Figura 1 Bolas em rota de colisão
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- Aline Frade
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1 As equações do poblema Objeto de apendizagem: Colisões bidimensionais Romeo Taaes NOA - UFPB Poblema Vamos considea uma bola que se moe com elocidade I, na dieção de uma outa bola que está em epouso, como isto na Figua. Figua Bolas em ota de colisão Consideemos duas etas paalelas, uma eta definida pela tajetóia etilínea da bola e uma segunda eta, paalela a pimeia e que passa pelo cento da bola. A distância ente essas duas etas paalelas é chamada de paâmeto de impacto b, como mosta a Figua, sendo definido como: b sen ( ( Ainda, nesta mesma figua emos os seguintes paâmetos conhecidos: aio da bola e aio da bola, e os paâmetos desconhecidos: ângulo de saída da bola após o choque com a bola (incidente e ângulo de saída da bola após a colisão com a bola (alo. b Figua O paâmeto de impacto b Outas aiáeis conhecidas são as massas M, M e a elocidade inicial da bola, I, e desejamos calcula os aloes dos paâmetos F, F,,. Estamos diante de um sistema de quato equações com quato incógnitas ( F, F,,. As aiáeis elocidades, incidente e alo, são mostadas na Figua 3 paa uma colisão no efeencial do laboatóio e eixos tadicionais X e Y.
2 A situação que nos inteessa é a colisão ente duas bolas de bilha (ou sinuca, ou seja, uma colisão ente copos que têm a mesma foma ( e a mesma massa (M M M. y F I x F Figua 3 Colisão segundo o efeencial do laboatóio (eixos XY Velocidade no efeencial do Laboatóio (eixos XY O paâmeto de impacto b já definido pela equação ( e isualizado na figua : As outas equações são: ( b ( I I I 0 F j F j F F F Segundo Angel Fanco Gacìa, El coeficiente de estitución nos mide el cociente cambiado de signo, ente la elocidad elatia de alejamiento a lo lago del eje X y la elocidad elatia de apoximación a lo lago del mismo eje (localizado em 0/junho/007 Definimos então o coeficiente de estituição como: F F e. Paa facilita os cálculos usaemos equações semelhantes a estas, mas de acodo com o efeencial do laboatóio (eixos X Y. A compaação ocoe ataés da Figua 4 e da Figua 5 que apesenta os etoes de acodo com o noo efeencial do laboatóio. Velocidade no efeencial do Laboatóio (eixos X Y O paâmeto de impacto b é definido pela equação ( e isualizado na figua, assim, b sen. ( ( Os etoes elocidades antes e depois do choque são : I F
3 I i I j I ( I 0 (3 ( F i F j F sen( (4. (5 F F O coeficiente de estituição e tona-se e I ( F F. (6 y y I F x F x Figua 4 Colisão segundo dois efeenciais y F x F I Figua 5 Colisão segundo efeencial X Y 3
4 Como as massas das duas patículas são iguais, a conseação do momentum linea total implica na conseação da elocidade total, ou seja: PI PF pi pi pf pf E como p m Temos que: V (7 VI F I I F F Usando (, (3, (4 e (5 na equação (7, temos paa a dieção x: ( F I F (8 Usando (, (3, (4 e (5 na equação (7, temos paa a dieção y: ( I F sen (9 Da equação (9, temos que: Da equação (6, temos que: F I (0 sen( F ei F ( Usando a equação ( na equação anteio, temos que: F ei ( I sen I F ei ( ( Diidindo (9 po (8, encontamos; ( ( Poto I I ( F F F sen ( ( I ( I F I I F ( Usando esse esultado na equação (, encontamos: Ou seja; F ei I F F ( e I (3 Usando a equação (3 na equação (, encontamos que: 4
5 ( I I ( I I ( e ( e I I e I (4 e Usando a equação (6, encontamos que: F ei ( F Usando a equação (3 na última equação, encontamos que: F e I e ( e ( ( e ( I I ( e I ( F (5 Velocidades em elação ao efeencial localizado no cento de massa C. A elocidade V i da i-ésima patícula em elação ao cento de massa, pode se facilmente calculada, quando se conhece a elocidade i de cada uma das patículas do sistema consideado. Temos po definição que o cento de massa do sistema se desloca com uma elocidade, onde: N M ii i N M e poto: i i i V. Como o nosso sistema é composto po apenas duas patículas, temos que: i 5
6 Velocidades Iniciais em C M M I M M I. Consideando que as patículas têm mesma massa, que a patícula de massa M está inicialmente em epouso, e que a patícula de massa M se moe inicialmente sobe o eixo x, temos que: I I I i j IC I I sen I I I j I IC i IC IC I i I I 0 I j I Velocidades Finais no laboatóio F ( e I (3 ( e I ( F (5 F F ( e I if i i F i ( j F sen( ( e I ( ( ( e I j sen( ( 6
7 Mas Logo Ou seja Velocidades Finais em C F F ( e j I ( e I ( ( (4 e j ( e ( e ( e I I I F i FC F e j I I ( e i I ji i I j ( ie j I FC FC FC I i i j F I I I ( e ( ie j Poe que se a bola paada fo a bola e a bola incidente fo a bola, as elocidades finais no efeencial do cento de massa são: I ( FC ie j 7
8 e FC I ( ie j 8
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