4 Modelagem Analítica

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1 4 Modelagem Analítica Neste capítulo apesenta-se uma metodologia simples paa obte as tensões atuantes no defeito e no epao paa uma deteminada pessão intena, e também detemina as pessões que ocasionaam a uptua e o escoamento em cada componente do conjunto tubo-epao. A aplicação do modelo desenvolvido pemite dimensiona apopiadamente a espessua do epao. 4.1 Intodução A pedição das tensões que esultam da pessão intena tem gande impotância quando se que devolve, a tavés de um epao, a integidade estutual num duto com defeito. Na maioia das equações que se tem paa dutos com defeito só se pode obte a máxima pessão de opeação, as quais podem se insuficientes paa detemina a qualidade do epao. As equações são desenvolvidas paa cada uma das egiões de compotamento apesentadas no capítulo 3 (figua 3.15, ente outas). Os esultados globais são conseguidos a pati da adição dos obtidos na egião anteio, conseguindo assim equações paa tabalha no egime plástico até a uptua. Devido à utilização de um modelo de plastificação com encuamento linea paa defini os mateiais utilizados,

2 89 tem-se paa cada defomação um deteminado valo de tensão em todo o compotamento do mateial, alcançado-se o ponto de uptua quando é atingida a tensão à tação do duto. As equações foam desenvolvidas consideando um modelo de epao simplificado, isto é, com uma só camada de aço cuja espessua é equivalente à espessua total de epao. Devido à complexidade das equações, foi desenvolvido um pogama numéico paa sevi como feamenta paa auxílio no cálculo das tensões e no pojeto do epao. 4. Pincípios Básicos Nesta modelagem são utilizadas equações da elasticidade paa cilindos de paede espessa, paa assim obte equações que descevem o compotamento elástico do duto com epao, as quais também são utilizadas no egime plástico devido ao modelo de encuamento linea usado, cuja eficácia vai se cooboada no capítulo 6. As equações utilizadas são: Tensão cicunfeencial num duto de paede espessa [1]: t t R R R R R R P. R. 1 P R 1 (4.1) P 1 R 1 t P 0 R Vaiação do aio exteno causada pela ação de pessões intena e extena [6]:

3 90 R R 1 R R 1 R.. P1. P. E R R1 R R 1 (4.) P P 1 Pessão de intefeência [1] R R 1 R R R Po 1 R R 1 1 R4 R E1 R R1 E R4 R3 (4.3) R,R 3 R 4 R R 1 Paa se pode aplica estas equações no cálculo dos epaos é necessáio uma pimeia apoximação: Pimeia Apoximação Apoxima-se a seção cicula a uma seção eta que está fomada po dois mateiais distintos, e se enconta o módulo de elasticidade paa o conjunto. a ó E 1 t 1 ó E t Do equilíbio de foças se obtem: F. t. a. E. t. a F. t. a. E. t. a F.( t1 t ). a. E.( t1 t ). a F F F E. t. a. E. t. a. E.( t t ). a E. t E. t E t t (4.4)

4 91 O mateial epesenta o adesivo na egião do defeito, e o mateial 1 epesenta a soma das camadas metálicas. A mesma apoximação é feita paa acha o coeficiente de Poisson do conjunto, poém tem-se: E m E. e E. t.(1 C) c t.(1 C) e (4.5). e c. t.(1 C) m (4.6) t.(1 C) e e Nas subseqüentes apoximações se utilizam as equações 4.1, 4. e 4.3 Segunda Apoximação No início os dois cilindos não tem intefeência. Paa cada incemento de P 1 ocoe um incemento de R. Logo, este incemento gea uma pessão de intefeência Po Em Po Ed P 1 =0 P 1 R=0 R Então da equação 4. paa um duto com pessão intena tem-se: R R 1 RR.. P1. Ed R R1

5 9 Substituindo R na equação 4.3, enconta-se: R R 1.. P1. Ed R R1 R Po 1 R R 1 1 R4 R 3.. d m Ed R R1 Em R4 R3 (4.7) A equação 4.1 pode se eescita paa cilindos de paede fina sem pejuízo da exatidão se a elação R1 R R fo maio que 0. Logo tem-se: t t t t R. P P 1 o t (4.8) Usando o valo de Po (equação 4.7) na equação acima tem-se que: 1 R 1.. P1. R Ed R R1 t. P 1 t 1 R R 1 1 R4 R 3.. d m Ed R R1 Em R4 R 3 (4.9) E substituindo alguns temos: R 1 R t. C R t 3 R t h 4 P P 1 A tensão cicunfeencial na egião cooída do tubo paa um defeito com gande compimento, po exemplo L 5. D, seá: t

6 93.. P ( t. C). 1 m cic d t. C ( t. C) Ed ( t h) ( t). d ( t. C) Em ( t h) ( t) (4.10) Teceia Apoximação Paa acha a tensão média no epao (camadas metálicas) se tabalha de modo simila. A pessão Po gea uma vaiação pessão ente o adesivo e o epao. R ' (inteno do epao) que gea outa Então a equação 4. neste caso fica: R 3 R R`.. Po. Ec R3 R Substituindo o valo de Po e calculando intefeência Pa ente o epao e o adesivo: R ' é possível detemina a pessão de

7 94 P a 4. P..( t. C) ( t. C) Ed ( t h) ( t) ( t. C). ( t) ( t. C). d m ( t. C) E m ( t h) ( t) ( t) ( t. C) Ec ( t h) ( t). c ( t) ( t. C) E ( t h) ( t) (4.11) A tensão cicunfeencial no epao pode se deteminada atavés da equação 4.1 paa duto de paede delgada onde atua a pessão Pa: cic 4..( t. C) h ( t. C) Ed ( t h) ( t) t. P ( t. C). ( t) ( t. C). d m ( t. C) E m ( t h) ( t). h ( t) ( t. C) Ec ( t h) ( t). c ( t) ( t. C) E ( t h) ( t) (4.1) 4.3 Tensões Equivalentes nos Regimes Elástico e Plástico As equações desenvolvidas anteiomente podem se usadas paa pedize as tensões na egião do defeito, acha a espessua necessáia paa um epao e também analisa o compotamento do duto com epao, tal como definido pelas egiões elastoplásticas identificadas no capítulo 3 (figua 3.14 e 3.18). Este modelo petende identifica as pessões que povocam o escoamento e também a uptua de um duto com epao. Como os estados de tensão nos casos de dutos eais são estados multiaxiais, estes estados de tensão devem se convetidos em estados uniaxiais equivalentes de tensões, paa pemiti a sua compaação com as popiedades mecânicas dos mateiais utilizados. Com esta finalidade, se usa o

8 95 citéio de von Mises. Na figua 4.1 se mosta de maneia qualitativa os estados de tensões e defomações num elemento difeencial na egião do defeito. ó 0, e ó l, e l 0 ó c, e c Figua 4.1 Estado de tensões e defomações num ponto do defeito Considea-se a defomação longitudinal igual a zeo. Isto acontece poque a pate do duto sem defeito e a espessua de epao utilizado fazem com que a egião do defeito tenha defomações longitudinais muito pequenas quando compaadas às defomações cicunfeenciais (as egiões com e sem defeito do duto devem te apoximadamente defomações longitudinais iguais). A tensão adial pode se consideada despezível se compaada à tensão cicunfeencial se o duto fo de paede fina. Estas apoximações foam cooboadas pelos esultados expeimentais e numéicos apesentadas nos capítulos 3 e 5 espectivamente. Paa a egião do defeito no egime elástico tem-se: 1 ( ) E com: el e l l c Então: l c o e 0 A equação de von Mises:... eq c l c c l l Fica eduzida a: eq c 1 (4.1)

9 96 Tal consideação vai se utilizada também paa enconta as tensões equivalentes elásticas pesentes no epao e no adesivo na egião do defeito. O calculo complica-se quando se que calcula a tensão equivalente de Mises na egião plástica, pelo que a pati da tensão de escoamento, utiliza-se o citéio de Tesca paa o cálculo da tensão equivalente. 4.4 Aplicação das Equações nas Regiões Elásticas e Elasto-Plásticas do Compotamento do Sistema Duto-Repao O estudo foi dividido em duas possibilidades no que tange o compotamento das tensões. A pimeia é quando o epao plastifica pimeio que o duto. A outa ocoe quando o duto plastifica antes do epao. Nos dois casos se agupam as constantes paa fomaem vaiáveis (vaiáveis 1). Estas vaiáveis 1 são tambem agupadas paa foma um novo gupo de vaiáveis (vaiáveis ) dependendo da egião de compotamento encontada (I até IV), com o fim de simplifica a fomulação. a) Repao plastifica pimeio VM I II III IV P Vaiáveis 1: Dividem-se em vaiáveis paa os coeficientes de Poisson, módulos de elasticidade e vaiáveis geométicas.

10 97 Coeficientes de Poisson nas egiões: Relaciona os µ do epao e do adesivo, ambos no estado elástico (Região I) pm1 pe ct( 1 C) e t( 1 C) Relaciona os µ do epao no estado plástico e do adesivo no estado elástico (Região II) pm pe pct( 1 C) e t( 1 C) Relaciona os µ do epao e do adesivo, ambos no estado plástico (Região III e IV) *Neste caso a palava epao significa camadas metálicas. Módulos de Elasticidade nas egiões: Em Ee Ect( 1 C) e t( 1 C) Relaciona os E do epao e do adesivo, ambos no estado elástico (Região I) Em1 Epe Ect( 1 C) e t( 1 C) Relaciona os E do epao no estado plástico e do adesivo no estado elástico (Região II) Em Epe Epct( 1 C) e t( 1 C) Relaciona os µ do epao e do adesivo, ambos no estado plástico (Região III e IV) Constantes geométicas:

11 98 a1 ( tc) a ( tc) ( tc) ( t e) ( tc) a3 a4 ( tc) ( t e) ( tc) ( t) ( tc) a5 ( t) ( tc) ( t) ( tc) a6 ( t e) ( t) ( t e) ( t) Vaiáveis : São as combinações das vaiáveis 1 Paa a egião I, onde o duto e a combinação epao-adesivo tabalham no estado elástico. B a5 c a4 Ec E a6 A1 Paa a egião II, onde o duto e o adesivo tabalham no egime elástico e o epao tabalha plasticamente. a d a1 Ed Em1 a6 pm1 B1 a5 c a4 Ec Ep a6 p Paa a egião III, onde o duto e o epao tabalham plasticamente, enquanto que o adesivo continua tabalhando elasticamente B a5 pc a4 Epc Ep a6 p Paa a egião IV, onde todos os componentes tabalham no egime plástico.

12 99 A3 a pd a1 Epd Em a3 pm A segui são definidos os limites das egiões e as tensões de Von Mises no duto, epao e adesivo. Os limites são as pessões que oiginam a plastificação de algum dos componentes da estutua. Região I: No intevalo 0 P Py Onde: Py Sye ( t) AB 1 Pessão que oigina a plastificação do epao Paa P=P1 no intevalo, se tem as tensões equivalentes em cada compomente: eq_di ( P1) tc P1 ( 1 A) 1 d d eq_i( P1) t P1 AB 1 e eq_ci( P1) tc P1A( 1 B) 1 c c t( 1 C) Região II: Fica no intevalo Py P Pyd Onde: Pyd tc Syd Py( A A1) 1 d d 1 A1 Pessão que oigina a plastificação do duto no defeito Paa P=P no intevalo, tem-se:

13 100 eq_dii( P) [ Py( 1 A) ( P Py) ( 1 A1) ] tc 1 d d t eq_ii( P) Sy ( P Py) A1B1 e tc eq_cii( P) [ PyA( 1 B) ( P Py) A1( 1 B1) ] 1 c c t( 1 C) Região III: Fica no intevalo Pyd P Pyc Onde: Pyc t 1 ( C) tc Syc 1 c c PyA( 1 B) ( Pyd Py) A1( 1 B1) A( 1 B1) Pyd Pessão que oigina a plastificação do adesivo Paa P=P3 no intevalo, tem-se: eq_diii( P3) Syd tc ( P3 Pyd) ( 1 A) eq_iii( P3) Sy [( Pyd Py) A1B1 ( P3 Pyd) AB1] t e tc eq_ciii( P3) [ PyA( 1 B) ( Pyd Py) A1( 1 B1) ( P3 Pyd) A( 1 B1) ] 1 c c t( 1 C) Região IV: Fica no intevalo Pyc P Pud Onde:

14 101 Pud ( Sud Syd) tc ( Pyc Pyd) ( 1 A) 1 A3 Pyc Pessão de uptua do duto no defeito Paa P=P4 no intevalo, tem-se: eq_div( P4) Syd [( Pyc Pyd) ( 1 A) ( P4 Pyc) ( 1 A3) ] eq_iv( P4) Sy [( Pyd Py) A1B1 ( Pyc Pyd) AB1 ( P4 Pyc) A3B] t e tc eq_civ( P4) Syc tc ( P4 Pyc) A3( 1 B) t( 1 C) b) Duto plastifica pimeio O pocedimento de cálculo nesta seção é simila a anteio VM I II III IV P As Vaiáveis 1 são iguais em ambos os casos, e as Vaiáveis têm pouca vaiação. Vaiáveis : Tabalha-se com novas vaiáveis onde M=A, M1 A1, M=A, M3=A3, N=B, N1=B1, N=B, então: Paa a egião II, onde o duto tabalha no egime plástico e a combinação epao-adesivo tabalha no egime elástico.

15 10 M1 a pd a1 Epd Em a6 m Definem-se os limites das egiões Região I: No intevalo Onde: 0 P Pyd Pyd SydtC ( 1 M) 1 d d Paa P=P1 no intevalo, tem-se: eq_di ( P1) tc P1( 1 M) 1 d d eq_i( P1) e t P1 M N 1 eq_ci( P1) tc P1M( 1 N) 1 c c t( 1 C) Região II: No intevalo Pyd P Py Onde: Py Sye ( t) M1N 1 Pyd( M M1) M1 Paa P=P no intevalo, tem-se: eq_dii( P) Syd ( P Pyd) ( 1 M1) tc

16 103 eq_ii( P) eq_cii( P) t N[ Pyd( M M1) P M1] 1 e tc ( 1 N) [ PydM ( P Pyd) M1] 1 c c t( 1 C) Região III: No intevalo Py P Pyc Onde: Pyc Syct( 1 C) ( tc) 1 c c ( 1 N) Pyd( M N1) [ PyM1] 1 M( 1 N1) Py Paa P=P3 no intevalo, tem-se: eq_diii( P3) Syd tc [ ( Py Pyd) ( 1 M1) ( P3 Py) ( 1 M) ] eq_iii( P3) Sy t ( P3 Py) M N1 e eq_ciii ( P3) tc [ ( 1 N) [ Pyd ( M M1) PyM1] ( P3 Py) M( 1 N1) ] 1 c c t( 1 C) Região IV: No intevalo Pyc P Pud Onde: Pud ( Sud Syd) tc ( Py Pyd) ( 1 M1) ( Pyc Py) ( 1 M) 1 M3 Pyc Paa P=P4 no intevalo, tem-se: eq_div( P4) Syd tc [ ( Py Pyd ) ( 1 M1) ( Pyc Py) ( 1 M) ( P4 Pyc) ( 1 M3) ] eq_iv( P4) Sy t [ ( Pyc Py) M N1 ( P4 Pyc) M3 N] e

17 104 eq_civ( P4) Syc tc ( P4 Pyc) M3( 1 N) t( 1 C) Duas condições são impostas paa sabe quem alcança a plastificação pimeio: Onde: Se Pyd Py Repao plastifica pimeio. Se Py > Pyd Duto plastifica pimeio. Py Sye ( t) AB 1 Pyd SydtC ( 1 M) 1 d d 4.5 Pogama paa a Aplicação da Modelagem Analítica Desenvolveu-se um pogama que pemite a utilização da modelagem matemática, mediante o qual pode-se detemina o compotamento das tensões e as pessões que povocam o escoamento e a uptua no duto. Pode-se também, mediante a compaação com o desempenho de um duto sem defeito, enconta a espessua apopiada paa o epao. Utilizando o equilíbio de foças, popõe-se uma equação simples paa pé defini a espessua mínima do epao equeido, a qual é utilizada paa te uma efeência da espessua de epao que se deve ingessa no pogama: P. D S. S ud.( t h ) S u. e apox então temos que: ud h eapox S onde h é a pofundidade do defeito. u (4.13) Na figua 4. se mosta à inteface do pogama.

18 105 a. b. c. d. e. Figua 4. - Aea da inteface do pogama a. Entada dos dados da geometia, popiedades mecânicas e o paâmeto C, que pode se calculado com as equações da tabela.1. O dado da espessua do epao (e) pode se pé calculado com a equação b. Áea dos dados e esultados de opeação. Ingessa-se alguma pessão de opeação e se obtem os valoes de tensão equivalente no defeito e no epao, as quais são impotantes paa avalia o epao ou ecalcula a pessão de opeação.

19 106 c. Obtem-se as pessões que delimitam o compotamento do epao e uma apoximada pessão de uptua de um duto sem epao achada pelo citéio de Tesca. d. Áea do gáfico tensão vs pessão e. Executa o pogama. Duto novo Duto epaado Repao Adesivo *Duto API 5L X70 Figua 4.3 Resultados no pogama Na figua 4.3 são mostados os esultados e o compotamento do duto API 5L X70 epaado, com o qual se pode pojeta o epao equeido mediante a compaação com o compotamento de um duto sem defeito.