Energia no movimento de uma carga em campo elétrico

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1 O potencial elético Imagine dois objetos eletizados, com cagas de mesmo sinal, inicialmente afastados. Paa apoximá-los, é necessáia a ação de uma foça extena, capaz de vence a epulsão elética ente eles. O tabalho ealizado po esta foça extena mede a enegia tansfeida ao sistema, na foma de enegia potencial de inteação elética. Eliminada a foça extena, os objetos afastamse novamente, tansfomando a enegia potencial de inteação elética em enegia cinética à medida que aumentam de velocidade. O aumento da enegia cinética coesponde exatamente à diminuição da enegia potencial de inteação elética.

2 O potencial elético Com elação a um campo elético, inteessa-nos a capacidade de ealiza tabalho, associada ao campo em si, independentemente do valo da caga q colocada num ponto desse campo. Paa medi essa capacidade, utiliza-se a gandeza potencial elético. Paa obte o potencial elético de um ponto, coloca-se nele uma caga de pova q e mede-se a enegia potencial adquiida po ela. Essa enegia potencial é popocional ao valo de q. Potanto, o quociente ente a enegia potencial e a caga é constante. Esse quociente chama-se potencial elético do ponto.

3 O potencial elético A difeença de potencial ente dois pontos, em uma egião sujeita a um campo elético, depende apenas da posição dos pontos. Assim, podemos atibui a cada ponto um potencial elético, de tal maneia que a difeença de potencial ente eles coesponda exatamente à difeença ente seus potenciais, como o pópio nome indica. Fisicamente, é a difeença de potencial que inteessa, pois coesponde ao tabalho da foça elética po unidade de caga.

4 Enegia no movimento de uma caga em campo elético Foça na caga devida ao campo elético: FE = QE Componente da foça aplicada a uma caga na dieção de deslocamento dl: F EL = F E.aL = QE.a L Foça extena aplicada em oposição à do campo: F apl = QE.a L Tabalho difeencial ealizado po uma foça extena paa move a caga: dw = QE.aLdL = QE. dl W = Q final início E. dl

5 Integal de linha em um campo unifome

6 Integal de linha em um campo unifome W = Q final início E. dl A integal acima pode se esolvida de foma simplificada, ao longo da componente E L (componente de E ao longo de dl: W = Q E. dl final início A integal pode se mais facilmente esolvida dividindo-se o caminho em um gande númeo de pequenos segmentos. W =Q( EL L 1+ EL L ELn L n W =Q( E1. L 1+ E. L E. n L 1 n W Se o campo fo unifome, tem-se: E 1 = E =... = = Q En E. ( L 1+ L L n = Veto do ponto B ao ponto A QE.L BA W A = QE. dl = QE.L B BA

7 Difeença de potencial e potencial Difeença de potencial é o tabalho ealizado po uma fonte extena ao move uma caga unitáia positiva de um ponto B a outo ponto A em um campo elético: W Q AB final: A = V = E. dl volts início: B = V A V 1 No cálculo de V AB, B é o ponto inicial e A é o ponto final. Obseva que a difeença de potencial é definida em temos de uma caga unitáia. B Difeença de potencial ente dois pontos A e B, nas distâncias adiais A e B (mesmos valoes paa θ e φ de uma caga pontual Q, localizada na oigem de coodenadas esféicas: V AB Q πε dl = da E = E a = a = B A E. dl = A B Q Q 1 d = πε A πε 1 B

8 Campo potencial de uma caga pontual Agoa, os pontos A e B são genéicos (difeentes valoes de θ e φ. O campo elético possui apenas componente adial. O caminho difeencial possui as tês componentes.

9 Campo potencial de uma caga pontual V AB = B A E. dl = Q Q 1 πε A πε A A ( E a + a + a (. da + da + sen θdφa = d = θ φ θ φ B B 1 B Mais uma vez mosta-se que a difeença de potencial ente pontos depende, apenas, da distância ente eles, e não do caminho. Paa defini o potencial em um ponto qualque a metos da caga pontual Q, faz-se = B tende ao infinito e a expessão se tona: V A Q Q = = πε A πε Com = B no infinito, o potencial de efeência tona-se ZERO. Caso não se deseje utiliza uma efeência ZERO, pode-se usa a expessão: Q V = + C πε 1

10 Potencial de um sistema de caga - Campo Consevativo Potencial em um ponto P, localizado em, devido a uma caga pontual única Q1, localizada em 1, com efeência em zeo (infinito : 1 1 ( = πε Q V Paa n cagas, teemos: = = = = n m m m m n Q Q Q Q V ( πε πε πε πε Paa um elemento de distibuição volumética de caga (ρ v, tem-se: = = vol v n n n v v v dv v v v V ' ' ' ( (... ( ( ( πε ρ πε ρ πε ρ πε ρ Paa um elemento de distibuição linea ou de supefície, vem, espectivamente: = = S S L ds V dl V ' ' ' ( ( ' ' ' ( ( πε ρ πε ρ

11 Potencial de um sistema de caga - Campo Consevativo Resumo 1 O potencial devido a uma caga pontual é o tabalho ealizado paa leva uma caga positiva do infinito até ao ponto no qual desejamos calcula o potencial, independente do caminho escolhido; O potencial de uma quantidade de cagas pontuais é a soma dos potenciais individuais de cada caga; 3 O potencial devido a um ceto númeo de cagas pontuais ou quaisque distibuições contínuas de cagas pode se obtido levando-se uma caga do infinito ao ponto em questão, independentemente do caminho escolhido. V A = A E. dl V = V V = AB A B B A E. dl O tabalho necessáio paa desloca uma caga unitáia ao longo de um pecuso fechado é nulo, ou seja: E.dL = Neste caso, o campo é dito Campo Consevativo.

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13 Gadiente de potencial

14 Gadiente de potencial Relação ente E e V a pati de uma integal de linha genéica: V = E.dL Aplicando-se a elação acima a elementos muito pequenos, pode-se supo E apoximadamente constante. Logo, V E. dl V dv E. Lcosθ = E cosθ dl O valo máximo de V ocoeá quando o deslocamento estive no sentido oposto ao de E, ou seja, quando cos θ fo = 1. Assim, teemos: dv dl máx = E - O módulo do campo elético é dado pelo máximo valo da taxa de vaiação do potencial com a distância; - O valo máximo é obtido quando o sentido de E é oposto ao sentido no qual o potencial cesce mais apidamente.

15 Gadiente de potencial

16 Gadiente de potencial Patindo da elação vista anteiomente, na dieção do potencial cescente, temos: V E. L = Consideando que nem o campo nem o deslocamento são nulos, conclui-se que ambos são otogonais.

17 Dipolo Elético Um dipolo elético é um conjunto fomado po duas cagas pontuais, iguais em módulo, poém com sinais opostos. A distância ente As cagas deve se pequena compaa à distância até o ponto P. A difeença de potencial ente os dois pontos onde se encontam as cagas é: V Q 1 1 Q R R = = πε R1 R πε R1R 1

18 Dipolo Elético Paa um ponto P distante, podemos considea R 1 = R =. Além disto, R 1 seá, apoximadamente, paalelo a R. Assim, temos: V = Qd cosθ πε Como d.cos θ = d.a, temos: V. = pa πε

19 Dipolo Elético A figua ao lado mosta o campo eletostático devido a um dipolo pontual, com o momento na dieção a z. As linhas numeadas epesentam 6 supefícies equipotenciais.

20 Execícios Execício E.1 Dado o campo elético D = zax 3y ay + xaz V/m, use a expessão dw = -QEid L paa enconta o tabalho ealizado ao move uma caga de 7 µ C ao longo de um caminho incemental de 1 mm de compimento, na dieção do veto a 6a 3a, localizado em: a P (1;;3; A b P (;;-; B c P (6;1;-7. C x y z Execício E. Moste que é ealizado o mesmo tabalho ao move-se uma caga de -1 C, da oigem até o ponto (1;;3, no campo E= a + a + a c Cuva y = x, z = 3x. 3 6x y x x y 6z z, ao longo dos caminhos a segui: a Segmentos de linha eta (;; (1;; (1;; (1;;3; b Linha eta y = x, z = 3x; Execício E. 3 Se um campo E vaia no tempo ele não é consevativo. Seja o campo E= 5xya V/m em t =. Que tabalho seia ealizado nesse instante paa desloca uma caga de, C de (;; a (1;; ao longo dos caminhos: a (;; (1;; (1;;; b (;; (;; (1;;; x

21 Execício E. PQ xy x x y z Execícios Dado o campo E= a + a + a V/m, calcule: a V, dados P(1;-1; e Q(;1;3; b V no ponto P(1;-1;, se a efeência zeo está no ponto Q(;1;3; c V no ponto P(1;-1;, se a efeência zeo está na oigem. Execício E.5 Uma caga de 1,6 nc está localizada na oigem no vácuo. Detemine o potencial em =,7 m se: a A efeência zeo está no infinito; b A efeência zeo está em =,5 m; c V = 5 V em = 1, m Execício E.6 ρl( ' dl ' ρs ( ' ds ' Usa uma das equações V( = e V( = paa detemina o potencial no πε -' πε -' S ponto (;;1 causado po cada uma das seguintes distibuições no vácuo: a Anel ρ = 5 nc/m, ρ =, z = ; L ρ ρ b Disco S = nc/m,, z = ; ρ ρ c Disco fuado S = 3 nc/m,, z =

22 Execício E.8 V = 5x yz+ y Execícios Dado o potencial V no vácuo, encote: a V no ponto (1;;3; b E ; P c ρ ; P d dv/dn em P; e a em P. N Execício E.9 Um dipolo situado na oigem, no vácuo, tem um momento igual a πε, 6a, 75a +,8a Cim. Detemine o potencial nos pontos: a P (;;5; A b P (;5;; B c P (5;;; C d P (;3;. D ( x y z Execício E.1 Um dipolo localizado no vácuo é fomado po uma caga de 1 nc em (; ;,1 e outa de -1 nc em o o (;;-,1. Com elação ao ponto P(=,; θ=5 ; φ =, detemine: a E; b E ; c O módulo do campo que seia poduzido pela caga de +1 nc agindo sozinha.

23 Respostas dos execícios E.1 a 75; b1; c1 nj. E. a31; b31; c31 J. E.3 a; b J. E. a16; b16; c V. E.5 a,5; b 8,; c11,16 V. E.6 a1, 9; b87, ; c97, V.

24 Respostas dos execícios E.7 a 75 a ; b 35a 7 a ; c 35a 95 a V / m. E.8 y x y x y a38 V; b 6a 3a 1 a V / m; c 5,67 nc / m x y z d,93a +,35a +,15 a. x y z E.9 a3,; b 3; c,; d1,597 V. E.1 a31,8a + 15,89 a θ ; 35,5; 1 V / m. E.11 a, 5; b33, m J. 3

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