carga da esfera: Q densidade volumétrica de carga: ρ = r.

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1 Detemine o módulo do campo elético em todo o espaço geado po uma esfea maciça caegada com uma caga distibuída com uma densidade volumética de caga dada po ρ =, onde α é uma constante ue tona a expessão dimensionalmente consistente. Dados do poblema caga da esfea: densidade volumética de caga: ρ =. Esuema do poblema Vamos assumi ue a esfea está caega com uma caga positiva ( > ) e seu aio é igual a. distibuição de cagas vaia com o aio lineamente com a expessão ρ = (I) no cento, onde paa = temos ρ = (ponto em banco no cento da figua ), até a supefície da esfea onde paa = temos ρ = (supefície em cinza na figua ). Paa detemina o módulo do campo elético em todo o figua espaço devemos considea os pontos no inteio da esfea ( ) e pontos no exteio da esfea ( ), confome figua 2. figua 2 Consideamos uma supefície Gaussiana intena e outa supefície extena á esfea. Solução Paa : Como a caga está distibuída pelo seu volume existem cagas no seu inteio (figua 3), pela Lei de Gauss figua 3

2 E.d = (II) a Lei de Gauss nos diz ue apenas a caga intena à supefície Gaussiana contibuí paa o campo elético, assim podemos e-esceve E.d = ρ d V onde ρ é a densidade volumética de cagas e a integação é feita sobe o volume limitado pela supefície Gaussiana. (III) supefície Gaussiana ue passa pelo ponto onde se deseja calcula o campo elético tem um aio s, a distibuição de cagas intena à supefície Gaussiana tem um aio, como o ponto onde se deseja calcula o campo elético está no inteio da distibuição de cagas esses aios coincidem s = = (figua ). O campo elético se espalha adialmente a pati da distibuição de cagas na dieção e, e em cada elemento de áea d da supefície temos um veto unitáio n pependicula à supefície e oientado paa foa. ssim em cada ponto da supefície o veto campo elético E e o veto unitáio n possuem a mesma dieção e sentido (figua 5). figua figua 5 O veto campo elético só possui componente na dieção e pode se escito como E = E e (IV) O veto elemento de áea pode se escito como d = d n (V) substituindo as expessões (IV) e (V) em (III), temos E e.d n = ρ d V E d e.n = ρ d V Obsevação: como e e n são vetoes unitáios seus módulos são iguais a e como ambos estão na mesma dieção e sentido o ângulo ente eles é nulo ( θ = ), assim e.n = e n cos =.. =. 2

3 E d = ρ d V (VI) Em coodenadas esféicas as coodenadas x, y e z são dados po x = senθ cos, y = senθ sen, z = cosθ (VII) Paa obte o elemento de áea em coodenadas esféicas calculamos o Jacobiano dado pelo deteminante = x x x θ y y y J θ z z z θ cálculo das deivadas paciais das funções x, y e z dadas em (VII) x = senθ cos : x = senθcos = senθ cos = senθcos. = senθ cos valoes de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da deivada., na deivada em os x sen θcos = = cos senθ = cosθcos, na deivada em θ os valoes de θ θ θ e ϕ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. x = senθcos = senθ cos = senθ sen = senθ sen,na deivada em ϕ os valoes de e θ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. y = senθ sen : y = senθsen = senθsen = senθsen. = senθsen valoes de θ e ϕ são constantes e os temos em seno saem da deivada., na deivada em os y θ = senθsen = sen senθ = cos θsen, na deivada em θ os valoes de θ θ e ϕ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. y = senθsen = senθ sen = senθcos, na deivada em ϕ os valoes de e θ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. z = cosθ : z = cos θ = cos θ = cos θ. = cosθ o temo em cosseno sai da deivada., na deivada em o valo de θ é constante e z θ = cos θ = cosθ = senθ = senθ, na deivada em θ o valo de é θ θ constante e o temo em sai da deivada. 3

4 z = cosθ =,a função z não depende de ϕ, na deivada em ϕ os valoes de e θ são constantes e a deivada de uma constante é zeo.. Obsevação: não há vaiação d s pois a supefície Gaussiana possui aio constante igual a s. d = J d θ d e d V = J d d θ d = senθ cos cosθcos senθsen J senθ sen cos θsen sen θcos cosθ sen θ desenvolvendo o deteminante pela ega de Saus, temos J = senθcos. cosθsen. cosθcos. senθcos. cos θ + + senθ sen. sen θsen. senθ senθ sen. cos θsen. cosθ - - senθcos. senθcos. senθ cos θcos. senθsen. J = 2 cos 2 θsenθcos 2 2 sen 3 θsen 2 2 cos 2 θsenθsen 2 2 sen 3 θcos 2 J = 2 [ cos 2 θsenθcos 2 sen 3 θsen 2 cos 2 θ senθ sen 2 sen 3 θcos 2 ] J = 2 [ cos 2 θsenθ cos 2 sen 2 sen 3 θ cos 2 sen 2 ] J = 2 [ cos 2 θsenθsen 2 θsenθ ] J = 2 [ cos 2 θsen 2 θ senθ ] J = 2 senθ Paa o elemento de áea da supefície Gaussiana temos = s d = s 2 senθ d θ d (VIII) Paa o elemento de volume da distibuição de cagas temos = d V = 2 senθ d d θ d (IX) Fazendo = na expessão (I) paa a densidade de cagas dada no poblema e substituindo as expessões (VIII) e (IX) em (VI), temos E 2 s sen θ d θ d = 2 senθ d d θ d E 2 s senθ d θ d = 3 sen θ d d θ d Do lado esuedo da igualdade a integal não depende do aio da supefície Gaussiana, assim E e s podem sai da integal e como não existem temos cuzados em θ e as integais podem se sepaadas. Do lado dieito da igualdade a integal não depende da densidade volumética de cagas, assim ρ pode sai da integal e como não existem temos cuzados em, θ e as integais podem se sepaadas. E s 2 senθ d θ d = 3 d senθ d θ d (X)

5 Do lado esuedo da igualdade os limites de integação seão de a em d θ e de e 2 em d (uma volta completa na esfea), confome figua 6-, e temos s =, lembando da figua acima. Do lado dieito os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d (uma volta completa na esfea) e de a em d, confome figua 6-B 2 E 2 senθ d θ figua 6 d = 2 3 d senθ d θ d integação de sen θ d θ sen θ d θ cos θ cos cos 2 2 integação de 2 d 2 d = 2 = 2 = 2 integação de 3 d 3 d = 3 3 = = = E = 2.2 5

6 E 2 = E = 2 (XI) Paa : Nesta situação a supefície Gaussiana passando pelo ponto onde se deseja calcula o campo elético tem um aio s = exteno à distibuição de cagas e o aio da distibuição de cagas seá o pópio aio da esfea = (figua 7) Paa o cálculo do campo elético é válida a mesma expessão obtida em (X) E s 2 senθ d θ d = 3 d senθ d θ d Do lado esuedo da igualdade os limites de integação seão os mesmos usados no caso anteio, apenas lembando ue agoa o ponto é exteno à distibuição de cagas, de a em d θ e de e 2 em d, e temos s =, lembando da figua figua 7 acima. Do lado dieito os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d e de a em d. 2 E 2 senθ d θ d = 2 3 d senθ d θ d integação de 3 d 3 d = 3 3 = = = E = 2.2 E 2 = E = 2 (XII) caga total da esfea de aio paa a densidade volumética de cagas dada no poblema é = d o elemento de caga d é dado po ρ = d d V expessão acima d = ρd V, substituindo este valo na = ρd V 6

7 substituindo a expessão (I), temos = d V o elemento de volume d V seá o mesmo da expessão (VIII) = 2 senθ d d θ d = 3 senθ d d θ d aui vale o mesmo cálculo feito acima, constante pode sai da integal, as integais podem se sepaadas e os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d e de a em d = 3 d 2 senθ d θ d =.2.2 = = (XIII) substituindo a expessão (XIII) em (XII), obtemos E = 2 (XIV) ssim o campo elético em todo o espaço seá dado pelas expessões (XI) e (XIV) { E =, 3, 2 Obsevação: o campo elético em todo o espaço é dado po uma função definida po pates. Paa vaia com o uadado da distância como uma Função do 2. o Gau y = a x 2 b xc, onde E = y 2, como α e são constantes epesentam o x 2 b x c a coeficiente a e como b e c são nulos a paábola passa pela oigem e o campo elético é nulo paa =, temos, E =. E =, o campo elético vai aumentando apidamente até ue na supefície se compota como se toda a caga estivesse concentada na oigem e o campo fosse calculado a uma distância paa =, temos, E = Paa o campo elético decai popocionalmente a 2 2 como numa caga pontual. 7