ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

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1 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica PME 00 MEÂNI ª Pova 0/04/007 Duação 00 minutos (Não é pemitido o uso de calculadoas) ω D 3 g ª Questão (3,0 pontos) O sistema mostado na figua, composto po tês baas, de massa m e compimento 3, gia em tono do eio com otação ω ωk, constante Detemine: a) s eações ( X, Y ), na aticulação e ( X, Y ), no anel (considee o peso) b) s massas m e m, a seem colocadas nos pontos e D, espectivamente, necessáias paa balancea o sistema ª Questão (3,5 pontos) Um conjunto oda/pneu, de massa m, é peso a uma máquina de balanceamento e posto a gia a uma otação i ω ω, mantida constante O sistema O está fio no conjunto, que pode se consideado como copo ígido O eio é hoiontal Sabe-se, que o cento de massa do conjunto oda/pneu está no plano dmite-se que o toque aplicado ao eio de otação vaia de foma a se contapo ao toque ocasionado pela foça peso e pelo atito nos mancais, mantendo a otação constante Veifica-se, então, que as pacelas dinâmicas (descontados os efeitos da foça peso) das foças eecidas pelo conjunto sobe a máquina são equivalentes a uma foça F Fj, F > 0, aplicada em e a um bináio de momento M Mk, M > 0 Sabe-se também, que M < Fe Pede-se: a) s coodenadas (, ), do cento de massa do conjunto b) Os podutos de inécia J e J c) Os valoes m e m de duas pequenas massas de balanceamento, a seem espectivamente posicionadas nos pontos D ( e, e E ( e, d) Qual das duas massas tem maio valo? mbas tem valo positivo? Justifique

2 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica 3ª Questão (3,5 pontos) onsideando o enunciado do EP # : O F α baa homogênea da figua tem massa m 0,5 Kg, compimento m e está live paa se desloca, sem atito, no plano hoiontal Uma foça F, de magnitude constante N e dieção sempe otogonal à baa, está aplicada à sua etemidade No instante inicial (t 0) o baicento está na oigem O do sistema O ( 0 e 0 ), o ângulo α é nulo e a baa se enconta em epouso a) Dedua as equações escalaes que govenam o movimento da baa b) Esquematie um diagama Scicos que contenha apenas a pate necessáia paa calcula α (t) e apesenta o seu gáfico c) Esboce o gáfico de α (t) paa 0 t 4s d) Esboce o gáfico da tajetóia de paa 0 t 4s e) Esboce o gáfico da tajetóia de paa 0 t 4s f) Esboce o gáfico da velocidade escala do baicento paa 0 t 4s g) Esboce o gáfico da velocidade escala do ponto paa 0 t 4s

3 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica PME 00 MEÂNI ª Pova 0/04/007 Duação 00 minutos (Não é pemitido o uso de calculadoas) ω D 3 g ª Questão (3,0 pontos) O sistema mostado na figua, composto po tês baas, de massa m e compimento 3, gia em tono do eio com otação ω ωk, constante Detemine: a) s eações ( X, Y ), na aticulação e ( X, Y ), no anel (considee o peso) b) s massas m e m, a seem colocadas nos pontos e D, espectivamente, necessáias paa balancea o sistema Solução: a) s eações X, ), na aticulação e X, Y ), no anel (considee o peso): ( Y ( Y X 3 Posição do baicento: 0 3m m + m + m 3 3 (simetia) celeação do baicento ( ω ωk, constante): 3mg a ( 3) ω j Y TM: X X Y + Y 0 3m ( ( 3) ω ) Z 3mg Momento ngula, pólo (fio): & H J ω J ωi J ωj + J ω H J i & J & & ω ωj + J ωk J ω j + J ω i Z [ ]{ } k Mas 0 X J e J ( J ) + ( J ) + ( J ) 0 + (0 + m 3 ) + (0 m 3) baa baa + baa3 & J 3m e, potanto, 3m ω i H

4 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica TM, pólo (fio): & H M et 3m ω Y 0 X 3 3mg X Y Y X mg mg 0 3 mω 3 mω b) s massas m e m, a seem colocadas nos pontos e D, espectivamente, necessáias paa balancea o sistema: m em ( 0,,0) e m em ( 0,, 3) aicento na condição balanceada ( 0 ): m 3 m m 0 m + m m Podutos de inécia na condição balanceada nulos: 3 J 0 3m + 0 3m m m ssim: m m m (,0)

5 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica ª Questão (3,5 pontos) Um conjunto oda/pneu, de massa m, é peso a uma máquina de balanceamento e posto a gia a uma otação ω ωi, mantida constante O sistema O está fio no conjunto, que pode se consideado como copo ígido O eio é hoiontal Sabe-se, que o cento de massa do conjunto oda/pneu está no plano dmite-se que o toque aplicado ao eio de otação vaia de foma a se contapo ao toque ocasionado pela foça peso e pelo atito nos mancais, mantendo a otação constante Veifica-se, então, que as pacelas dinâmicas (descontados os efeitos da foça peso) das foças eecidas pelo conjunto sobe a máquina são equivalentes a uma foça F Fj, F > 0, aplicada em e a um bináio de momento M Mk, M > 0 Sabe-se também, que M < Fe Pede-se: a) s coodenadas (, ), do cento de massa do conjunto b) Os podutos de inécia J e J c) Os valoes m e m de duas pequenas massas de balanceamento, a seem espectivamente posicionadas nos pontos D ( e, e E ( e, d) Qual das duas massas tem maio valo? mbas tem valo positivo? Justifique Solução: a) s coodenadas (, ), do cento de massa do conjunto: TM: ma Fj (Note que a esultante é igual à pacela dinâmica da foça eativa da máquina sobe a oda, pois a pacela estática da eação é o oposto da foça peso, que po ela é anulada) omo neste caso a otação é constante, a ω i ( ωi ( i + j + k )) Vem, então que a ω ( j + k ) e, potanto, mω ( j + k ) Fj F ( mω ) e 0 ( posição do cento de massa do conjunto seá então dada po ( ) F mω j ) b) Os podutos de inécia J e J : Momento ngula do conjunto em elação ao pólo fio : H [ J ]{ ω} ( J i J j J k )ω & omo a otação é constante H ( J k J j ) ω + omo é sabido que o cento de massa está no plano, o momento da foça peso é nulo em elação a estes eios Também é sabido que o toque aplicado ao eio de otação vaia de foma a

6 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica se contapo ao toque ocasionado pela foça peso (em tono de ) e pelo atito nos mancais, de foma a mante a otação constante ssim, do TM, tomado em elação ao pólo fio, & v et et H M, com M M Mk, seguem as equações de equilíbio dinâmico em tono dos eios e : J ω 0 J ω M Note que como M > 0, então > 0 M e, potanto, J 0 e J ω J c) Os valoes m e m de duas pequenas massas de balanceamento, a seem espectivamente posicionadas nos pontos D ( e, e E ( e, alanceamento estático: om (,, ) D ( e, e (,, ) E ( e, e impondo que o cento de massa na condição balanceada esteja posicionado sobe o eio de otação, ou seja, ( ) ( a,0,0), com a abitáio, teemos, m m m + m + m + m + m + m + m ( m + m + m 0 0 ) a pimeia equação é ielevante teceia é uma identidade, pois 0 segunda envolve duas incógnitas, m e m : F m + m () ω R alanceamento dinâmico: Na condição balanceada os podutos de inécia devem se anulados (ou pemaneceem nulos) Ou seja, J m + m + J 0 e J m + m + J 0 segunda condição fica automaticamente satisfeita, já que J 0 e 0 pimeia condição fonece: M m m eω R () s equações () e (), esolvidas nas incógnitas e m, levam a: m m ( Fe M ) e erω m ( Fe + M ) erω d) Qual das duas massas tem maio valo? mbas tem valo positivo? Justifique omo Fe > M > 0, então, m > m 0 >

7 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica 3ª Questão (3,5 pontos) onsideando o enunciado do EP # : O F α baa homogênea da figua tem massa m 0,5 Kg, compimento m e está live paa se desloca, sem atito, no plano hoiontal Uma foça F, de magnitude constante N e dieção sempe otogonal à baa, está aplicada à sua etemidade No instante inicial (t 0) o baicento está na oigem O do sistema O ( 0 e 0 ), o ângulo α é nulo e a baa se enconta em epouso a) Dedua as equações escalaes que govenam o movimento da baa b) Esquematie um diagama Scicos que contenha apenas a pate necessáia paa calcula α (t) e apesenta o seu gáfico c) Esboce o gáfico de α (t) paa 0 t 4s d) Esboce o gáfico da tajetóia de paa 0 t 4s e) Esboce o gáfico da tajetóia de paa 0 t 4s f) Esboce o gáfico da velocidade escala do baicento paa 0 t 4s g) Esboce o gáfico da velocidade escala do ponto paa 0 t 4s Solução: a) Dedua as equações escalaes que govenam o movimento da baa 6F F F α& & & cosα & senα m m m b) Esquematie um diagama Scicos que contenha apenas a pate necessáia paa calcula α (t) e apesenta o seu gáfico

8 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica c) Esboce o gáfico de α (t) paa 0 t 4s d) Esboce o gáfico da tajetóia de paa 0 t 4s

9 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica e) Esboce o gáfico da tajetóia de paa 0 t 4s f) Esboce o gáfico da velocidade escala do baicento paa 0 t 4s

10 ESO POITÉNI D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO Depatamento de Engenhaia Mecânica g) Esboce o gáfico da velocidade escala do ponto paa 0 t 4s