Consideremos um ponto P, pertencente a um espaço rígido em movimento, S 2.

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1 1 1. Análise das elocidades Figua 1 - Sólido obseado simultaneamente de dois efeenciais Consideemos um ponto P, petencente a um espaço ígido em moimento, S 2. Suponhamos que este ponto está a se isto po obseadoes, ligados espectiamente aos espaços ígidos S 2, S 1 e S 0. Claamente, o obseado ligado a S 2 imagina o ponto P, fixo. Os obseadoes ligados a S 1 e S 0, êem-no em moimento, mas com tajectóias, elocidades e aceleações difeentes. Vejamos que elação existe ente os moimentos obseados a pati de cada um destes efeenciais. A elocidade total ou absoluta do ponto P, aquela que o obseado ligado a S 0 pode e, pode calcula-se pela deiada em odem ao tempo, do ecto O0P. A elocidade elatia ao efeencial S1, seá a deiada em odem ao tempo do ecto O 1 P, calculada como se o efeencial S1 fosse fixo. Patamos do ecto O P 0. Pode decompo-se do seguinte modo O P = O O + O P (1) Deiando este ecto em odem ao tempo, obteemos O P = O O + O P (2) P = O + O 1P/ S (3) 20 0 P = O + O1P/ S + wx O1P (4) 20 1 = + ( + w xo P ) (5) P20 P O 1 A soma contida dento do paêntesis, pode econhece-se como sendo o alo da elocidade (total, absoluta) de um ponto do espaço ígido S 1, neste instante coincidente com o ponto P 2. Com efeito, moel.doc

2 2 coesponde às pacelas da 1ª equação de Mozzi, utilizada paa defini os campos de elocidades contempoâneas de todos os pontos de um espaço ígido. Teemos pois = + (6) P20 P P A elocidade absoluta do ponto P 2 pode assim se decomposta na soma de duas pacelas: a elocidade elatia a S 1 e a elocidade de tanspote com S 1. A elocidade elatia a S 1, é a elocidade que um obseado ligado a este efeencial consegue medi. A elocidade de tanspote com S 1, é a elocidade absoluta de um ponto P 1, de S 1 que instantaneamente coincide com o ponto P 2. A decomposição de elocidades descita na equação (6) paa o ponto P 2 é álida paa um qualque ponto do espaço ígido S 2. Que isto dize que também podemos afima que um campo de elocidades contempoâneas absolutas pode se decomposto na soma de um campo de elocidades elatias a dado efeencial com um campo de elocidades de tanspote, que é o campo de elocidades absolutas deste último efeencial. Atendendo a que se tata de campos de momentos, as coodenadas ectoiais num ponto do campo de elocidades contempoâneas absolutas seão a soma das coodenadas ectoiais nesse mesmo ponto, dos campos de elocidades elatias e de tanspote. Ou seja, P S = + 2 P20 P P (7) implica que = + w = w + w P20 P P 20 (8) Analisemos o seguinte exemplo de um mecanismo em moimento plano (figua 2) Fig 2 - Mecanismo em moimento plano O mecanismo da figua 2 é constituído po dois copos. O copo 1, tem moimento de otação em tono de O. O copo 2, tem um moimento composto de dois moimentos: Um elatio ao copo 1, que é uma tanslação na diecção OA; e um de tanspote com o copo 1, que é uma otação em tono de O. Qualque ponto do copo 2, po exemplo o ponto A ou o ponto B, tem uma elocidade total, absoluta, que pode considea-se decomposta na soma de duas pacelas: a elocidade elatia ao copo 1, que há-de se paalela a OA isto o moimento elatio se uma tanslação nessa diecção; e a elocidade de tanspote com o copo 1, que é a elocidade absoluta do ponto do espaço ígido S 1, nesse instante moel.doc

3 3 coincidente com o ponto em análise. Esta última componente coesponde a uma otação em tono de O, isto se esse o moimento absoluto do copo 1. Neste exemplo, o campo de elocidades absolutas do copo 2 tem uma distibuição cilíndica em tono de um eixo que passa po I 20 ; o campo de elocidades elatias ao copo 1, é unifome; e o campo de elocidades de tanspote, tem uma distibuição cilíndica em tono de um eixo que passa po I, neste caso sempe coincidente com O. A teoia do moimento elatio pemite simplifica muito a análise de moimentos complexos, decompondo estes na soma de moimentos mais simples. Podemos te um espaço ígido em moimento elatio a outo, que po sua ez se moe elatiamente a um teceio igualmente móel e assim po diante, até podemos enconta um espaço de efeência suposto fixo. Este espaço é aquele em que nos encontamos, como obseadoes. Mesmo que não seja fixo, não pecebemos o seu moimento, pelo que, paa nós tudo se passa como seja fixo. É potanto possíel escee w Pn 0 Pn 0 = P = w n,n 1 Pn,n 1 + P n + w 1,n 2 Pn 1,n P w P (9) Esta simplicidade na análise das elocidades, infelizmente não se epete na análise das aceleações, como eemos em seguida. 2. Análise das aceleações Patamos da equação (6) que pemite decompo as elocidades de acodo com a teoia do moimento elatio. Vamos deia em odem ao tempo a elocidade absoluta de P 2, de modo a obte a aceleação total, absoluta, desse ponto P = P P + 20 / S 0 () Estas deiadas em odem ao tempo, são deiadas totais, isto é, calculadas elatiamente ao efeencial fixo S 0, como sabemos. Note-se que, de acodo com o teoema das deiadas elatias, w P = P + P (11) e também, atendendo a que = + w O P, P O 1 w OP w O P P = O S S S / 0 (12) moel.doc

4 4 w OP w O P w w O P P = O + + S S S (13) Patindo da expessão () e atendendo a que de cálculo paa as aceleações: P = a P,..., teemos a seguinte expessão a P = a P + ao + w O P w w O P w ( 1 ) + 2 P (14) a = a + a + w (15) P P P 2 20 P Como emos, a aceleação absoluta do ponto P 2 pode decompo-se na soma de uma aceleação elatia a S 1 com uma aceleação de tanspote com S 1 e mais uma pacela exta, habitualmente designada po aceleação complementa de Coiolis, com a foma que pode e-se na equação (15). A aceleação elatia, é a que um obseado ligado ao efeencial S 1 consegue medi. A aceleação de tanspote, é a aceleação absoluta de um ponto P 1, do efeencial S 1, nesse instante coincidente com o ponto P 2. A aceleação complementa de Coiolis, que não tem um significado físico eidente, esulta da existência de otação no efeencial intemédio S 1. É uma pacela necessaiamente nula quando o moimento de tanspote é uma tanslação. Também na análise de aceleações pode efectua-se uma decomposição de um moimento complexo na soma de diesos moimentos mais simples, como acontecia na análise de elocidades e estaa sugeido na expessão (9). Só que, agoa, temos de faze apaece uma aceleação complementa po cada moimento elatio consideado. Pode facilmente mosta-se que, paa as aceleações seá álida uma decomposição do tipo a =... + a + a + a w + 2 w (16) Pn0 P32 P P 20 P32 P Como paa as elocidades, as expessões (15) e (16) são álidas paa qualque ponto do espaço S 2. Ou seja, o campo de aceleações absolutas é decomponíel na soma de campos de aceleações elatias, de tanspote e complementaes. A aceleação elatia pode pois também obte-se pela análise do campo de aceleações no moimento elatio, isto é, pela aplicação da 2ª equação de Mozzi, sem a deiação explícita em odem ao tempo, da elocidade elatia. Neste caso, coném lemba que os ectoes otação e aceleação angula são apenas coespondentes ao moimento elatio. O ecto aceleação angula esultaá, potanto, da deiada do ecto otação, calculada elatiamente ao efeencial S 1. Ou seja, podemos faze a = a + α A P + w ( w A P) (17) P A 1 1 moel.doc

5 5 = w α /S1 (18) Analisemos o mecanismo epesentado na figua 3 Fig 3 -Mecanismo em moimento 3D Neste mecanismo, o copo 1 tem moimento de otação em tono de um eixo etical, enquanto o copo 2 tem um moimento composto de uma otação em elação ao copo 1, mais o pópio moimento do copo 1. Paa qualque ponto do copo 2, podemos escee = + P20 P P (19) Calculando cada uma das pacelas pela análise dos campos de elocidades contempoâneas, podeemos escee = w CP + w OP P 20 (20) Paa análise das aceleações, teemos a = a + a + w () P P P 2 20 P Po análise dos espectios campos de aceleações contempoâneas, podeemos escee ap = CP w w CP OP w w OP w P + + α ( ) α ( ) + (22) Agoa, paa podemos efectua estes cálculos, teíamos apenas de pojecta todos os ectoes num deteminado sistema de eixos, po exemplo (mas não necessaiamente) ligado ao copo 1. moel.doc