteizado pelo módulo, dieção e sentido, ele apesentaá vaiação sempe que um destes elementos muda. Podemos te: a) Vaiação do módulo, como indicado na Fig..: v v v v - v v Fig.. Vaiação do módulo de um veto. b) Vaiação da dieção, como no movimento cicula visto anteiomente: a Fig.. - Vaiação da dieção de um veto. a a a a a Este tipo de cálculo que fizemos, consideando a vaiação do veto em intevalos pequenos, é etemamente útil em Física e nos leva ao chamado cálculo infinitesimal (válido quando t ). Abodaemos este tópico a segui.. Intodução às deivadas Em Física, a manipulação matemática das váias gandezas é tão impotante quanto o conhecimento da pópia gandeza. Nem sempe as opeações elementaes de álgeba são suficientes paa tais manipulações, sendo necessáia a intodução de novas opeações e conceitos matemáticos. Dente estes, são de etema impotância os de deivada e integal. a a Como ilustação, consideemos um copo que se desloca a uma distância d num intevalo de tempo t. Com estes dados, o máimo que S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

10 Um pouco de cálculo podemos faze é calcula a velocidade média do copo no intevalo mencionado. Se quisemos conhece a velocidade instantânea do copo num deteminado ponto de sua tajetóia, deveemos analisa seu compotamento nas vizinhanças deste ponto e tão mais eata seá a esposta quanto mais limitada fo a vizinhança. É comum nesta situação que descevemos encontamos divisões de númeos quase nulos e, neste caso, tais divisões devem se feitas de uma maneia especial. Vamos inicia a abodagem deste assunto pelo conceito intuitivo de limite. Consideemos a função f ( ) 4 +. Queemos estuda seu compotamento quando a vaiável assume valoes cada vez mais póimos de. Paa isto, vamos constui a seguinte tabela: f() f() Ela mosta claamente que quando tende a, f() tende a 5 e estaá mais póimo de 5 quanto meno fo a difeença ente e. Este fato é epesso matematicamente da seguinte foma: lim f ( ) 5 que que dize que o limite da função f() quando tende a é 5. Outos eemplos que podemos cita são: lim S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

11 Um pouco de cálculo lim ( + /) lim Paa funções polinomiais, isto é, funções que tenham dependência do tipo n, vale a seguinte popiedade: lim f ( ) f ( c) c Eistem outos limites que são um pouco mais difíceis de seem demonstados e que são melho discutidos nos livos de Cálculo. Po eemplo temos: lim sen lim ( + /) e Vamos a segui usa o conceito de limite paa intoduzi a opeação de difeenciação (deivadas). Seja a função f() definida num intevalo do eio, no qual o ponto está contido, como mosta a Fig..3. Chamaemos de azão incemental da função f() elativa ao ponto, a quantidade: f() f ( ) f ( ) f()-f( ) Fig..3 - Definição da azão incemental. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

12 Um pouco de cálculo A azão incemental da função f() epesenta o quanto a função é incementada quando é vaiado de a. Esta azão pode se positiva, negativa ou nula dependendo se a função é cescente, decescente ou constante no intevalo consideado. A deivada de uma função é definida como: f '( ) lim É também comum escevemos, temos: f '( ) lim o f f ( ) f ( ) f '( ) df / d. Fazendo + ( + ) f ( ) A deivada da função num ponto epesenta a taa de vaiação da função ao nos afastamos deste ponto. Vamos, a segui, obte a deivada de algumas funções. ) f() + 3 ( ) ( ) + f () ( + ) f Logo: '( ) lim ( ) 3 ) f ( ) f + f ( + ) f ( ) ( + ) ( + + ) + ( + + ) ( + + ) + + E assim, f '() lim o + + S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

13 Um pouco de cálculo 3 3) f () cos f ( + ) f ( ) cos( + ) cos sen + sen ( ) ( ) onde utilizamos cos(a+b) - cos(a-b) - sena senb, com a + / e b /. Desta foma temos: f ' () lim sen + sen ( ) ( ) sen Geometicamente, podemos veifica que a deivada da função f() num deteminado ponto epesenta a tangente do ângulo fomado pela eta tangente à cuva em com o eio das abcissas (). Este fato está ilustado na Fig..4. É fácil veifica quando fazemos tende a, a eta que passa po estes dois pontos confunde-se cada vez mais com a tangente à cuva no ponto. Logo: f ' ( ) lim f() f ( ) f ( ) tg α f() tangente f( ) α Fig..4 Intepetação geomética da deivada. Uma vez visto o significado matemático da deivada, passemos a apesentação de cetas egas que facilitam bastante os cálculos: df ) função constante: f ( ) c d S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

14 4 Um pouco de cálculo f () f ' (ega do tombo) ) função potência: n ( ) n n 3) função soma: f() u() + v() f () u () + v () E.: f() f () ) função poduto: f() u(). v() f () u () v() + u(). v () E.: f() 3 (4+) f () 6 (4+) + 3 (4) 5) função quociente: ( ) u() / v() u' f '() f ( ) v( ) u( ) v' ( ) v( ) 6) funções tigonométicas: f sen f ' cos ( ) ( ) f() cos f () - sen f() tg f () sec 7) função eponencial: f() a f () a lna Todas estas popiedades que acabamos de menciona podem se demonstadas a pati da definição da deivada em temos da azão incemental. Demonstaemos aqui apenas uma delas, a da função poduto f() u() v(), e deiaemos as outas paa o cuso de Cálculo. Neste caso temos: u f ( + ) f () u( + ) v( + ) u( ) v( ) ( + ) v( + ) u( ) v( ) u( + ) v( ) + u( + ) v( ) u ( + ) [v( + ) v( ) ] + v( ) [ u( + ) u( ) ] Tomando o limite paa tendendo a zeo: S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

15 Um pouco de cálculo 5 f '() lim + lim o u v ( ) [ v( + ) v( ) ] + ( ) [ u( + ) u( ) ] de onde obtemos: f '( ) u( ) v' ( ) + v( ) u' ( ) Rega da cadeia: Muitas vezes, duante o uso de deivadas em Física, encontamos a situação em que F () g(), com f(), o que coesponde à chamada função composta, isto é, função de uma outa função. Po eemplo, F() sen ( ), de onde temos g() sin e. Neste caso, devemos usa a ega da cadeia, dada po: df d dg d d d No pesente eemplo F() sen, com g() sin e. dg /d cos e d/d F'() cos( ) Logo, Tomemos um outo eemplo onde F () ( ) 4. Chamando , temos g() 4 de foma que a deivada é: F () 4 3 (4 + 9 ) 4( ) 3 (4 + 9 ).3 Integação Como acabamos de ve, conhecendo-se a função f() é possível calcula sua taa de vaiação f () (deivada). Uma pegunta lógica a se feita neste ponto é: conhecendo-se f () é possível enconta-se f(), ou em outas palavas, eiste a opeação invesa, ou anti-deivada? A esposta é sim e a opeação invesa denominada integação seá discutida a segui de uma foma bastante intuitiva, deiando-se o igo matemático paa o cuso de Cálculo. Vamos considea a função f() mostada na Fig..5 e supo conhecidas as deivadas em todos os pontos (,,,...). Pela definição de taa de vaiação (ou azão incemental) temos: S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

16 6 Um pouco de cálculo f() taa 3 taa taa Fig..5 Função f() usada paa a demonstação 3 da opeação invesa da deivada. f () f ( ) taa tal que f( ) f( ) + taa.( ). Assim, conhecendo-se a taa de vaiação e a função no ponto, temos condições de detemina a função no ponto. Da mesma foma, conhecendo-se a função no ponto e a taa, que é a taa ente e, podemos detemina a função em. Se dividimos o eio em váios intevalos sucessivos nos quais conhecemos a taa de vaiação da função f(), podemos mosta que: f( n ) f( ) + taa.( ) + taa.( ) +... taa n.( n n- ) de foma que podemos enconta a função f() e sabemos as váias taas de vaiação ao longo do eio. Vamos, a segui, toma todos os intevalos com o mesmo tamanho, ou seja:... n n- de modo que: f( n ) f( ) + (taa + taa taa n). Tomando o limite em que tende a zeo, as váias taas de vaiação tansfomam-se nas deivadas, de modo que: S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

17 Um pouco de cálculo 7 f df d ( ) f ( ) + ( ) n todos s's Como fizemos, temos agoa um númeo infinito de intevalos e, consequentemente, infinitos temos na somatóia. Além disto, estamos somando númeos df/d que vaiam continuamente. Neste caso, ao invés de usamos a soma de númeos discetos, intoduzimos a opeação, denominada integação, que epesenta uma soma contínua. A pati desta definição, podemos esceve: f ( n ) f ( ) + n ( df ) onde usamos d como notação no caso em que. Como vemos, esta opeação pemite enconta-se f() a pati de f () e po isso dizemos que a integação é a opeação invesa da difeenciação. Se quisemos, po eemplo, calcula a integal: I d ( ) d m+ ( ) d m+ m + m d d + m + d onde a constante C está epesentando f( ), que deve se conhecido. A ega acima é bastante impotante na integação de polinômios. Alguns eemplos simples são: 3 d + C 3 3 ( + + ) d C 3 5 ( ) d C 8 A integal de uma deteminada função também possui uma intepetação geomética como no caso da deivada. Paa vemos tal C S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

18 8 Um pouco de cálculo intepetação, vamos considea n g () d. Paa cada ponto, multiplicamos o valo da função g() po uma lagua d mostada na Fig..6 (infinitesimalmente pequena) e somamos todos os podutos. Em cada ponto temos a áea de um etângulo infinitesimal de base d e altua g(). Baseados neste fato, podemos intepeta geometicamente a integal de uma função g() n como sendo a áea sob a cuva, isto é, g ( ) d áea sob a função g() ente os pontos e n. g() g() d n Fig..6 - Intepetação geomética da integal. Podemos veifica este fato calculando a integal de g() 4 ente e, e compaando o valo obtido com a áea da função neste intevalo. Temos: 4 d 4 d 4. ( ) Nesta última passagem intoduzimos os limites de integação, substituindo a constante de integação C. a b g ()d F( ) b a F(b) F(a) Calculando a áea do tiângulo sombeado da Fig..7 obtemos: áea ½.4., que coincide com o esultado obtido po integação. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

19 Um pouco de cálculo 9 4 g() 3 Fig..7 Áea da função g() 4 ente e. Algumas popiedades impotantes das integais são: () c g() d c g() d onde c é uma constante () [g () + g ()] g () d + g () d (3) sen d d d (-cos ) d - cos + C (4) cos d d d (sen) d sen + C Intepetação cinemática das deivadas e integais Na cinemática encontamos váias aplicações do cálculo de deivadas e integais. Analisando o movimento de um copo, estas idéias fluem espontaneamente dos agumentos físicos. Vamos considea um copo deslocando-se numa tajetóia S, confome mosta a figua abaio. Chamamos de i e f os pontos inicial e final do movimento. O conhecimento específico da tajetóia não é suficiente paa pedizemos a velocidade do copo paa cada posição. É necessáio o conhecimento das posições sucessivas S(t) com o decoe do tempo. Suponha que a tajetóia do copo seja dividida em pedaços s, como mosta a Fig..8. Um s paticula liga o ponto S j ao ponto S j+ e o intevalo de tempo decoido paa que o copo eecute este deslocamento é t. A velocidade média neste intevalo de tempo é v s / t. Esta velocidade seá tão mais póima da velocidade eal S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

20 Um pouco de cálculo (instantânea) do copo na posição S j quanto mais póimos foem os pontos j e j +. Isto ocoe poque neste caso s confunde-se cada vez mais com a tajetóia eal do copo. No limite em que t (e consequentemente, s ) tende a zeo, temos a definição da velocidade instantânea: s ds v lim i t t dt que é deivada da posição em elação ao tempo. Suponha agoa que queemos enconta a distância total pecoida pelo copo. Isto pode se feito dividindose a tajetóia em pequenos segmentos S j e ealizando a soma S j. s s j+ f i s j S j S j S j+ Fig..8 - Copo deslocando-se numa tajetóia S. É óbvio que quanto menoes foem os segmentos S j, mais a soma acima se apoimaá da distância eal pecoida pelo copo, poque, novamente, quanto menoes foem os S j, melho eles se encaiam na tajetóia. No limite em que S j eles se confundem completamente com a tajetóia e assim: distância pecoida lim Sj S j É usual no caso em que S j definimos S ds e substituimos a somatóia pela integal: distância pecoida j ds S S i S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

21 Um pouco de cálculo Eecícios Uma sala tem dimensões m 3. Uma mosca pate de um de seus cantos e voa paa o canto diametalmente oposto. Qual é o módulo do deslocamento? Podeia sua tajetóia se meno do que este deslocamento? Escolha um sistema de coodenadas convenientes e esceva este deslocamento na foma vetoial. Considee os vetoes a a î + a ĵ+ a zkˆ e b bî + b ĵ+ bzkˆ. Moste que a.b a b + a b + a b e que a b ( a b a b ) î ( a b a b ) ĵ + ( a b a b ) kˆ +. z z 3 Podemos combina dois vetoes de módulos difeentes e te esultante nula? E no caso de 3 vetoes? 4 Considee um copo em movimento cujo veto posição é dado (em cm) po 3cosωt î + 4sen ωt ĵ. Usando pocedimento semelhante ao utilizado no teto paa o movimento cicula, a) moste num gáfico em escala o veto num deteminado instante t; b) após um intevalo de tempo t pequeno, moste no mesmo gáfico o novo veto ; c) calcule o deslocamento s (t + t) (t) sofido pelo copo no intevalo t; d) calcule v s/ t e veifique sua oientação paa ωt, π/, π e 3π/; e) calcule. v e discuta o esultado; f) calcule v e discuta o esultado. 5 Considee os vetoes a î + 3ĵ + 4kˆ e b î ĵ + 3kˆ. a) detemine: a.b, a + b, a b e a b. b) qual é a componente de a paalela a b? c) qual é a componente de a pependicula a b? 6 Considee o veto a do poblema anteio. z a) faça um gáfico em escala mostando o veto e os ângulos θ e φ, definidos na Fig..9. b) calcule o módulo do veto e os valoes de θ e φ. c) calcule a componente de a paalela ao veso ê ( î + ĵ + )/ 3 d) calcule a componente pependicula a este veto. z kˆ. z z S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

22 Um pouco de cálculo Fig..8 7 Faça a adição e subtação geomética dos seguintes vetoes: 3 î ĵ e b 3î + ĵ. a 8 Faça os podutos escala e vetoial dos vetoes: a î + ĵ + 3kˆ e b î 4ĵ + kˆ. 9 Enconte a pojeção do veto a î + ĵ + 3kˆ na dieção paalela ao veso ê ( î ĵ + kˆ )/ 3. Faça o mesmo paa a pojeção pependicula. Moste que o poduto vetoial v é um veto constante quando o movimento é cicula. Moste que v. paa o movimento cicula. O que isto significa? Calcule a deivada das seguintes funções: a) f() 3 + b) f() sen/ c) f() e (+ + 3 ) d) f() ( + )/( 3 + 3) 3 Calcule a deivada das funções acima nos pontos: a) b) π c) d) z θ z φ a P S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

23 Um pouco de cálculo 3 4 Pocue num handbook de matemática: a) a deivada de f() ln b) a integal de f() / 5 Detemina a deivada das seguintes funções: a) 4 5 b) c) sen + cos d) + e) sen f) / g) /( + ) h) e i) cotg j) k) / 6 Calcule as deivadas das funções: a) f() tg b) f() e a (no ponto ) c) f() sen (no ponto π) d) f() n + cos e) f() sen (cos) f) f() e sen (no ponto ) 7 Calcule d. Sugestão: Faça tgθ + + tg θ + sec θ. Po outo lado, d/dθ sec θ d sec θ dθ. Como tgθ, os limites de integação ficam: quando θ e quando θ π 4. 8 Calcule as seguintes integais indefinidas: a) I 3 d 3 b) I ( 7 4 ) + d S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas

24 4 Um pouco de cálculo + c) I ( 5 8 ) d 9 Calcule as integais definidas: a) I π ( 3 sen + cos ) d b) I (5 + ) d c) I e d d) I π 4 sen cos d - Considee a paábola +-3. a) Usando o conceito de deivada, enconte a posição que coesponde ao etemo (máimo ou mínimo); b) Substituta o valo de na equação da paábola paa enconta o valo de ; c) Complete quadados paa enconta os pontos do vétice, e ; d) Enconte os pontos paa os quais a paábola cuza o eio ; e) Faça um esboço (gáfico com poucos detalhes) da paábola; f) Usando integação, enconte a áea sob a paábola compeendida ente os pontos e. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas