CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 1 VETORES

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1 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI 1 PÍTULO 1 VETORES cedita-se que as pimeias noções intuitivas sobe opeações com segmentos tenham sugido com istóteles ( ). Muito tempo depois, na tentativa da epesentação geomética dos númeos complexos Wessel ( ), gand ( ) e Gauss ( ), popõem a epesentação do veto como utilizada até hoje. idéia de epesentá-los po um pa odenado (a,b) de númeos eais, possivelmente deva-se a Hamilton ( ). No entanto, todos os méitos do desenvolvimento do álculo Vetoial são ceditados a Gibbs ( ). Mas, foi somente em 1901 que Wilson ( ), o qual foi aluno de pós-gaduação de Gibbs, publicou o pimeio livo sobe análise vetoial, com base em notas que Gibbs impimia e distibuía os seus alunos. Já a Geometia nalítica foi desenvolvida po René Descates ( ) e Piee de Femat ( ), os quais tansfomaam os cálculos baseados em figuas geométicas paa esolução de equações, usados pelos gegos antigos, em equações que epesentam as elações geométicas. 1. Gandeza Escala e Gandeza Vetoial Na natueza encontamos dois tipos de gandezas (físicas): as gandezas escalaes e as gandezas vetoiais. Paa se opea com as gandezas escalaes são utilizadas as mesmas opeações definidas no conjunto dos númeos eais. Paa opea com gandezas vetoiais são necessáias outas opeações e outas definições também chamadas de álculo Vetoial. Gandeza Escala: É toda gandeza que paa esta bem definida é necessáio caacteiza seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. Exemplos de gandezas escalaes: 1) Massa: Se estamos inteessados em dize qual é a massa de um deteminado copo, basta dize, po exemplo: um copo com massa de 75 kg, onde, 75 é o módulo da gandeza e kg (quilogama) é a unidade de medida.

2 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu ) Tempeatua: Paa você infoma sobe a tempeatua de um deteminado ambiente, basta dize, po exemplo: a tempeatua do ambiente é de 36 o, onde, 36 é o módulo da gandeza e o (gau elsius) a unidade de medida. Gandeza Vetoial: É toda gandeza que paa esta bem definida é necessáio caacteiza seu módulo e uma unidade de medida, dieção e sentido. Exemplos de gandezas vetoiais: 1) Foça: Quando uma foça é aplicada em um copo, ela é aplicada com ceta intensidade (seu módulo), numa deteminada dieção e num deteminado sentido. Po exemplo: uma foça de intensidade 0 N (Newtons), na dieção hoizontal com sentido paa dieita. 0N ) Velocidade: velocidade indica movimento de um copo, assim, se um copo possui uma velocidade difeente de zeo, este copo está se deslocando com ceta velocidade, numa deteminada dieção e num deteminado sentido. Po exemplo: uma velocidade de 1m/s (metos po segundo), numa dieção vetical com sentido paa cima. 1 m/s. Veto Definição: Um segmento oientado é um pa odenado (,) de pontos do espaço e epesentado pela "seta" com abaixo. O ponto (início da seta) é a oigem e (a ponta da seta) é a extemidade. Um segmento oientado do tipo (,) é chamado segmento oientado nulo. Obseve que, se, então (,) é difeente de (,). No caso do segmento oientado (,), passa se a oigem e a extemidade. Dado um segmento oientado (,), vamos defini os seus tês elementos básicos: módulo, dieção e sentido.

3 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 3 (a) módulo: epesenta o tamanho ou compimento do segmento oientado (,) que é definido como sendo do tamanho do segmento geomético. (b) dieção: é a eta supote do segmento oientado (,), caso, ou seja, se polongamos o segmento oientado além da sua oigem e da sua extemidade atavés de uma eta tacejada, a eta obtida indica sua dieção. O veto nulo não possui dieção e sentido. (c) sentido: o sentido do segmento oientado (,) é indicado pela ponta da seta o epesenta. :módulo ponta da seta: sentido de (,) eta supote: dieção de (,) Definição: (a) Os segmentos oientados (,) e (,D) são de mesmo compimento se os segmentos geométicos e D têm compimentos iguais. (b) Os segmentos oientados (,) e (,D), não nulos, são paalelos se eles têm a mesma dieção, ou seja, se as etas supotes de ambos são coincidentes ou paalelas. onsidee os vetoes abaixo e note que, confome as definições acima temos: F E D H G - Os segmentos oientados (,) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma dieção (são paalelos) e o mesmo sentido; - Os segmentos oientados (,) e (G,H) têm módulos difeentes, dieções difeentes (não são paalelos) e sentidos difeentes;

4 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 4 - Os segmentos oientados (E,F) e (D,) tem módulos difeentes, mesma dieção (são paalelos) e sentidos opostos. Definição: Os segmentos oientados (,) e (,D) são equipolentes se foem de mesmo módulo, mesma dieção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência ente (,) e (,D) po: (,)~(,D). OS: Decoe da definição que: (a) se ambos os segmentos foem nulos então eles são equipolentes; (b) equipolente a um segmento oientado nulo, somente outo segmento oientado nulo. Poposição: elação de equipolência é uma elação de equivalência, ou seja, quaisque que sejam os segmentos oientados (,), (,D) e (E,F): (a) (,)~(,) (b) (,)~(,D) (,D)~(,) (Popiedade Reflexiva) (Popiedade Simética) (c) (,)~(,D) e (,D)~(E,F) (,)~(E,F) (Popiedade Tansitiva) Poposição: onsidee os segmentos oientados (,) e (,D). Se (,)~(,D) então (,)~(,D). D Definição: Dado o segmento oientado (,), a classe de equipolência de (,) é o conjunto de todos os segmentos oientados equipolentes a (,). O segmento oientado (,) é um epesentante da classe. OS: Decoe da definição de classe de equipolência o que segue: (a) Todos os segmentos oientados petencentes a uma classe de equipolência são equipolentes ente si. O pópio (,) é um deles, pela popiedade eflexiva; (b) Se (,D) petence à classe de equipolência de (,), então (,) petence à classe de equipolência de (,D), devido a popiedade simética. Na vedade, essa duas classes coincidem, pois quem fo equipolente a (,D) seá equipolente a (,), e vice-vesa, pela popiedade tansitiva;

5 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 5 (c) Qualque segmento petencente a uma classe de equipolência pode se o seu epesentante. Definição: Um veto é uma classe de equipolência de segmentos oientados. Se (,) é um segmento oientado, o veto que tem (,) como epesentante seá indicado po ou simplesmente po uma leta minúscula, po exemplo v. Logo, = v. OS: Deve esta clao que, se os segmentos oientados (,) e (,D) são equipolentes, então os vetoes e D são iguais. uidado paa não usa a expessão "vetoes equipolentes", pois a equipolência é uma elação ente segmentos oientados, não ente vetoes; Potanto, o veto = v, com um significado geomético, nada mais é que um objeto matemático epesentado po um segmento oientado. a ssim, o veto v, tem o ponto como oigem e é sua extemidade. Outa notação usada paa denota o veto v é (sempe a oigem pimeio e depois a extemidade), assim escevemos v =. O veto epesentado pelo segmento oientado (,) seá chamado de veto nulo e denotado po 0. Paa definimos bem o veto é necessáio caacteiza seu módulo, dieção e sentido. omo estamos epesentando o veto po um segmento oientado, essas noções já foam intoduzidas. Então: Módulo: é o tamanho do veto, ou seja, o compimento do segmento oientado (,), e seá denotado po v =. Dieção: é a eta supote do segmento oientado (,), caso, ou seja, se polongamos o segmento oientado além da sua oigem e da sua extemidade atavés de uma eta tacejada, a eta obtida indica sua dieção. O veto nulo não possui dieção e sentido. v eta supote que indica a dieção do veto

6 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 6 Sentido: é indicado pela ponta da seta do segmento oientado. v sentido do veto Uma paticulaidade ente os vetoes, e muito impotante, é que vetoes paalelos têm a mesma dieção, assim como os segmentos oientados que os epesentam. Na figua abaixo, os vetoes têm a mesma dieção (são paalelos), têm módulos (tamanhos) difeentes, a e c têm o mesmo sentido e b tem sentido oposto dos vetoes a e c. a b c Vetoes que têm o mesmo módulo, a mesma dieção (paalelos) e o mesmo sentido são vetoes iguais. Na figua abaixo os vetoes são iguais. a b c OS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de veto (não necessaiamente geomética) que envolve uma gama bastante vaiada de objetos matemáticos como: matizes, conjuntos, funções, soluções de equações difeenciais, etc. Inicialmente, tabalhaemos apenas com o veto como definido acima. 3 Opeações com vetoes 3.1 dição: Paa os vetoes u e v, sua soma u + v, é deteminada da seguinte foma: dota um ponto qualque e, com oigem nele, taça o segmento oientado (,) que epesenta o veto u= oientado (,) que epesenta o veto. Utiliza a extemidade paa taça o segmento v =. O veto epesentado pelo segmento

7 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu oientado (,) é, po definição, o veto soma de u com v, isto é, 7 u + v =, ou seja, + =. u u v v + u = v u v u + v = Note que, a odem em que se somam os vetoes não altea o esultado, pois: Este método paa soma dois vetoes é conhecido como "método da poligonal", o qual pode se aplicado paa a soma de mais de dois vetoes. Veja o exemplo a segui. Exemplo (1): onsidee os vetoes v+ w+ u. u,v e w dados abaixo. Detemina u+ v+ w e u v w u + v + w = D w D u v w u v D v + w + u = D OS: Uma vaiação do método da poligonal e o que chamamos de "método do paalelogamo" (muito usado na soma de dois vetoes). O método do paalelogamo consiste em: dados dois vetoes u e v, adotamos um ponto O qualque, tanspotamos as oigens dos dois vetoes paa este ponto O. Pela extemidade do veto u taçamos uma eta paalela ao veto v e, pela extemidade do veto v taçamos uma eta paalela ao veto u. Estas duas etas se inteceptam num ponto O'. figua obtida é um paalelogamo, cuja diagonal deteminada pelos pontos OO' é o veto soma u + v = OO'. u v O' u u + v = OO' O v

8 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 8 Popiedades da dição. 1) omutativa: u+ v = v+ u u u + v v v + u u O' O v ) ssociativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w v u u + v v + w w u+ (v + w) = (u + v) + w 3) Elemento Neuto: u, 0(o veto nulo) tal que u+ 0 = 0+ u= u. 4) Elemento Oposto (ou simético): u, com u ), com u = u= tal que u+ ( u) = ( u) + u= 0., u (o veto oposto do veto 3. Subtação: onsidee os vetoes u e v. O veto difeença ente u e v, indicado po u v, é a soma do veto u com o oposto do veto v, ou seja, u v = u+ ( v ). uidado! Não vale a popiedade comutativa, caso u v isto é, u v v u. Note que, u v = (v u). Esta popiedade é chamada de anti-comutativa. onsideando que sempe se intepeta a subtação u v = u+ ( v), neste caso as popiedades são as mesmas da adição. v u v u + v u v u v u Exemplo (): onsidee os vetoes u e v, como abaixo, detemina u v. u u v = v v v u

9 OS: Dados dois vetoes ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu usando o método do paalelogamo. u e v, vamos detemina adição u + v e a subtação 9 u v, u v v v u v u + v u u v ssim, dados dois vetoes quaisque, não paalelos, eles deteminam um paalelogamo onde uma diagonal é u + v e a outa u v. Isso é muito útil na esolução de poblemas. 3.3 Multiplicação po Escala: Sejam qualque veto v e α R. Então a multiplicação do númeo eal α pelo veto v, denotado po α v, ou simplesmente po α v, é um veto que satisfaz: a) α v = 0 α = 0 ou v = 0 b) Se α 0 e v 0, o veto αv caacteiza-se po: α v é paalelo a v ; α ve v são de mesmo sentido se α > 0, e de sentidos contáios se α < 0; α v = α v. Exemplo (3): Seja v 1 um veto qualque. Note que os vetoes v, v e v, epesentados abaixo, são todos paalelos, ou seja, têm a mesma dieção. v v v 1 v Popiedades da Multiplicação po escala: 1) β( αv) = ( βα)v, α Re β R 3) ( α±β)v = αv±βv, α Re β R ) α (v± u) = αv± αu, α R 4) 1 v = v

10 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu Tanslação de um ponto po um veto: Dados um ponto P e um veto u, o ponto Q tal que o segmento oientado (P,Q) é epesentante de u é chamado tanslação de P po u e indicado po P + u (figua abaixo). Em símbolos: P + u = Q u = PQ. u Q = P + u P Decoe da definição que, quaisque que sejam os pontos P e Q, P + PQ = Q. Intuitivamente, podemos entende P + u como o esultado do deslocamento de um ponto mateial, inicialmente na oigem do veto, até sua extemidade. Usaemos a notação P u paa indica a tanslação do ponto P pelo oposto de u, ou seja, P u= P + ( u). Popiedades: Quaisque que sejam os pontos e e os vetoes 1) (+ u) + v = + (u + v) ) + u = + v u = v (lei do cancelamento de pontos) 3) + u= + u = (lei do cancelamento de vetoes) 4) ( u) + u= u e v, valem: Definição: O veso de um veto não nulo v, denotado po v o, é um veto unitáio, ou seja, v o = 1, como mesma dieção e sentido do veto v, definido po v 1 v o = = v. v v Po exemplo: se o veto v tem módulo v = 3 então seus vesoes são, espectivamente, u v o e o veto u tem módulo 1 = v e u o = u. ssim: 3 v u = 1, u o v o

11 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 11 4 Ângulo ente dois vetoes O ângulo ente dois vetoes u e v, não nulos, denotado po θ = ang (u,v) = Â, é o ângulo ente os segmentos oientados que epesentam os vetoes, tomado no intevalo o 0 θ 180 mesmo ponto. u v Da geometia plana sabemos que w o, quando as oigens dos vetoes são tanspotadas paa um u θ v = u + v uvcosα, chamada de Lei dos cossenos, onde u, v e w são os lados de um tiângulo qualque e α é um ângulo inteno ao tiângulo, oposto ao lado w. u α v w Vetoialmente w = u+ v. u u α θ v Note que o ângulo ente os vetoes w u e v é θ e não o α. Temos que o α + θ =180 e cos α = cosθ. Logo, de w = u + v uvcosα vem que:. Quando o ângulo ente dois vetoes é 90 0, dizemos w = u+ v = u + v + uvcosθ que eles são otogonais. Exemplo (4): Dois vetoes a e b, onde a = e b = 6 fomam ente si um ângulo de 10 o. Detemine o módulo da soma de Solução: a 10 o plicando a lei dos co-senos temos: a 60 o a b + a b + e da difeença de b a b b a.

12 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 1 o 1 a + b = a + b + ab cos(10 ) = = 8 a+ b = 8 = 7 o 1 b a = a + b + ab cos(60 ) = = 5 b a = 5 = 13 Exemplo (5): Seja um tiângulo. Moste, vetoialmente, que o segmento que une os pontos médios M e N de dois lados do tiângulo é paalelo ao teceio lado e tem metade do compimento deste. O segmento MN é chamado de base média do tiângulo. Solução: asta mosta que: 1 MN =. opeação poduto po escala conseva a dieção, logo, os vetoes MN e são paalelos. M N omo M é ponto médio de, então = M e N sendo ponto médio de, então = N. Pela figua acima temos: M+ MN+ N = ( I). Em (I) + = multiplicando a pimeia equação po e na segunda equação substituindo e = N = M M+ MN+ N =, obtém-se:. Subtaindo a segunda da pimeia M+ N = equação: 1 MN = MN =. Exemplo (6): Tês foças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P podem equiliba-se? Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de α=10 o. plicando a lei dos cossenos paa duas foças de mesmo módulo F, cujo ângulo ente elas é 10 o, a esultante teá a dieção da bissetiz do ângulo ente elas e módulo igual a F, pois: F + F = F + F + FF cos(10 ) = F o + F 1 = F F = F F + F = F Potanto, a esultante é zeo e as tês foças estão em equilíbio. F α F F α α F

13 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 13 OS: Vetoes coplanaes são vetoes que estão no mesmo plano, ou seja, existe um plano que os contém. Figua (a) ilusta a situações em que os vetoes são coplanaes e a Figua (b) quando eles não são coplanaes. u v w u v w Figua (a): Vetoes coplanaes. Figua (b): Vetoes não coplanaes. Opeando-se geometicamente com vetoes, obtém-se como esultado que, vetoes coplanaes quando opeados esulta em veto no mesmo plano (são coplanaes). Exemplo (7): Pova que as diagonais de um paalelogamo se cotam ao meio. Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de e D, espectivamente, como na figua abaixo. asta pova que N M M= N. D Temos que: = M e D = ND. Po constução temos: D = N+ ND e D+ =. Somando as equações vem que: D = + D = M+ ND D = D ( N ND) = M ND + + N = M N = M N = M Execícios Popostos: 1) Sejam os vetoes a, b e c, de módulos 3, 5 e 7, espectivamente, e coplanaes. Sabendo que o ângulo ente a e b é 30 o e ente c e b é 30 o, detemine R = b+ c a b. Resp: R = ) Na figua abaixo D = D. Vetoialmente, expimi D em função de e. D

14 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 14 Resp: D = 3 3) Demonsta, vetoialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados não paalelos de um tapézio é paalelo às bases e igual a sua semi-soma. 4) Demonsta que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um tapézio é paalelo às bases e igual à semi-difeença das efeidas bases. 5) s foças f1,f,..., f5 dispostas como mosta a figua, deteminam um hexágono egula. Detemine o módulo da esultante dessas foças em função do módulo da f 1. 6) Sejam os vetoes a e b Resp: F R = 6f1, de módulos 3 e 1, e otogonais ente si. Sendo m = a+ b, detemine o módulo do veto R = m + b. Resp: R = 7 7) Sabendo que u+ v = 4 e u v =, detemine R = u + v. Resp: R = 10 8) Detemine em função de u, sabendo que u= + u. Resp: = u 9) Detemine a elação ente u e v, sabendo que, paa um dado ponto, temos: ( + u) + v =. Resp: u = v 10) Dize se é falsa ou vedadeia cada uma das afimações: a) Se u = v, então u = v b) Se u = v, então u = v c) Se u// v, então u = v d) Se u = v, então u// v e) Se w = u+ v, então w = u + v f 1 f 5 f f 3 f 4 f) w = u + v, então u,vew são paalelos g) Se = D, então D (vétices nesta odem) é um paalelogamo h) 5v = 5v = 5 v i) Os vetoes 3v e 4v são paalelos e de mesmo sentido j) Se u// v, u = e v = 4, então v = u ou v = u k) Se v v = 3, o veso de 10v é 3 Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V

15 ÁLULO VETORIL E GEOMETRI NLÍTI Luiz Fancisco da uz Depatamento de Matemática Unesp/auu 15 OMENTÁRIOS IMPORTNTES: Não existe inteseção de vetoes. Os vetoes não são constituídos de pontos como uma eta, apenas são epesentados pelos segmentos oientados, paa caacteiza uma gandeza vetoial que deve te seu módulo, dieção e sentido bem definidos. omo não há inteseção ente vetoes, não é conveniente chamá-los de vetoes pependiculaes, ou seja, quando o ângulo ente dois vetoes fo de 90 o é mais conveniente chamá-los de otogonais. s opeações elementaes com vetoes são apenas tês: adição, subtação e poduto po escala. Não existe multiplicação e nem divisão ente vetoes. Logo, esceve, po exemplo: u v ou, é um eo comum. No entanto, podemos u calcula u ou v, que ambos são númeos eais, com u 0. u Todas as opeações elementaes obedecem à popiedade do fechamento, ou seja, qualque opeação elementa ealizada ente vetoes o esultado seá um veto. Em paticula, obseve que v v = 0 (0 é o veto nulo) e não v v = 0 (0 é o escala zeo). oeto seia v v = 0.