PROVA COMENTADA. Figura 1 Diagrama de corpo livre: sistema de um grau de liberdade (1gdl) F F F P 0. k c i t

Transcrição

1 ? Equilíbio da estutua PROVA COMENTADA a) Diagama de copo live (DCL): Paa monta o diagama de copo live deve-se inclui todas as foças atuando no bloco de massa m. Obseve que o bloco pode movimenta-se somente na dieção x. O equilíbio dinâmico é obtido utilizando o Pincípio de d Alembet, ao adiciona às foças extenas uma foça fictícia F, sendo: F i t i mx a foça de inécia, que é popocional à aceleação x e com sentido contáio ao do movimento; W mg é a foça peso; N é a foça nomal no plano; F k kx é a foça estitutiva caacteizada pela sua elação foça-deslocamento, em que k é a t igidez da mola e epesenta as popiedades elásticas do sistema mecânico; Fc cxt é a foça de amotecimento, suposto como sendo viscoso, ou seja, popocional à velocidade x e epesenta o mecanismo de dissipação de enegia; t P t é a foça aplicada. t Figua 1 Diagama de copo live: sistema de um gau de libedade (1gdl) b) Equilíbio de foças na dieção do movimento (x): Oganizando a equação (1), k c i t (1) F F F P 0 Fi Fc Fk Pt (2) Substituindo na equação (2) os valoes de cada foça tem-se a equação de equilíbio dinâmico do sistema mecânico de 1gdl, equação (). A qual é uma equação difeencial linea de segunda

2 odem e, como a mola e amotecedo possuem compotamento físico-linea, a equação possui coeficientes constantes. mxt cxt kxt Pt () Paa utiliza o Pincípio dos Tabalhos Vituais (PTV) deve-se lemba que este pincípio estabelece se nulo o tabalho total quando a um sistema em equilíbio é imposto um deslocamento qualque, epeitando as condições de contono (vínculos) do sistema. Assim, com o DLC da Figua 1 impõem-se um deslocamento na dieção positiva do eixo x. Logo, F F F P 0 (4) k c i t Ao elimina o deslocamento da equação (4) te-se-á novamente, a equação ().

3 ? Dinâmica x estática PROVA COMENTADA A pimeia difeença está elacionada com a pópia natueza do poblema dinâmico, que é vaiável no tempo. Devido às foças e epostas (deslocamentos, velocidades e aceleações) seem vaiáveis no tempo, fica clao que o poblema não possui apenas uma esposta, como ocoe na análise estática. Paa um poblema dinâmico não há apenas uma esposta, mas uma esposta paa cada instante de tempo. A segunda, poém, mais fundamental distinção, ente análise estática e dinâmica, é que no equilíbio dinâmico são consideadas as foças ineciais. Assim, as foças ineciais que esistem à aceleação da estutua são a caacteística que mais se destaca em um poblema de análise dinâmica. Poém, se o movimento da estutua fo muito lento, as foças inécias mobilizadas seão quantidades muito pequenas e, assim, a análise paa qualque instante de tempo desejado pode se ealizada com pocedimentos da análise estática, mesmo sendo as foças e esposta vaiantes no tempo.

4 ? Vigas biapoiadas - Sistema equivalente: A constante de mola k é obtida com a elação ente o deslocamento, no cento do vão devido a uma caga F qualque, com o sistema equivalente da Figua 2. I FL 48EI (5) F F k k (6) 0,5 0, , 2 0,1 0, 00155m (7) 48EI k N L m (8) Figua 2 Sistema equivalente. A foça tansmitida à fundação (apoios) seá soma da foça na mola com a foça no amotecedo. - Fequência cicula natual de vibação ( n ): k ,54 ad n n fn 56, 27Hz (9) m 1000 s 2

5 - Relação ente fequências: PROVA COMENTADA 250 0,889 (10) 5,54 n - Fato de tansmissibilidade: epesenta a elação ente a amplitude da foça tansmitida à base e a amplitude da foça aplicada. T ,688 (11) - Foça dinâmica (foça total) tansmitida aos apoios: f dinâmica T F (12) 0 Em que, F0 2000N é a amplitude da foça hamônica execida pelo moto, logo: fdinâmica 775,97 N (1) Este valo elevado é devido à elação ente a fequência da excitação (moto) e a fequência da viga. Quando as fequências são muito póximas ocoe um efeito de amplificação dinâmica. Paa fica mais clao, obseve a Figua que exibe o valo da foça dinâmica paa divesas elações ente fequência de excitação e fequência da estutua, paa o execício em questão Fd ,5 1 1,5 2 2,5 Figua Relação ente fequências e foça dinâmica tansmitida à base.

6 A influência do fato de amotecimento é mostada na Figua 4. Em que, veifica-se que a foça tansmitida à base apenas seá meno que amplitude da foça aplicada, quando 2. T 64,00 2,00 16,00 8,00 10% 5% 1% = 1,4142 4,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Figua 4 Relação ente amotecimento e fato de tansmissibilidade.

7 ? Análise dinâmica - Sistema equivalente: é fomado pela igidez dos pilaes e, como as vigas e lajes fomam um plano ígido, se tem paa a igidez de cada anda uma associação de molas em paalelo, com os pilaes consideados como baas bi-engastadas. Assim, em cada anda a igidez é calculada como a segui: k k 12EI h N m , 4 10 (14) 12EI h N m , (15) k 12EI h N m 8 2 1,15 10 (16) Figua 5 Sistema equivalente paa o pótico plano. Em elação aos gaus de libedade, considea-se somente o deslocamento hoizontal. Dessa foma, o pótico apesenta apenas tês gaus de libedade (gdl), N =. - Matiz de igidez: fomada pelos coeficientes de igidez de cada anda. k k k 0 6, 8 2, 42 0 K k k k k , 42,57 1,15 0 k k 0 1,15 1,15 (17) - Matiz de massa: seá utilizada a matiz de massa disceta.

8 M PROVA COMENTADA m m m (18) - Equação de fequência do sistema: dada po, K 2 M K M 0 0 (19) Expandindo o deteminante da equação (19) obtém-se uma equação algébica de odem igual ao númeo de gaus de libedade da estutua (polinômio caacteístico). As aízes deste polinômio, chamadas de autovaloes, fonecem as N fequências ciculaes. O polinômio caacteístico é apesentado na equação (22), e suas aízes podem se calculadas pelo Método de Tataglia , 2710, , (20) n j Com o cálculo das aízes do polinômio 1, 2, obtêm-se as fequências de vibação (21) com 1 2 O poblema também pode se esolvido numeicamente com auxílio de um softwae 1, e assim, o poblema de autovaloes (fequências ciculaes de vibação natual) e autovetoes (modos de vibação) é solucionado de maneia mais fácil. Dessa foma, a esposta paa o poblema é obtida. A equação (22) apesenta a matiz modal, em que cada coluna epesenta um autoveto, que é o modo de vibação natual. Como o pótico possui tês gaus de libedade, o mesmo possui tês modos de vibação natual. Paa cada modo há uma fequência natual de vibação. (21) -0,0026 0,0044-0,0086 Auto veto -0,0065 0,0058 0,0049-0,0101-0,0097-0,0019 0, Autovalo 10 0, ,2224 (22) (2) 1 Paa esta etapa ecomenda-se o uso de uma calculadoa pogamável ou softwae, como po exemplo, o MatLab.

9 Logo, as fequências de vibação são obtidas pela aiz quadada de cada um dos coeficientes da matiz mostada na equação (2), e o esultado é apesentado na equação (24). A meno das fequências 1 90,28 ad s é chamada de fequência cicula fundamental de vibação e as demais são chamadas de hamônicos supeioes. 2, n 1 90, ,7 ad s 286, 75 (24) A Figua 6 mosta uma epesentação esquemática dos modos de vibação. Na mesma, os modos de vibação foam nomalizados em elação ao gau de libedade do topo do pótico. Figua 6 Modos de vibação do pótico plano.