f (x) (1 + (f (x)) 2 ) 3/2. κ(x) = f(x) = log x, f(x) = a cosh x a, a 0 (catenaria), f(x) = sen ax 2,

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1 Univesidade Fedeal do Rio de Janeio INSTITUTO DE MATEMÁTICA Depatamento de Métodos Matemáticos Pimeia Lista de Execícios - Geometia Difeencial 010/0 1. Calcula o veto tangente unitáio, a nomal pincipal e a cuvatua das seguintes cuvas, dadas po: a αt = a cos t cos t, a cos tsen t. b αt = at cos t, atsen t. c αt = a1 + cos t cos t, a1 + cos tsen t. d αs = 1 + s, lns s. e αt = t, cosh t. f αt = cos 3 t, sen 3 t, Aqui a R constante. t 0, π.. Considee uma cuva cujo taço é o gáfico de uma função definida po y = fx, onde f : I R é uma função de classe C. Moste que a cuvatua dessa cuva é dada po κx = f x 1 + f x 3/. 3. Detemina a cuvatua do gáfico da função f, definida po fx = log x, x 0,. 4. Moste que a cuvatua κ do gáfico da função f, dada po fx = a cosh x a, a 0 catenaia, é igual a κx = a fx, 5. Detemina a cuvatua do gáfico da função f, definida po fx = sen ax, na oigem de R. 6. Seja α : [0, π] R una cuva, dada po αt = 1 sen t cos t, 1 sen tsen t. a Moste que α é uma cuva egula fechada, de classe C 1. b A cuva α é simples? c Esboce o taço de α. 7. Seja α : [0, π] R uma cuva, definida po αt = 1 + cos t cos t, 1 + cos tsen t.

2 a Detemina as singulaidades de α. b A cuva α é fechada? c Calcula a cuvatua de α. d Esboce o taço de α, que é denominado cadióide. 8. A hipocicloide é a tajetóia descita pelo movimento de um ponto fixo P petencente ao cículo de aio, que gia no inteio de um cículo fixo de aio R >. Se R = 4, então a hipocicloide ecebe o nome paticula de astóide. a Demonste que a cuva α, dada po R αt = R cos t + cos t, R sen t sen é uma paametização da hipociclóide. b Esboce o taço de α com R = 5 e =. c Esboce o taço de α com R = 4 e = 1. R t, 9. A epiciclóide é a tajetóia descita pelo movimento de um ponto fixo P, petencente ao cículo de aio, que gia sobe a pate extena de um cículo de aio R >. Se R =, então la epiciclóide ecebe o nome paticula de cadióide. a Moste que a cuva α, definida po R + αt = R + cos t cos t, R + sen t sen é uma paametização da epiciclóide. b Esboce o taço de α com R = 3 e = 1. c Esboce o taço de α com R = = 1. R + t, 10. O cículo osculado de uma cuva α em um ponto p Cα é o cículo S 1 que é tangente 1 a cuva α em p e tem aio κp. Pova que se κ p 0, então o cículo osculado em p intecepta a cuva α. 11. Seja α : I R uma cuva paametizada pelo compimento de aco com cuvatua κ 0. A aplicação α e que a cada t I associa o ponto α e t = αt + 1 κt Nt, onde N é o campo nomal unitáio de α, é uma cuva difeenciável em R, e é chamada evoluta da cuva α. a Pova que a evoluta de uma cuva paametizada α é egula se e somente se, κ 0. b Moste que os pontos singulaes da evoluta de uma cuva paametizada α são aqueles em que a cuva α possui um ponto cítico t I é um ponto cítico de κ se κ t = 0.

3 1. Seja α : I R uma cuva egula. Seja L α : I R o compimento de aco de α a pati de t 0, L α t = t t 0 α l dl. Definimos a involuta da cuva α pela aplicação α i : I R, dada po α i t = αt + c L α tt t, onde T é o campo tangente de α e c é uma constante eal positiva. a Moste que a involuta de α é uma cuva egula se c L α t y κt 0. b Pova que todas as etas nomais a involuta de α são etas tangentes da cuva α. c Demonste que uma cuva egula α é a evoluta de qualque uma de suas involutas. 13. Seja α uma cuva definida po αt = 3sen t sen 3 t, 3 cos t cos 3 t. Pove que a evoluta de α é dada pela equação 14. Detemina a evoluta da cuva, definida po x /3 + y /3 = 4/3. αt = t, t A cuva x 3 + xy = y pode se paametizada po t αt = 1 + t, t t Moste que a equação de sua evoluta é 51x + 88y + 7y 4 = Detemina a cuvatua da cuva, definida po t cos u t sen u αt = du, du, 0 u 0 u em paticula esboce o taço da cuva α. 17. Calcula as cuvatuas das cuvas dadas em coodenadas polaes, θ a segui: a = acosθ cículo. b = aθ espial de Aquímides. c = a1 + cos θ cadioide. Finalmente em cada ítem, esboce o taço das cuvas. 3

4 18. Seja α a cuva dada po αt = t m, t n, onde m e n são inteios positivos e t > 0. Moste que a cuva α é egula. Seja p = αt, q e os pontos onde a ecta tangente a α em p intecepta os eixos Ox y Oy, espectivamente. p q Pove que é constante e descuba seu valo. p 19. Seja α uma cuva que tem a seguinte popiedade: todas suas etas nomais são paalelas. Moste que seu taço está contido em uma eta. 0. Seja α uma cuva com a seguinte popiedade: todas suas etas nomais passam po un ponto fixo C R. Moste que o taço de α está contido em um cículo de cento C. 1. Enconte as etas tangentes a cuva dada po que passam pela oigem. αt = t, t 4 t + 3,. Seja P o ponto onde a eta tangente a cuva definida po αt = t, t 3, intecepta o eixo Ox e seja M = t, 0. Moste que OP = P M, onde O é a oigem. Genealize este esultado paa a cuva, dada po αt = t, t n. 3. Dada a hélice αt = a cos t, asen t, bt. Calcula α t, α t, e uma epaametização pelo compimento de aco. 4. Paa a cuva α definida po αt = 1 3 cos t1, 1, sen t1, 0, 1, t R. Calcula α t, α t, e uma epaametização pelo compimento de aco. 5. Seja f : [a, b] R una função difeenciável. Então a cuva αt = t, ft paametiza o gáfico de f. Pova que seu compimento de aco é dado pela fómula: L α = b a 1 + f tdt. 6. Calcula a cuvatua das seguintes cuvas paametizadas pelo compimento de aco: 1 1 a αs = cos s, cos s, sen s. b αs = s3/, s3/, s, 1 < s < Calcula T, N, B, κ, τ das seguintes cuvas: 1 a αs = s3/, s3/, s, 1 < s < 1. 4

5 1 b αt = et sen t + cos t, 1 et sen t cos t, e t. c αt = 1 + t, t, lnt t. d αt = e t cos t, e t sen t, e t. e αt = cosh t, sinh t, t. f αt = t, t, t 1 + t + lnt t. g αt = t sen t cos t, sen t, cos t. 8. Seja α : I R 3 uma cuva egula paametizada pelo compimento de aco con cuvatua κ 0. A eta nomal a α em αs é a eta passando po αs com dieção o vecto nomal pincipal Ns. Suponha que todas as etas nomais a α passam po um ponto fixo. O que se dpode dize sobe a cuva? 9. Se todos os planos nomais de uma cuva α passam po um ponto fixo, pove que a cuva está sobe una esfea. 30. Se todos os planos osculadoes de uma cuva passam po un ponto paticula pove que a cuva é plana. 31. Se a cuvatua κ e a toção τ de uma cuva α são constantes e não se anulam, pove que la cuva é una hélice cicula. 3. Demonste que a toção τ de uma cuva α veifica a seguinte igualdade τ = α α α α α. 33. Seja α : I R 3 uma cuva paametizada egula com κs 0, s I. De todos os planos que contem a eta tangente a cuva α em αs, o plano osculado é o único plano com a seguinte popiedade: Paa qualque vizinhança J I de s, existem pontos de αj de ambos lados do plano osculado. 34. Seja α : I R 3 uma cuva paametizada egula com κ 0. Pova que a cuva plana π α, onde π é a pojeção otogonal sobe o plano osculado em t, possui a mesma cuvatua que α em t. 5